2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.1.1 弧度制學(xué)案 新人教A版必修4 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.結(jié)合實(shí)際問題,了解角的概念的推廣及其實(shí)際意義.2.掌握象限角的概念(重點(diǎn)).3.掌握終邊相同的角的表示(重、難點(diǎn)). 知識點(diǎn)1 任意角的概念 1.角的概念 角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形. 2.角的表示 頂點(diǎn):用O表示; 始邊:用OA表示,用語言可表示為起始位置. 終邊:用OB表示,用語言可表示為終止位置. 3.角的分類 類型 定義 圖示 正角 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 負(fù)角 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

2、零角 一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一個(gè)零角 【預(yù)習(xí)評價(jià)】 (正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)經(jīng)過1小時(shí),時(shí)針轉(zhuǎn)過30°.(  ) (2)終邊與始邊重合的角是零角.(  ) (3)小于90°的角是銳角.(  ) 提示 (1)×,因?yàn)槭琼槙r(shí)針旋轉(zhuǎn),所以時(shí)針轉(zhuǎn)過-30°. (2)×,終邊與始邊重合的角是k·360°(k∈Z). (3)×,銳角是指大于0°且小于90°的角. 知識點(diǎn)2 象限角 如果角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么,角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限,就說這個(gè)角是第幾象限角.如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)

3、象限. 【預(yù)習(xí)評價(jià)】 思考 銳角屬于第幾象限角?鈍角又屬于第幾象限角? 提示 銳角屬于第一象限角,鈍角屬于第二象限角. 知識點(diǎn)3 終邊相同的角 所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和. 【預(yù)習(xí)評價(jià)】 與-457°角的終邊相同的角的集合是(  ) A.{α|α=457°+k·360°,k∈Z} B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z} C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z} D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z} 解析 由于-457°=-

4、1×360°-97°=-2×360°+263°,故與-457°角的終邊相同的角的集合是{α|α=-457°+k·360°,k∈Z}={α|α=263°+k·360°,k∈Z}. 答案 C 題型一 與任意角有關(guān)的概念辨析 【例1】 (1)下列說法中,正確的是________(填序號). ①終邊落在第一象限的角為銳角; ②銳角是第一象限的角; ③第二象限的角為鈍角; ④小于90°的角一定為銳角; ⑤角α與-α的終邊關(guān)于x軸對稱. 解析 終邊落在第一象限的角不一定是銳角,如400°的角是第一象限的角,但不是銳角,故①的說法是錯誤的;同理第二象限的角也不一定是鈍角,故③的說法也是

5、錯誤的;小于90°的角不一定為銳角,比如負(fù)角,故④的說法是錯誤的. 答案?、冖? (2)如圖,射線OA先繞端點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到OB處,再按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)820°至OC處,則β=________. 解析 ∠AOC=60°+(-820°)=-760°, β=-(760°-720°)=-40°. 答案 -40° 規(guī)律方法 判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧 (1)關(guān)鍵:正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念. (2)技巧:判斷一種說法正確需要證明,而判斷一種說法錯誤只要舉出反例即可. 【訓(xùn)練1】 寫出圖(1),(2)中的角α,β,γ的度數(shù). 解 題干圖(1)中

6、,α=360°-30°=330°; 題干圖(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°, γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°. 題型二 終邊相同的角的表示及應(yīng)用 【例2】 寫出終邊落在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤β<720°的元素β寫出來. 解 直線y=x與x軸的夾角是45°,在0°~360°范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45°,225°.因此,終邊在直線y=x上的角的集合: S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z} ={β|β=45°+2k·180°,

7、k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}. ∴S中適合-360°≤β<720°的元素是: 45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°; 45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°; 45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°. 規(guī)律方法 解答本題關(guān)鍵是找到0°~360°范圍內(nèi),終邊落在直線y=x的角:45°,225°,再利用終邊相同的角的關(guān)系寫出符合條件的所有角的集合,如果集合能化簡的還要化成最簡. 【訓(xùn)練2】 寫出終邊落在x軸上的角的集合S. 解 S={α

