（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線學(xué)案 文 新人教A版

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1、第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 [做真題] 1．(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．8 解析：選D.依題意得＝，解得p＝8，故選D. 2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為(　　) A．2sin 40° B．2cos 40° C. D. 解析：選D.依題意知，－＝tan 130°＝tan(130°－180°)＝－tan 50°，兩邊平方得＝tan250°＝e2－1，e2＝1＋t

2、an250°＝，又e>1，所以e＝，選D. 3．(2016·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B．1 C. D．2 解析：選D.易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，設(shè)P(xP，yP)，由PF⊥x軸可得xP＝1，代入拋物線方程得yP＝2(－2舍去)，把P(1，2)代入曲線y＝(k＞0)得k＝2. 4．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知F是雙曲線C：－＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|OP|＝|OF|，則△OPF的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因?yàn)閏2＝a2＋b

3、2＝9，所以|OP|＝|OF|＝3.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則x2＋y2＝9，把x2＝9－y2代入雙曲線方程得|y|＝，所以S△OPF＝|OF|·|yP|＝.故選B. 5．(一題多解)(2018·高考全國(guó)卷Ⅲ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選D.法一：由離心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D. 法二：離心率e＝的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點(diǎn)

4、到直線的距離公式得點(diǎn)(4，0)到C的漸近線的距離為＝2.故選D. [明考情] 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一直是高考的命題熱點(diǎn)，其中求解圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系是高考解答題的?？純?nèi)容，離心率問(wèn)題、雙曲線的漸近線問(wèn)題等常出現(xiàn)在選擇題、填空題中． 　　　圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程(綜合型) [知識(shí)整合] 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 |PF1|＋|PF2|＝ 2a(2a>|F1F2|) ||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|) |PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線 l上，PM⊥l于M 標(biāo)準(zhǔn)方程 ＋＝1 (a>

5、b>0) －＝1 (a>0，b>0) y2＝2px(p＞0) 圖形 [典型例題] (1)(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，若經(jīng)過(guò)F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(　　) A．x2－y2＝1　　　　　　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 (2)(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋

6、＝1 D.＋＝1 【解析】　(1)由題意，得雙曲線的左焦點(diǎn)為F(－c，0)．由離心率e＝＝，得c＝a，c2＝2a2＝a2＋b2，即a＝b，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則經(jīng)過(guò)F和P(0，4)兩點(diǎn)的直線的斜率k＝＝1，得c＝4，所以a＝b＝2，所以雙曲線的方程為－＝1，故選D. (2)設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a>b>0)，連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由橢圓的定義知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)．令∠OAF2＝θ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－

7、2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1.故選B. 【答案】　(1)D　(2)B (1)圓錐曲線定義的應(yīng)用 ①已知橢圓、雙曲線上一點(diǎn)及焦點(diǎn)，首先要考慮使用橢圓、雙曲線的定義求解． ②應(yīng)用拋物線的定義，靈活將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化使問(wèn)題得解． (2)圓錐曲線方程的求法 求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計(jì)算”． ①定型．就是指定類(lèi)型，也就是確定圓錐曲線的焦點(diǎn)位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程． ②計(jì)算．即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線常設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0

8、)，橢圓常設(shè)為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2－ny2＝1(mn>0)．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離等于2p，則直線MF的斜率為(　　) A．±　　　　　　　　 B．±1 C．± D．± 解析：選A.設(shè)M(x，y)，由題意知F，由拋物線的定義，可知x＋＝2p，故x＝，由y2＝2p×，知y＝±p.當(dāng)M時(shí)，kMF＝＝，當(dāng)M時(shí)，kMF＝＝－，故kMF＝±.故選A. 2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率為，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，

9、則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 解析：選D.因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2－＝1，故選D. 3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝(　　) A．1 B．2 C．4 D. 解析：選A.如圖所示，延長(zhǎng)F1H交PF2于點(diǎn)Q，由PH為∠F1PF2的平分線及PH

10、⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|.根據(jù)雙曲線的定義，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，從而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH為中位線，則|OH|＝1. 　　　圓錐曲線的幾何性質(zhì)(綜合型) [知識(shí)整合] 橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關(guān)系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ . (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝ . 雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系． [典型例題] (1)P是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PF⊥x軸，

11、若tan∠PAF＝，則橢圓的離心率e為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)(一題多解)(2019·東北四市聯(lián)合體模擬(一))已知矩形ABCD，AB＝12，BC＝5，則以A，B為焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩點(diǎn)的雙曲線的離心率為_(kāi)_____． 【解析】　(1)如圖， 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)镻F⊥x軸，所以xP＝c，將xP＝c代入橢圓方程得yP＝，即|PF|＝，則tan∠PAF＝＝＝，結(jié)合b2＝a2－c2，整理得2c2＋ac－a2＝0，兩邊同時(shí)除以a2得2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．故選D. (2)通解：取AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段AB所

12、在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，則焦距2c＝12，所以c＝6，將點(diǎn)C(6，5)代入雙曲線方程，得－＝1①，又因?yàn)閍2＋b2＝62②，由①②解得a＝4，b＝2，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 優(yōu)解：設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，則根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得c＝6，＝5，所以a2＋b2＝36，b2＝5a，即a2＋5a－36＝0，解得a＝4或a＝－9(舍去)，所以雙曲線的離心率e＝＝＝. 【答案】　(1)D　(2) (1)橢圓、雙曲線的離心率(或范圍)的求法 求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已

