2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義(含解析)蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義(含解析)蘇教版選修2-1 充分條件和必要條件 如圖:p:開關(guān)A閉合,q:燈泡B亮. 問題1:p與q有什么關(guān)系? 提示:命題p成立,命題q一定成立. p:兩三角形相似,q:對應(yīng)角相等. 問題2:p與q有什么關(guān)系? 提示:命題p成立,命題q一定成立. 一般地,如果p?q,那么稱p是q的充分條件,q是p的必要條件. 充要條件 已知p:整數(shù)x是6的倍數(shù); q:整數(shù)x是2和3的倍數(shù). 問題1:“若p,則q”是真命題嗎? 提示:是.

2、 問題2:“若q,則p”是真命題嗎? 提示:是. 問題3:p是q的什么條件? 提示:充要條件. 1.如果p?q,且q?p,那么稱p是q的充分必要條件.簡稱p是q的充要條件,記作p?q. 2.如果p?q,且q ?/ p,那么稱p是q的充分不必要條件. 3.如果p ?/ q,且q?p,那么稱p是q的必要不充分條件. 4.如果p ?/ q,且q ?/ p,那么稱p是q的既不充分又不必要條件. 原命題“若p,則q”,逆命題為“若q,則p”,則p與q的關(guān)系有以下四種情形: 原命題 逆命題 p、q的關(guān)系 真 假 p是q的充分不必要條件 q是p的必要不

3、充分條件 假 真 p是q的必要不充分條件 q是p的充分不必要條件 真 真 p與q互為充要條件 假 假 p是q的既不充分也不必要條件 q是p的既不充分也不必要條件 充分條件和必要條件的判斷 [例1] 對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),下列結(jié)論正確的是________. ①Δ=b2-4ac≥0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件; ②Δ=b2-4ac=0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件; ③Δ=b2-4ac>0是函數(shù)f(x)有零點的必要條件; ④Δ=b2-4ac<0是函數(shù)f(x)沒有零點的充要條件. [思路點撥] 逐一分析

4、Δ,根據(jù)二次函數(shù)與Δ的關(guān)系,判斷結(jié)論是否正確. [精解詳析]  ①是正確的,因為Δ=b2-4ac≥0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根?f(x)=ax2+bx+c有零點; ②是正確的,因為Δ=b2-4ac=0?方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根,因此函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零點,但是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零點時,有可能Δ>0; ③是錯誤的,因為函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)有零點時,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有實根,但未必有Δ=b2-4ac>0,也有可能Δ=0; ④是正確的,因為Δ=b2-4ac<0?方程ax2+bx+

5、c=0(a≠0)無實根?函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)無零點. [答案]?、佗冖? [一點通]  充分、必要條件判斷的常用方法: (1)定義法:分清條件和結(jié)論,利用定義判斷. (2)等價法:將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題判斷. 1.從“?”、“ ?/ ”與“?”中選出適當?shù)姆柼羁眨? (1)x>1________x>0; (2)a>b________a2>b2; (3)a2+b2=2ab________a=b; (4)A??________A=?. 解析:(1)由于命題“若x>1,則x>0”為真命題,則x>1?x>0; (2)由于命題“若a>b,則a

6、2>b2”為假命題,則a>b?/ a2>b2; (3)由于命題“若a2+b2=2ab,則a=b”為真命題,且逆命題也為真命題,故a2+b2=2ab?a=b; (4)由于命題“若A??,則A=?”為真命題,且逆命題也為真命題,故A???A=?. 答案:(1)? (2) ?/  (3)? (4)? 2.(福建高考改編)已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的________條件. 解析:因為A={1,a},B={1,2,3},若a=3,則A={1,3},所以A?B;若A?B,則a=2或a=3,所以A?B ?/ a=3,所以“a=3”是“A?B”的

7、充分不必要條件. 答案:充分不必要 3.指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個作答): (1)p:x-3=0,q:(x-2)(x-3)=0; (2)p:兩個三角形相似,q:兩個三角形全等; (3)p:a>b,q:a+c>b+c; (4)p:a>b,q:ac>bc. 解:(1)x-3=0?(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0 ?/ x-3=0,故p是q的充分不必要條件. (2)兩個三角形相似 ?/ 兩個三角形全等,但兩個三角形全等?兩個三角形相似,故p是q的必要不充分條件.

8、 (3)a>b?a+c>b+c,且a+c>b+c?a>b,故p是q的充要條件. (4)a>b ?/ ac>bc,且ac>bc ?/ a>b,故p是q的既不充分又不必要條件. 充分條件、必要條件的應(yīng)用 [例2] 已知p:2x2-3x-2≥0,q:x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0,若p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍. [思路點撥] 先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件,再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組,求得a的范圍. [精解詳析] 令M={x|2x2-3x-2≥0} ={x|(2x+1)(x-2)≥0} ={x|x≤-

9、或x≥2}, N={x|x2-2(a-1)x+a(a-2)≥0} ={x|(x-a)[x-(a-2)]≥0} ={x|x≤a-2或x≥a}. 由已知p?q且q ?/ p,得MN. ∴或 ?≤a<2或