8、|α=k·360°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°,k∈Z} ={α|α=2k·180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°,k∈Z} ={α|α=n·180°,n∈Z}. 典例 遷移  題型三 象限角和區(qū)域角的表示 【例3】 (1)-2 017°是第________象限角. 解析 -2 017°=-6×360°+143°,143°是第二象限角,所以-2017°為第二象限角. 答案 二 (2)已知,如圖所示. ①分別寫出終邊落在OA,OB位置上的角的集合. ②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 解 ①終邊落在OA位置上的角的集合為{

9、α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}. ②由題干圖可知,陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于-30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合,故可表示為{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 【遷移1】 若將例3(2)題改為如圖所示的圖形,那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示? 解 在0°~360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是: 150°≤α≤225°,則滿足條件的角α為 {α|k·3

10、60°+150°≤α≤k·360°+225°,k∈Z}. 【遷移2】 若將例3(2)題改為如圖所示的圖形,那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示? 解 由題干圖可知滿足題意的角的集合為 {β|k·360°+60°≤β≤k·360°+105°,k∈Z}∪{k·360°+240°≤β≤k·360°+285°,k∈Z} ={β|2k·180°+60°≤β≤2k·180°+105°,k∈Z}∪{β|(2k+1)·180°+60°≤β≤(2k+1)·180°+105°,k∈Z} ={β|n·180°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z} 即所求的集合為{β|n·180

11、°+60°≤β≤n·180°+105°,n∈Z}. 規(guī)律方法 表示區(qū)域角的三個(gè)步驟 第一步:先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界. 第二步:按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對應(yīng)的-360°~360°范圍內(nèi)的角α和β,寫出最簡區(qū)間{x|α

12、不是第二象限角; B錯,鈍角在90°到180°之間,是第二象限角; C錯,終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍; D正確,鐘表的時(shí)針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn),故是負(fù)角. 答案 D 2.-378°是第________象限角(  ) A.一 B.二 C.三 D.四 解析?。?78°=-360°-18°,因?yàn)椋?8°是第四象限角,所以-378°是第四象限角. 答案 D 3.把-936°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式為________. 解析?。?36°=-3×360°+144°,故-936°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式為144°+

13、(-3)×360°. 答案 144°+(-3)×360° 4.終邊在直線y=-x上的角的集合S=________. 解析 由于直線y=-x是第二、四象限的角平分線,在0°~360°間所對應(yīng)的兩個(gè)角分別是135°和315°, 從而S={α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|α=n·180°+135°,n∈Z}. 答案 {α|α=n·180°+135°,n∈Z} 5.已知,如圖所示, (1)寫出終邊落在射線OA,OB上的角的集合

14、; (2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. 解 (1)終邊落在射線OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}. 終邊落在射線OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}. (2)終邊落在陰影部分(含邊界)角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}. 課堂小結(jié) 1.象限角的概念是以“角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸正半軸重合”為前提的,否則不能從終邊位置來判斷某角是第幾象限角. 2.“銳角”,“0°~90°的角”,“小于90°的角”,“第一象限角”這幾個(gè)概念注意區(qū)分:銳角是0°<α<90°;0°~

15、90°的角是0°≤α<90°;小于90°的角為α<90°;第一象限的角是{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}. 3.關(guān)于終邊相同角的認(rèn)識 一般地,所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和. 注意:(1)α為任意角;(2)k·360°與α之間是“+”號,k·360°-α可理解為k·360°+(-α); (3)相等的角,終邊一定相同;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍;(4)k∈Z這一條件不能少. 基礎(chǔ)過關(guān) 1.下列

16、說法中,正確的是(  ) A.第二象限的角都是鈍角 B.第二象限角大于第一象限的角 C.若角α與角β不相等,則α與β的終邊不可能重合 D.若角α與角β的終邊在一條直線上,則α-β=k·180°(k∈Z) 解析 A錯,495°=135°+360°是第二象限的角,但不是鈍角; B錯,α=135°是第二象限角,β=360°+45°是第一象限的角,但α<β; C錯,α=360°,β=720°,則α≠β,但二者終邊重合; D正確,α與β的終邊在一條直線上,則二者的終邊重合或相差180°的整數(shù)倍,故α-β=k·180°(k∈Z). 答案 D 2.在①160°;②480°;③-960°;

17、④1 530°這四個(gè)角中,屬于第二象限角的是(  ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 解析 ②480°=120°+360°是第二象限的角; ③-960°=-3×360°+120°是第二象限的角; ④1 530°=4×360°+90°不是第二象限的角,故選C. 答案 C 3.若α是第四象限角,則180°-α是(  ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 可以給α賦一特殊值-60°,則180°-α=240°,故180°-α是第三象限角. 答案 C 4.角α,β的終邊關(guān)于y軸對稱,若α=30°,則β=________.

