(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.5 定積分的概念 1.5.3 定積分的概念學案 新人教A版選修2-2

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1、 1.5.3 定積分的概念 學習目標 1.了解定積分的概念,會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì). 知識點一 定積分的概念 思考 分析求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程,找一下它們的共同點. 答案 兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決,都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限. 梳理 一般地,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點a=x0

2、式無限接近某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作?f(x)dx,即?f(x)dx=f(ξi),這里,a與b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式. 知識點二 定積分的幾何意義 思考1 根據(jù)定積分的定義求得?(x+1)dx的值是多少? 答案 ?(x+1)dx=. 思考2 ?(x+1)dx的值與直線x=1,x=2,y=0,f(x)=x+1圍成的梯形面積有何關(guān)系? 答案 相等. 梳理 從幾何上看,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0,那么定積分?f(x)dx表

3、示由直線x=a,x=b,y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.這就是定積分?f(x)dx的幾何意義. 注意:f(x)<0(圖象在x軸的下方)時,?f(x)dx<0,-?f(x)dx等于曲邊梯形的面積. 知識點三 定積分的性質(zhì) 思考 你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx(其中a

4、)dx±?f2(x)dx. (3)?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx(其中a

5、 取ξi=(i=1,2,…,n),則 Sn=?·Δx =· = =[0+1+2+…+(n-1)]+5 =×+5=-. (3)取極限 ?(3x+2)dx= Sn= =. 反思與感悟 利用定義求定積分的步驟 跟蹤訓練1 利用定積分的定義計算?(x+2)dx. 考點 定積分的概念 題點 定積分的概念 解 令f(x)=x+2. 將區(qū)間[2,3]平均分為n個小區(qū)間,每個小區(qū)間的長度為Δxi=, [xi-1,xi]=,i=1,2,…,n. 取ξi=xi=2+,則f(ξi)=2++2=4+. 則f(ξi)Δxi= · = =n·+ =4+. ∴?(x+2)dx= =

6、. 類型二 利用定積分的性質(zhì)求定積分 例2 已知?x3dx=,?x3dx=,?x2dx=,?x2dx=,求下列各式的值. (1)?(3x3)dx; (2)?(6x2)dx; (3)?(3x2-2x3)dx. 考點 定積分性質(zhì)的應用 題點 定積分性質(zhì)的應用 解 (1)?(3x3)dx=3?x3dx =3 =3×=12. (2)?(6x2)dx=6?x2dx =6 =6×=126. (3)?(3x2-2x3)dx=?(3x2)dx-?(2x3)dx =3?x2dx-2?x3dx=3×-2×=-. 反思與感悟 若函數(shù)f(x)的奇偶性已經(jīng)明確,且f(x)在[-a,a]上

7、連續(xù),則 (1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則?f(x)dx=0. (2)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),則?f(x)dx=2?f(x)dx. 跟蹤訓練2 若f(x)= 且?(2x-1)dx=-2,?e-xdx=1-e-1,求?f(x)dx. 考點 定積分性質(zhì)的應用 題點 定積分性質(zhì)的應用 解 ?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx =?(2x-1)dx+?e-xdx =-2+1-e-1=-(e-1+1). 類型三 利用定積分的幾何意義求定積分 例3 用定積分的幾何意義求下列各式的值. (1)?dx; (2). 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用

8、 解 (1)由y=得x2+y2=4(y≥0),其圖象如圖所示. ?dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和, S弓形CED=××22-×2×=-, S矩形ABCD=AB·BC=2, ∴?dx=2+-=+. (2)∵函數(shù)y=sin x在x∈上是奇函數(shù), ∴=0. 跟蹤訓練3 求定積分:?(-x)dx. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 解 ?dx表示圓心在(2,0),半徑等于2的圓的面積的,即?dx=×π×22=π. ?xdx表示底和高都為2的直角三角形的面積, 即?xdx=×22=2. ∴原式=?dx-?xdx =π-2

9、. 1.下列結(jié)論中成立的個數(shù)是(  ) ①?x3dx=·;②?x3dx=·; ③?x3dx= ·. A.0 B.1 C.2 D.3 考點 定積分的概念 題點 定積分的概念 答案 C 解析?、冖鄢闪ⅲ? 2.關(guān)于定積分a=?(-2)dx的敘述正確的是(  ) A.被積函數(shù)為y=2,a=6 B.被積函數(shù)為y=-2,a=6 C.被積函數(shù)為y=-2,a=-6 D.被積函數(shù)為y=2,a=-6 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分的幾何意義 答案 C 解析 由定積分的概念可知, ?(-2)dx中的被積函數(shù)為y=-2, 由定積分的幾何意義知,?(-2)dx

10、等于由直線x=-1,x=2,y=0,y=-2所圍成的圖形的面積的相反數(shù), ∴?(-2)dx=-2×3=-6. 3.已知定積分?f(x)dx=8,且f(x)為偶函數(shù),則?f(x)dx等于(  ) A.0 B.16 C.12 D.8 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分性質(zhì) 答案 B 解析 ?f(x)dx=2?f(x)dx=16. 4.由函數(shù)y=-x的圖象,直線x=1,x=0,y=0所圍成的圖形的面積可表示為(  ) A.?(-x)dx B.?|-x|dx C.?xdx D.-?xdx 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分的幾何意義 答案 B