10、等式0, 要使AB,應(yīng)有解得0

11、 當m≠0時,P:B=. ∵q是p的充分不必要條件,∴BA. 易知m=0適合題意. 當-=-3或-=2,即m=或m=-時,也適合題意. ∴m的值為-或或0. 求充要條件 [例3] 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件. [思路點撥] 根據(jù)數(shù)列的前n項和Sn與數(shù)列通項an的關(guān)系,先求出數(shù)列的通項an,根據(jù)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,探求q所滿足的條件,同時要注意充分性的證明. [精解詳析] a1=S1=p+q. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1), ∵p≠0,p≠1,∴=p. 若{an}為等比

12、數(shù)列,則==p, ∴=p, ∵p≠0,∴p-1=p+q, ∴q=-1.∴{an}為等比數(shù)列的必要條件是q=-1. 下面證明q=-1是{an}為等比數(shù)列的充分條件. 當q=-1時,Sn=pn-1(p≠0,p≠1), ∴a1=S1=p-1; 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=pn-1(p-1), ∴an=(p-1)pn-1(p≠0,p≠1), ==p為常數(shù), ∴q=-1時,數(shù)列{an}為等比數(shù)列.即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q=-1. [一點通] 求充要條件一般有兩種方法: (1)等價轉(zhuǎn)化法.將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)化,直至獲得其成立的充要條件,求解

13、的過程同時也是證明的過程,因為求解的過程的每一步都是等價的,所以不需要將充分性和必要性分開來證. (2)非等價轉(zhuǎn)化法.先尋找必要條件,即將求充要條件的對象視為結(jié)論,尋找使之成立的條件;再證明此條件是該對象的充分條件,即從充分性和必要性兩方面說明. 6.使函數(shù)f(x)=|x-a|在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)的充分不必要條件為________. 解析:由函數(shù)f(x)=|x-a|的圖像知,函數(shù)f(x)=|x-a|在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)的充要條件為a≤1,所以使“函數(shù)f(x)=|x-a|在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件即求使“a≤1”成立的充分不必要條件,即填寫形如a≤p

14、,且p<1即可,故答案不唯一,可填a≤0. 答案:a≤0 7.設(shè)n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________. 解析:由于方程都是正整數(shù)解,由判別式“16-4n≥0”得“1≤n≤4”,逐個分析,當n=1、2時,方程沒有整數(shù)解;而當n=3時,方程有正整數(shù)解1、3;當n=4時,方程有正整數(shù)解2. 答案:3或4 1.關(guān)于充分條件、必要條件、充要條件以及既不充分又不必要條件的關(guān)系有如下四種情形: (1)若pq,則p是q的充分不必要條件; (2)若qp,則p是q的必要不充分條件; (3)若p=q,則p是q的充分必要條件,既充要條件; (4)若

15、pq,且qp,則p是q的既不充分又不必要條件. 2.根據(jù)充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍,往往運用等價轉(zhuǎn)化的思想,利用互為逆否命題的等價性來解決. [對應(yīng)課時跟蹤訓練(二)]  1.(安徽高考改編)“(2x-1)x=0”是“x=0”的________條件. 解析:由(2x-1)x=0可得x=或x=0,因為“x=或x=0”是“x=0”的必要不充分條件,所以“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分條件. 答案:必要不充分 2.已知直線l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,則l1∥l2的充要條件是a=________.

16、 解析:由1×3-a×(a-2)=0,得a=3或-1,而a=3時,兩條直線重合,所以a=-1. 答案:-1 3.對任意實數(shù)a,b,c,給出下列命題: ①“a=b”是“ac=bc”的充要條件; ②“a>b”是“a2>b2”的充分條件; ③“a<5”是“a<3”的必要條件; ④“a+5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件. 其中真命題的序號為________. 解析:①“a=b”是ac=bc的充分不必要條件,故①錯,②a>b是a2>b2的既不充分也不必要條件,故②錯.③④正確. 答案:③④ 4.(北京高考改編)“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標原點”的_______

17、_條件. 解析:由sin φ=0可得φ=kπ(k∈Z),此為曲線y=sin(2x+φ)過坐標原點的充要條件,故“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標原點”的充分不必要條件. 答案:充分不必要 5.若p:x(x-3)<0是q:2x-30,x1x2

18、=<0(x1,x2為方程的兩根),所以ac<0. (2)充分性:由ac<0可推得Δ=b2-4ac>0及x1x2=<0(x1,x2為方程的兩根).所以方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根,且兩根異號,即方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根. 綜上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一負根的充要條件是ac<0. 7.求直線l:ax-y+b=0經(jīng)過兩直線l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交點的充要條件. 解:由得交點P. 若直線l:ax-y+b=0經(jīng)過點P, 則a×-+b=0.∴17a+4b=11. 設(shè)a,b滿足17a+4b=11,則b=, 代入方程

19、ax-y+b=0,得ax-y+=0, 整理,得-a=0. ∴直線l:ax-y+b=0恒過點,此點即為l1與l2的交點. 綜上,直線l:ax-y+b=0經(jīng)過兩直線l1:2x-2y-3=0和l2:3x-5y+1=0交點的充要條件為17a+4b=11. 8.已知p:-6≤x-4≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要條件,求實數(shù)m的取值范圍. 解:p:-6≤x-4≤6?-2≤x≤10. q:x2-2x+1-m2≤0?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0(m>0)?1-m≤x≤1+m(m>0). 因為q是p的充分不必要條件. 即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},如圖, 故有或 解得m≤3. 又m>0,所以實數(shù)m的范圍為{m|0

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