（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題二 數(shù)列 第2講 數(shù)列的性質(zhì)與求和學案 文 新人教A版

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1、第2講　數(shù)列的性質(zhì)與求和 [做真題] 1．(2019·高考全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝________． 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1， 所以＝＝＝＝4. 答案：4 2．(2017·高考全國卷Ⅲ)設數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n. (1)求{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． 解：(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．兩式相減得(2n－1)an＝2，所

2、以an＝(n≥2)． 又由題設可得a1＝2， 從而{an}的通項公式為an＝(n∈N*)． (2)記{}的前n項和為Sn. 由(1)知＝＝－. 則Sn＝－＋－＋…＋－＝. [明考情] 1．高考對數(shù)列性質(zhì)的考查主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，考查數(shù)列的周期性、單調(diào)性、數(shù)列最值等，難度中等． 2．高考對數(shù)列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉(zhuǎn)化、錯位相減、裂項相消等方法求數(shù)列的前n項和，難度中等偏下． 　　　數(shù)列的性質(zhì)(綜合型) [典型例題] (1)已知數(shù)列{an}滿足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前

3、n項和，則S2 020＝(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．2 C．1 D．0 (2)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝，an＋2an＋1＝0，則Sn－的最大值與最小值的積為____________． 【解析】　(1)因為an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項的和為0，故S2 020＝336×0＋a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020＝a1＋a2＋a3＋a4＝3. (2)因為an＋2an＋1＝0，所以＝－，所以等比數(shù)

4、列{an}的公比為－，因為a1＝，所以Sn＝＝1－. ①當n為奇數(shù)時，Sn＝1＋，Sn隨著n的增大而減小，則1＜Sn≤S1＝，故0＜Sn－≤； ②當n為偶數(shù)時，Sn＝1－，Sn隨著n的增大而增大，則＝S2≤Sn＜1，故－≤Sn－＜0. 綜上，Sn－的最大值與最小值分別為，－. 故Sn－的最大值與最小值的積為×＝－. 【答案】　(1)A　(2)－ 判斷數(shù)列的增減性的方法 函數(shù)法：構造函數(shù)，通過判斷所構造函數(shù)的增減性，即可得出相應數(shù)列的增減性． 定義法：利用增減數(shù)列的定義判斷數(shù)列的增減性． 作差法：對于數(shù)列中任意相鄰的兩項an＋1，an，通過作差an＋1－an，判斷其與0的大

5、小，即可判斷數(shù)列的增減性． 作商法：數(shù)列的各項非零且同號(同正或同負)，對于數(shù)列中任意相鄰的兩項an＋1，an，通過作商，判斷其與1的大小，即可判斷數(shù)列的增減性．　 [對點訓練] 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，則a1·a2·a3·…·a2 019＝(　　) A．－6 B．6 C．－3 D．3 解析：選D.因為a1＝2，an＋1＝，所以a2＝＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，所以an＋4＝an，又a1a2a3a4＝1，所以a1·a2·a3·…·a2 019＝(a1a2a3a4)504×a1a2a3＝1×2×(－3)×＝3.故選D. 2．已

6、知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋2)，則當an取得最大值時，n＝____________． 解析：當an取得最大值時，有 所以解得所以當an取得最大值時，n＝5或6. 答案：5或6 　　　裂項相消法求和(綜合型) [知識整合] 裂項相消法：把數(shù)列和式中的各項分別裂項后，消去一部分從而計算和的方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和． 常見的裂項類型 (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝. [典型例題] (2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，首項a1＝4，數(shù)列{bn}滿足bn＝log2an，且b1＋b2＋b3＝12.

7、 (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令cn＝＋an，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. 【解】　(1)由bn＝log2an和b1＋b2＋b3＝12得log2(a1a2a3)＝12，所以a1a2a3＝212. 設等比數(shù)列{an}的公比為q， 因為a1＝4，所以a1a2a3＝4·4q·4q2＝26·q3＝212， 計算得q＝4. 所以an＝4·4n－1＝4n. (2)由(1)得bn＝log24n＝2n， cn＝＋4n＝＋4n＝－＋4n. 設數(shù)列的前n項和為An，則An＝1－＋－＋…＋－＝， 設數(shù)列{4n}的前n項和為Bn，則Bn＝＝(4n－1)， 所以Sn＝＋(4n－1)．