11、 解析 由定積分的幾何意義可知,所求圖形的面積為 S=?|-x|dx. 5.計算?(-x3)dx. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 解 如圖所示, 由定積分的幾何意義得?dx==, ?x3dx=0, 由定積分性質(zhì)得?(-x3)dx=?dx-?x3dx=. 1.定積分?f(x)dx是一個和式f(ξi)的極限,是一個常數(shù). 2.可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分.對于一些特殊函數(shù),也可以利用幾何意義求定積分. 3.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運算. 一、選擇題 1.根據(jù)定積分的定義,?x2dx等于(  ) A.2

12、· B. 2· C.2· D. 2· 考點 定積分的概念 題點 定積分的概念 答案 D 解析 根據(jù)定積分的定義,?x2dx= 2·. 2.下列定積分的值等于1的是(  ) A.?1dx B.?(x+1)dx C.?dx D.?xdx 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分性質(zhì) 答案 A 解析 D項,?xdx=,C項,?dx=, B項,?(x+1)dx=,A項,?1dx=1,故選A. 3.下列命題不正確的是(  ) A.若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù),則?f(x)dx=0 B.若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),則?f(x)dx=2?f(x)dx C.若f(

13、x)在[a,b]上連續(xù)且恒正,則?f(x)dx>0 D.若f(x)在[a,b]上連續(xù)且?f(x)dx>0,則f(x)在[a,b]上恒正 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分性質(zhì) 答案 D 解析 A項,因為f(x)是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等,故積分是0,所以A項正確;B項,因為f(x)是偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,故y軸兩側(cè)的圖象都在x軸上方或下方且面積相等,故B項正確;由定積分的幾何意義知,C項顯然正確;D項,f(x)也可以小于0,但必須有大于0的部分,且f(x)>0的曲線圍成的面積比f(x)<0的曲線圍成的面積大. 4.與定積分相等的是

14、(  ) A. B. C.?sin xdx- D. 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分性質(zhì) 答案 C 解析 當x∈[0,π]時,sin x≥0; 當x∈時,sin x<0. ∴由定積分的性質(zhì)可得, =?|sin x|dx+ =?sin xdx+ =?sin xdx-. 5.下列各陰影部分的面積S不可以用S=?[f(x)-g(x)]dx求出的是(  ) 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分的幾何意義 答案 B 解析 定積分S=?[f(x)-g(x)]dx的幾何意義是求函數(shù)f(x)與g(x)之間的陰影部分的面積,必須注意f(x)的圖象要在g

15、(x)的圖象上方.對照各選項可知,B項中f(x)的圖象不全在g(x)的圖象上方,故選B. 6.由直線y=x,y=-x+1及x軸圍成的平面圖形的面積為(  ) A.?[(1-y)-y]dy B. C. D.?[x-(-x+1)]dx 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分的幾何意義 答案 C 解析 聯(lián)立 解得 故A. 由圖知陰影部分的面積可表示為. 7.設a=?dx,b=?x2dx,c=?x3dx,則a,b,c的大小關(guān)系是(  ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.a(chǎn)=b>c D.c>a>b 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應

16、用 答案 A 解析 根據(jù)定積分的幾何意義,易知?x3dxb>c,故選A. 8.若?|56x|dx≤2 016,則正數(shù)a的最大值為(  ) A.6 B.56 C.36 D.2 016 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 答案 A 解析 由?|56x|dx=56?|x|dx≤2 016, 得?|x|dx≤36, ∵?|x|dx=a2,∴a2≤36,即0

17、 定積分性質(zhì)的應用 答案  解析 ∵??f(x)dx=?f(x)dx=1, ∴??f(x)dx=2. 又?3f(x)dx=3??f(x)dx=2, ∴?f(x)dx=. ∴??f(x)dx=??f(x)dx+??f(x)dx =+2=. 10.如圖所示的陰影部分的面積用定積分表示為________. 考點 定積分的幾何意義及性質(zhì) 題點 定積分的幾何意義 答案 ?dx 11.定積分?(2+)dx=________. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 答案 2+ 解析 原式=?2dx+?dx. 因為?2dx=2,?dx=, 所以?(2+

18、)dx=2+. 12.已知f(x)是一次函數(shù),其圖象過點(3,4)且?f(x)dx=1,則f(x)的解析式為________. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 答案 f(x)=x+ 解析 設f(x)=ax+b(a≠0), ∵f(x)圖象過(3,4)點,∴3a+b=4. 又?f(x)dx=?(ax+b)dx=a?xdx+?bdx=a+b=1. 解方程組 得∴f(x)=x+. 三、解答題 13.已知f(x)=求f(x)在區(qū)間[0,5]上的定積分. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 解 如圖畫出函數(shù)f(x)的圖象. 由定

19、積分的幾何意義得?xdx=×2×2=2, ?(4-x)dx=×(1+2)×1=, ?dx=×2×1=1. 所以?f(x)dx=?xdx+?(4-x)dx+ ?dx=2++1=. 四、探究與拓展 14.若定積分?dx=,則m等于(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 答案 A 解析 根據(jù)定積分的幾何意義知,定積分?dx的值就是函數(shù)y=的圖象與x軸及直線x=-2,x=m所圍成的圖形的面積.y=是一個以(-1,0)為圓心,1為半徑的半圓,其面積等于,而?dx=,所以m=-1. 15.如圖所示,拋物線y=x2將圓x2+y2≤8分成兩部分,現(xiàn)在向圓上均勻投點,這些點落在圓中陰影部分的概率為+, 求?dx. 考點 定積分幾何意義的應用 題點 定積分幾何意義的應用 解 解方程組 得x=±2. ∴陰影部分的面積為?dx. ∵圓的面積為8π, ∴由幾何概型可得陰影部分的面積是 8π·=2π+. 由定積分的幾何意義得, ?dx =?dx=π+. 13

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