18、 解析 ∵30°與150°的終邊關(guān)于y軸對稱, ∴β的終邊與150°角的終邊相同. ∴β=150°+k·360°,k∈Z. 答案 150°+k·360°,k∈Z 5.12點(diǎn)過小時(shí)的時(shí)候,時(shí)鐘分針與時(shí)針的夾角是________. 解析 時(shí)鐘上每個(gè)大刻度為30°,12點(diǎn)過小時(shí),分針轉(zhuǎn)過-90°,時(shí)針轉(zhuǎn)過-7.5°,故時(shí)針與分針的夾角為82.5°. 答案 82.5° 6.如圖所示,寫出終邊落在直線y=x上的角的集合(用0°到360°間的角表示). 解 終邊落在y=x(x≥0)上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°,k∈Z},終邊落在y=x(x≤0)上的角的集合是S={

19、α|α=240°+k·360°,k∈Z}, 于是終邊在y=x上角的集合是S={α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z} ={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={α|α=60°+n·180°,n∈Z}. 7.已知角α=2 010°. (1)把α改寫成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角; (2)求θ,使θ與α終邊相同,且-360°≤θ<720°. 解 (1)由2 010°除以360°,得商為5,余數(shù)為210°. ∴取k=5,β=210°,

20、 α=5×360°+210°. 又β=210°是第三象限角, ∴α為第三象限角. (2)與2 010°終邊相同的角為 k·360°+2 010°(k∈Z). 令-360°≤k·360°+2 010°<720°(k∈Z), 解得-6≤k<-3(k∈Z). 所以k=-6,-5,-4. 將k的值代入k·360°+2 010°中,得角θ的值為-150°,210°,570°. 能力提升 8.若A={α|α=k·360°,k∈Z},B={α|α=k·180°,k∈Z},C={α|α=k·90°,k∈Z},則下列關(guān)系中正確的是(  ) A.A=B=C B.A=B∩C C.A∪B=

21、C D.A?B?C 解析 由題意知集合A是終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合,集合B是終邊在x軸上的角的集合,集合C是終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合,故A?B?C. 答案 D 9.角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,則α與β的關(guān)系為(  ) A.α+β=k·360°,k∈Z B.α+β=k·360°+180°,k∈Z C.α-β=k·360°+180°,k∈Z D.α-β=k·360°,k∈Z 解析 方法一 (特值法):令α=30°,β=150°,則α+β=180°. 方法二 (直接法):因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對稱,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°

22、+180°,k∈Z. 答案 B 10.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},則A∩B=________________. 解析 當(dāng)k=-1時(shí),α=-126°; 當(dāng)k=0時(shí),α=-36°; 當(dāng)k=1時(shí),α=54°; 當(dāng)k=2時(shí),α=144°. ∴A∩B={-126°,-36°,54°,144°}. 答案 {-126°,-36°,54°,144°} 11.若角θ的終邊與60°角的終邊相同,則在0°~360°內(nèi)終邊與角的終邊相同的角為________. 解析 由題意設(shè)θ=60°+k·360°(k∈Z), 則=20°+k·120°(

23、k∈Z), 則當(dāng)k=0,1,2時(shí),=20°,140°,260°. 答案 20°,140°,260° 12.寫出如圖所示陰影部分的角α的范圍. 解 (1)因?yàn)榕c45°角終邊相同的角可寫成45°+k·360°,k∈Z的形式,與-180°+30°=-150°角終邊相同 的角可寫成-150°+k·360°,k∈Z的形式.所以圖(1)陰影部分的角α的范圍可表示為{α|-150°+k·360°<α≤45°+k·360°,k∈Z}. (2)同理可表示圖(2)中角α的范圍為{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}. 13.(選做題)如圖所示,半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P從點(diǎn)A(1,0)出發(fā),以逆時(shí)針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn),已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ (0°<θ<180°),經(jīng)過2 s達(dá)到第三象限,經(jīng)過14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處,求θ. 解 ∵0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ

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