（新課標）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 文 新人教A版

《（新課標）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 文 新人教A版（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 [做真題] 1．(2017·高考全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：選D.由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞)，選D. 2．(2019·高考全國卷Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sin x－sin 2

2、x在[0，2π]的零點個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：選B.f(x)＝2sin x－2sin xcos x＝2sin x(1－cos x)，令f(x)＝0，則sin x＝0或cos x＝1，所以x＝kπ(k∈Z)，又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故選B. 3．(2019·高考全國卷Ⅲ)設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則(　　) A．f＞f＞f B．f＞f＞f C．f＞f＞f D．f＞f＞f 解析：選C.因為函數(shù)y＝2x在R上是增函數(shù)，所以0<2－<2－<20＝1.因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上是

3、增函數(shù)，所以log3f>f(log34)＝f.故選C. [明考情] 1．基本初等函數(shù)作為高考的命題熱點，多考查利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，有時難度較大． 2．函數(shù)的應(yīng)用問題多體現(xiàn)在函數(shù)零點與方程根的綜合問題上，近幾年全國卷考查較少，但也要引起重視，題目可能較難． 　　　基本初等函數(shù)的圖象及性質(zhì)(綜合型) [知識整合] 指數(shù)與對數(shù)式的8個運算公式 (1)am·an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3

4、)(ab)m＝ambm. (4)loga(MN)＝logaM＋logaN. (5)loga ＝logaM－logaN. (6)logaMn＝nlogaM. (7)alogaN＝N. (8)logaN＝. 注：(1)(2)(3)中，a>0，b>0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0. 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分01兩種情況，當(dāng)a>1時，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0

5、 (1)(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)若f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，則滿足f(x－1)>－e2的x的取值范圍是(　　) A．(－2，＋∞)　　　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(2，＋∞) D．(3，＋∞) (2)(2018·高考全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln(－x)＋1, f(a)＝4，則f(－a)＝________. 【解析】　(1)由f(x)＝ex－ae－x為奇函數(shù)，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，則f(x)在R上單調(diào)遞增，又f(x－1)>－e2＝f(－2)，所以x－1>－2，解得x>－1，故選

6、B. (2)由f(a)＝ln(－a)＋1＝4，得ln(－a)＝3，所以f(－a)＝ln(＋a)＋1＝－ln＋1＝－ln(－a)＋1＝－3＋1＝－2. 【答案】　(1)B　(2)－2 研究指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)應(yīng)注意的問題 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)特別是與單調(diào)性有關(guān)的問題時，首先要看底數(shù)a的范圍． (2)研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)的限制條件．如求f(x)＝ln(x2－3x＋2)的單調(diào)區(qū)間，只考慮t＝x2－3x＋2與函數(shù)y＝ln t的單調(diào)性，易忽視t>0的限制條件． 　 [對點訓(xùn)練] 1．(2019·高考天津卷)已

7、知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．clog24＝2，b＝log381，c＝0.30.2<1，所以c0且a≠1)滿足f()>f()，則f(1－)>0的解集為(　　) A．(0，1)　　　　　　　　　　 B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：選C.因為函數(shù)f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上為單調(diào)函

8、數(shù)，而<且f()>f()，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可由f(1－)>0，得0<1－<1，所以x>1，故選C. 　　　函數(shù)的零點(綜合型) [知識整合] 函數(shù)的零點及其與方程根的關(guān)系 對于函數(shù)f(x)，使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點．函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點的橫坐標． 零點存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)

9、有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． [典型例題] (1)(2018·福建市第一學(xué)期高三期末考試)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(x)＋3x的零點個數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 (2)(2019·江西八所重點中學(xué)聯(lián)考)已知f(x)＝，若關(guān)于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，)∪[1，2) B．(0，)∪[1，2) C．(1，2) D．[1，2) 【解析】　(1)令f(x)＋3x＝0，則或解得x＝0或x＝－1，所以函數(shù)y＝f(x)＋3x的

10、零點個數(shù)是2.故選C. (2)關(guān)于x的方程a＝f(x)恰有兩個不同的實根，即函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝a恰有兩個不同的交點，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖象可得實數(shù)a的取值范圍是∪[1，2)，故選B. 【答案】　(1)C　(2)B 利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．　 (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解． (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解． [對點訓(xùn)練] 1．已知實數(shù)a>1，0

11、 B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 解析：選B.因為a>1，00，則由零點存在性定理可知f(x)在區(qū)間(－1，0)上存在零點． 2．已知在區(qū)間(0，2]上的函數(shù)f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx在區(qū)間(0，2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析：選A.由函數(shù)g(x)＝f(x)－mx在(0，2]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，得y＝f(x)，y＝mx在(0，2]內(nèi)的圖象有且僅有兩個不同的交點．當(dāng)y＝mx與