8、 求解此類題需過“三關”：一是求通項關，即會利用求通項公式的常用方法，求出數(shù)列的通項公式；二是巧裂項關，即能將數(shù)列的通項公式準確裂項，表示為兩項之差的形式；三是消項求和關，即把握消項的規(guī)律，求和時正負項相消，準確判斷剩余的項是哪幾項，從而準確求和．　 [對點訓練] (2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知首項為2的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn＝，設bn＝log2an. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由； (3)求數(shù)列的前n項和Tn. 解：(1)依題意得a1＝2，則n＝1時，S1＝＝a1，所以a2＝8. 當n≥2時，Sn－

9、1＝，則an＝Sn－Sn－1＝－，整理得＝4. 又＝4，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為4的等比數(shù)列， 所以an＝2·4n－1＝22n－1. (2)bn＝log2an＝log222n－1＝2n－1，則bn＋1－bn＝2n＋1－(2n－1)＝2， 且b1＝1，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． (3)由(2)得bn＝2n－1， 所以＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝. 　　　錯位相減法求和(綜合型) [典型例題] (2019·鄭州市第二次質(zhì)量預測)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項和為Sn，若an＝＋(n∈N*，且n≥2)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式；

10、 (2)記cn＝an·2an，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. 【解】　(1)在數(shù)列{an}中，an＝Sn－Sn－1(n≥2)①，因為an＝＋②，且an＞0，所以①÷②得－＝1(n≥2)， 所以數(shù)列{}是以＝＝1為首項，公差為1的等差數(shù)列， 所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以Sn＝n2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 當n＝1時，a1＝1，也滿足上式， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1. (2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)×22n－1， 則Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n－1)×22n－1， 4Tn

11、＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1， 兩式相減得，－3Tn＝2＋2(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)22n＋1 ＝2＋2×－(2n－1)22n＋1 ＝－＋22n＋1， 所以Tn＝. 應用錯位相減法求和需注意的問題 (1)錯位相減法適用于求數(shù)列{an·bn}的前n項和，其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列． (2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減．要注意的是相減后所得部分，求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù)． (3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n＝1，2進行驗證．　 [對點訓練] 已知{an}為

12、正項等比數(shù)列，a1＋a2＝6，a3＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式an； (2)若bn＝，且{bn}的前n項和為Tn，求Tn. 解：(1)依題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，則有 ，則3q2－4q－4＝0，而q＞0， 所以q＝2. 于是a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. (2)由(1)得bn＝＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得，Tn＝＋＋＋…＋－， 所以Tn＝1＋＋＋…＋－ ＝－ ＝2－. 　　　數(shù)列與其他知識的交匯問題(交匯型) [典型例題] 設數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若點An在函數(shù)f(x)＝－x

13、＋c的圖象上運動，其中c是與x無關的常數(shù)，且a1＝3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)記bn＝aan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn的最小值． 【解】　(1)因為點An在函數(shù)f(x)＝－x＋c的圖象上運動，所以＝－n＋c，所以Sn＝－n2＋cn. 因為a1＝3，所以c＝4，所以Sn＝－n2＋4n，所以an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5(n≥2)． 又a1＝3滿足上式，所以an＝－2n＋5(n≥1)． (2)由(1)知，bn＝aan＝－2an＋5＝－2(－2n＋5)＋5＝4n－5， 所以Tn＝＝2n2－3n. 所以Tn的最小值是T1＝－1. 數(shù)列與函數(shù)交匯問題的常見類

14、型及解法 (1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題． (2)已知數(shù)列條件，需構造函數(shù)，利用函數(shù)知識解決問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對式子化簡變形．另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解．　 [對點訓練] 1．設等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a34a4 000＝12，則＋的最小值為____________． 解析：因為等比數(shù)列{an}滿足an＞0，且a34a4 000＝12， 所以a2 015a2 019＝a34a4 000＝12.所以＋≥2＝2＝1， 當且僅當＝，即a2 015＝6

15、，a2 019＝2時，等號成立，所以＋的最小值為1. 答案：1 2．已知定義在R上的函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)－2，數(shù)列{an}滿足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝f，n∈N*，則a2 019的值為____________． 解析：因為g(x)＝f(x)－2，且函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以g(0)＝0，所以f(0)－2＝0，解得f(0)＝2. 因為函數(shù)g(x)＝f(x)－2是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，因為f(an＋1)＝f， 所以an＋1＝，整理可得＝3. 因為a1＝f(0)＝2，所以＋＝1，所以數(shù)

16、列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列， 所以＋＝1×3n－1，即an＝，所以a2 019＝. 答案： 一、選擇題 1．數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，則a3等于(　　) A．15　　　　　　　　　 B．10 C．9 D．5 解析：選A.由a2＝(2－λ)a1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，所以a3＝(2×2＋1)×3＝15，故選A. 2．數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，則數(shù)列{bn}的前50項和為(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 解析：選A.由題意