12、y＝－3在x∈(0，1]相切時，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，結(jié)合圖象可得當(dāng)－0)模型，常用基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識求解． [典型例題] (2019·高考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星

13、的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　) A. 1010.1　　　　　　　　B. 10.1 C. lg 10.1 D. 10－10.1 【解析】　根據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg ，把m1與m2的值分別代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg ＝10.1，所以＝1010.1，故選A. 【答案】　A

14、 應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序和解題關(guān)鍵 (1)一般程序：???. (2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是確切地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答．　 [對點訓(xùn)練] 1．某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件該產(chǎn)品需另投入的成本為G(x)(單位：萬元)，當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時，G(x)＝x2＋10x；當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時，G(x)＝51x＋－1 450.已知每件產(chǎn)品的售價為0.05萬元．通過市場分析，該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完，則該工廠在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤的最大值是________萬元． 解析：因為每件產(chǎn)品的售價

15、為0.05萬元， 所以x千件產(chǎn)品的銷售額為0.05×1 000x＝50x萬元．①當(dāng)0

16、 000 2．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時間t(小時)的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費的時間為________小時． 解析：前5小時污染物消除了10%，此時污染物剩下90%，即t＝5時，P＝0.9P0，代入，得(e－k)5＝0.9， 所以e－k＝＝0.9， 所以P＝P0e－kt＝P0(0.9)t.當(dāng)污染物減少19%時，污染物剩下81%，此時P＝0.81P0，代入得0.81＝(0.9)t，解得t＝10，即需要花費10小時． 答案：10 一、選擇題 1．冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則

17、它的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．(0，＋∞)　　　　　　　 B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析：選D.設(shè)f(x)＝xa，則2a＝，所以a＝－2，所以f(x)＝x－2，它是偶函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)．故選D. 2．函數(shù)f(x)＝－|x|－＋3的零點所在區(qū)間為(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：選B.函數(shù)f(x)＝－|x|－＋3是單調(diào)減函數(shù)，因為f(1)＝1>0，f(2)＝1－<0，所以f(1)f(2)<0，可知函數(shù)f(x)＝－|x|－＋3的零點所在區(qū)間為(1，2)． 3．(2019·蓉城名校

18、第一次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(log36))＝(　　) A．1 B. C. D．－2 解析：選B.因為log36>1，所以f(log36)＝3log36－8＝－2，所以f(f(log36))＝f(－2)＝＋log4(2＋2)＝＋1＝.故選B. 4．(2019·廣州市綜合檢測(一))如圖， 一高為H且裝滿水的魚缸，其底部裝有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時，水從孔中勻速流出，水流完所用時間為T.若魚缸水深為h時，水流出所用時間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是(　　) 解析：選B.水位由高變低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故選B.

19、 5．(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，則(　　) A．x1，0－ln 2＝ln ，所以e－>eln＝，所以z>y.綜上可知，x>z>y，故選B. 6．(2019·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測)若函數(shù)f(x)＝x2，設(shè)a＝log54，b＝log，c＝2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系是(　　) A．f(a)>f

20、(b)>f(c) B．f(b)>f(c)>f(a) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b) 解析：選D.f(x)＝x2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而0

21、os 2x＝0或sin x＝0，因為x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，所以x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因為＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零點之和等于7π，故選C. 8．(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝2x＋log3 ，若不等式f>3成立，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，1) C. D. 解析：選D.由>0得x∈(－2，2)，又y＝2x在(－2，2)上單調(diào)遞增，y＝log3 ＝log3 ＝log3在(－2，2)上單調(diào)

22、遞增，所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)，又f(1)＝3，所以不等式f>3成立等價于不等式f>f(1)成立，所以解得

23、e. 10．(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝kx－|x－e－x|有兩個正實數(shù)零點，則k的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(0，) C．(0，1) D．(0，e) 解析：選C.令f(x)＝kx－|x－e－x|＝0，得kx＝|x－e－x|，當(dāng)x>0時，k＝＝，令g(x)＝1－，x>0，則g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，因為g()＝1－<0，g(1)＝1－>0，所以在(，1)上存在一個a，使得g(a)＝0， 所以y＝|g(x)|的圖象如圖所示． 由題意知，直線y＝k與y＝|g(x)|的圖象有兩個交點，所以0

24、 二、填空題 11．已知函數(shù)y＝4ax－9－1(a＞0且a≠1)恒過定點A(m，n)，則logmn＝________． 解析：依題意知，當(dāng)x－9＝0，即x＝9時，y＝4－1＝3，故定點為(9，3)，所以m＝9，n＝3，故logmn＝log93＝. 答案： 12．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，則a＝________． 解析：當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x>0時，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝＝8，所以a＝－3. 答案：－

25、3 13．某工廠常年生產(chǎn)紅木家具，根據(jù)預(yù)測可知，該產(chǎn)品近10年的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2014年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(單位：萬件)之間的關(guān)系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.61 7.00 8.87 若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：①f(x)＝ax＋b，②f(x)＝2x＋a，③f(x)＝logx＋a.則你認為最適合的函數(shù)模型的序號為________． 解析：若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不

26、符合；若模型為f(x)＝logx＋a，則f(x)是減函數(shù)，與表格數(shù)據(jù)相差太大，不符合；若模型為f(x)＝ax＋b，由已知得，解得.所以f(x)＝x＋，x∈N，所以最適合的函數(shù)模型的序號為①. 答案：① 14．對于實數(shù)a，b，定義運算“?”：a?b＝設(shè)f(x)＝(2x－1)?(x－1)，且關(guān)于x的方程f(x)－m＝0恰有三個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：由2x－1≤x－1可得x≤0，由2x－1>x－1可得x>0.所以根據(jù)題意得 f(x)＝ 即f(x)＝ 畫出函數(shù)的圖象，從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根時，函

27、數(shù)的圖象和直線y＝m有三個不同的交點，再根據(jù)函數(shù)的極大值為f＝， 可得m的取值范圍是. 答案： 三、解答題 15．某企業(yè)為打入國際市場，決定從A，B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進行投資生產(chǎn)，已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表：(單位：萬美元) 項目 類別 年固定 成本 每件產(chǎn) 品成本 每件產(chǎn)品 銷售價 每年最多可 生產(chǎn)的件數(shù) A產(chǎn)品 20 m 10 200 B產(chǎn)品 40 8 18 120 其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān)，m為待定常數(shù)，其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料價格決定，預(yù)計m∈[6，8]．另外，年銷售x件B產(chǎn)品時需上交0.05x2萬美元的特別關(guān)稅

28、．假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去． (1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域； (2)如何投資最合理(可獲得最大年利潤)？請你做出規(guī)劃． 解：(1)由年銷售量為x件，按利潤的計算公式，可得生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品的年利潤y1，y2分別為y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20，其定義域為{x∈N|0≤x≤200}； y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，其定義域為{x∈N|0≤x≤120}． (2)因為6≤m≤8，所以10－m>0，函數(shù)y1＝(10－m)x－20在[0，2

29、00]上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝200時，生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤，且y1max＝(10－m)×200－20＝1 980－200m(萬美元)． 又y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N，0≤x≤120)， 所以當(dāng)x＝100時，生產(chǎn)B產(chǎn)品有最大利潤，且y2max＝460(萬美元)． 因為y1max－y2max＝1 980－200m－460 ＝1 520－200m 所以當(dāng)6≤m<7.6時，可投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件； 當(dāng)m＝7.6時，生產(chǎn)A產(chǎn)品或生產(chǎn)B產(chǎn)品均可(投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件或生產(chǎn)B產(chǎn)品100件)； 當(dāng)7.6

30、x－m－x，其中m為常數(shù)． (1)若對任意x∈R有f(x)≥0成立，求m的取值范圍； (2)當(dāng)m>1時，判斷f(x)在[0，2m]上零點的個數(shù)，并說明理由． 解：(1)f′(x)＝ex－m－1， 令f′(x)＝0，得x＝m. 故當(dāng)x∈(－∞，m)時，ex－m<1，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(m，＋∞)時，ex－m>1，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝m時，f(m)為極小值，也是最小值． 令f(m)＝1－m≥0，得m≤1， 即若對任意x∈R有f(x)≥0成立，則m的取值范圍是(－∞，1]． (2)當(dāng)m>1時，f(x)在[0，2m]上有兩個零點，理由如下： 由(1)知f(x)在[0，2m]上至多有兩個零點，當(dāng)m>1時，f(m)＝1－m<0. 因為f(0)＝e－m>0，f(0)f(m)<0， 所以f(x)在(0，m)上有一個零點． 因為f(2m)＝em－2m，令g(m)＝em－2m， 因為當(dāng)m>1時，g′(m)＝em－2>0， 所以g(m)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0. 所以f(m)·f(2m)<0，所以f(x)在(m，2m)上有一個零點． 所以f(x)在[0，2m]上有兩個零點． - 14 -