17、得，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n，當n＝1時，a1＝S1＝3，所以數(shù)列{bn}的前50項和為－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故選A. 3．已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項和為(　　) A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124 解析：選C.由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項和為＋10×1＋×2＝1 123.故選C. 4．已知函數(shù)f(x)＝，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是(　　

18、) A. B. C. D. 解析：選B.模擬程序的運行，可得程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構計算并輸出變量 S＝＋＋…＋的值， 可得：S＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝1－＝. 5．已知等比數(shù)列{an}，a1＝1，a4＝，且a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＜k，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.設等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，則q3＝＝，解得q＝，所以an＝， 所以anan＋1＝×＝， 所以數(shù)列{anan＋1}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 所以a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝＜. 因為a1a2＋a2a3＋…＋anan

19、＋1＜k，所以k≥. 故k的取值范圍是.故選D. 6．已知數(shù)列{an}滿足2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)，數(shù)列的前n項和為Sn，則S1·S2·S3·…·S10＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C.因為2a1＋22a2＋…＋2nan＝n(n∈N*)， 所以2a1＋22a2＋…＋2n－1an－1＝n－1(n≥2)， 兩式相減得2nan＝1(n≥2)，a1＝也滿足上式，故an＝， 故＝＝－， Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝， 所以S1·S2·S3·…·S10＝×××…××＝，故選C. 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋S

20、m＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，則a8＝________． 解析：數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋Sm＝Sn＋m(n，m∈N*)且a1＝5，令m＝1，則Sn＋1＝Sn＋S1＝Sn＋5，即Sn＋1－Sn＝5，所以an＋1＝5，所以a8＝5. 答案：5 8．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺．問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天織了5尺布，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)問題中的條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則該女子所需的天數(shù)至少為________天． 解析：設該女子第1天織布x尺，則＝

21、5， 解得x＝.所以前n天所織布的尺數(shù)為(2n－1)． 令(2n－1)≥30，則2n≥187，又n∈N*， 故n的最小值為8. 答案：8 9．已知函數(shù)f(x)＝ax＋1(a＞0，a≠1)的圖象過點(3，9)．當n∈N*時，an＝－，若數(shù)列{an}的前n項和為，則n的值為____________． 解析：設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，因為函數(shù)f(x)＝ax＋1(a＞0，a≠1)的圖象過點(3，9)，所以a3＋1＝9，所以a＝2，所以f(x)＝2x＋1，所以an＝＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝－.因為數(shù)列{an}的前n項和為，所以－＝，解得n＝5. 答案：5 三、解答題 10．(2

22、019·重慶市七校聯(lián)合考試)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且關于x的不等式a1x2－dx－3＜0的解集為(－1，3)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝2＋an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解：(1)由題意知，方程a1x2－dx－3＝0的兩個根分別為－1和3. 則，解得. 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)， 所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2. 11．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n

23、項和，且a17＝33，S7＝49. (1)證明：a1，a5，a41成等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an·3n}的前n項和Tn. 解：(1)證明：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由于a17＝33，S7＝49， 則解得a1＝1，d＝2， 所以an＝2n－1. 則a1＝1，a5＝9，a41＝81， 即a＝a1·a41. 所以a1，a5，a41成等比數(shù)列． (2)由(1)得：an·3n＝(2n－1)·3n， Tn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－1)·3n①， 3Tn＝1×32＋3×33＋…＋(2n－1)·3n＋1②， ①－②得，－2Tn＝3＋2×32＋2×33＋…＋

24、2×3n－(2n－1)·3n＋1＝3＋2－(2n－1)·3n＋1， 整理得Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 故數(shù)列{an·3n}的前n項和為Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 12．(2019·安徽省考試試題)已知等差數(shù)列{an}中，a5－a3＝4，其前n項和為Sn，且S2，S3－1，S4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)令bn＝(－1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)設{an}的公差為d，由a5－a3＝4，得2d＝4，d＝2. 所以S2＝2a1＋2，S3－1＝3a1＋5，S4＝4a1＋12， 又S2，S3－1，S4成等比數(shù)列，所以(3a1＋5)2＝(2a1＋2)(4a1＋12)， 解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n＝(－1)n， 當n為偶數(shù)時，Tn＝－＋－ ＋…－＋＝－1＋＝－. 當n為奇數(shù)時，Tn＝－＋－ ＋…＋－＝－1－＝－. 所以Tn＝. - 13 -