13、知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值． (2)雙曲線的漸近線的求法及用法 ①求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為零，分解因式可得． ②用法：(i)可得或的值． (ii)利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·福建省質(zhì)量檢查)已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)(，0)到漸近線的距離等于2，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：選D.設(shè)雙曲線C的方程為－＝1(a>0，b>0)，則由題意得c＝.雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，即bx±ay＝0，所以＝2

14、，又c2＝a2＋b2＝5，所以b＝2，所以a＝＝1，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x，故選D. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則雙曲線的離心率的取值范圍是(　　) A．(，2]　　　　　　　　 B．(1，] C．(1，2] D．[，＋∞) 解析：選B.由|PF1|＝4|PF2|，得|PF2|＝＝≥c－a，故c≤＋a＝，則e＝≤，又因?yàn)殡p曲線的離心率e>1，所以1

15、 如圖，設(shè)△AOB的邊長(zhǎng)為a，則A(a，a)，因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線y2＝3x上，所以a2＝3×a，所以a＝6. 答案：6 　　　直線與圓錐曲線(綜合型) [知識(shí)整合] 直線與圓錐曲線位置關(guān)系與“Δ”的關(guān)系 將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量(如y)得到方程Ax2＋Bx＋C＝0. ①若A＝0，則： 圓錐曲線可能為雙曲線或拋物線，此時(shí)直線與圓錐曲線只有一個(gè)交點(diǎn)． ②若A≠0，則： 當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(相交)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)(相切)；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線與圓錐曲線沒(méi)有交點(diǎn)(相離)． 直線與圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng) 設(shè)

16、而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入，即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝·|x1－x2|＝|y1－y2|， 其中|x1－x2|＝. [典型例題] 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R(0，2)，F(xiàn)是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)，|RF|＝3|OF|. (1)求拋物線C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)R的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與直線y＝－2交于點(diǎn)M，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線分別記為l1，l2，l1與l2交于點(diǎn)N，若△MON是等腰三角形，求直線l的方程． 【解】　(1)因?yàn)镕是拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)， 所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為. 因

17、為點(diǎn)R(0，2)，|RF|＝3|OF|，所以2－＝3×， 解得p＝1. 所以拋物線C的方程為x2＝2y. (2)依題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k≠0)， 由解得所以M. 由消去y并整理得，x2－2kx－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2k，① x1x2＝－4.② 對(duì)y＝求導(dǎo)，得y′＝x， 則拋物線C在點(diǎn)A處的切線l1的方程為y－y1＝x1(x－x1)． 由于點(diǎn)A在拋物線C上，則y1＝，所以l1的方程為y＝x1x－.③ 同理可得l2的方程為y＝x2x－.④ 由①②③④得 即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k，－2)． 所以kOM

18、·kON＝×(－)＝－1，則OM⊥ON. 又△MON是等腰三角形， 所以|OM|＝|ON|， 即＋4＝k2＋4，解得k＝±2. 所以直線l的方程為y＝2x＋2或y＝－2x＋2. 解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題的步驟 (1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)． (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組，消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零)． (3)利用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式． (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．過(guò)點(diǎn)M(1，1)作斜率為－的直線與橢圓C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于(　　) A

19、.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1， 兩式相減得＋＝0， 變形得－＝，即－＝－，＝. 所以，e＝＝＝. 2．(2019·成都市第二次診斷性檢測(cè))已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為4，離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且F1M∥F2N，直線F1M的斜率為2，記直線AM，BN的斜率分別為k1，k2，求3k1＋2k2的值． 解：(1)由題意，得2b＝4，＝. 又a2－c2＝b2，所

20、以a＝3，b＝2，c＝1. 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F(xiàn)1(－1，0)． 由題意得，直線F1M的方程為y＝2(x＋1)． 記直線F1M與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為M′.設(shè)M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2)． 因?yàn)镕1M∥F2N，所以根據(jù)對(duì)稱性，得N(－x2，－y2)． 聯(lián)立得，消去y，得14x2＋27x＋9＝0. 由題意知x1>x2，所以x1＝－，x2＝－， k1＝＝＝，k2＝＝＝－， 所以3k1＋2k2＝3×＋2×＝0，即3k1＋2k2的值為0. 一、選擇題 1．(2019·高考北京卷)已知橢圓＋＝1(a

21、＞b＞0)的離心率為，則(　　) A．a(chǎn)2＝2b2　　　　　　　 B．3a2＝4b2 C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4b 解析：選B.由題意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以4b2＝3a2.故選B. 2．以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為1，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：選D.設(shè)a，b，c分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距，依題意知，×2cb＝1?bc＝1，2a＝2≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立．故選D. 3．若點(diǎn)P為拋物線y＝2x2上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|PF|的最小值為(　

22、　) A．2 B. C. D. 解析：選D.由題意知x2＝y(tǒng)，則F(0，)，設(shè)P(x0，2x)，則|PF|＝＝ ＝2x＋， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，|PF|min＝. 4．(2019·高考天津卷)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且|AB|＝4|OF|(O為原點(diǎn))，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. 2 D. 解析：選D.由題意知F(1，0)，l：x＝－1，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則|AB|＝4|OF|＝4，而|AB|＝2×，所以＝2，所以e＝＝＝＝，故選D. 5．(一題多解)(

23、2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A.通解：依題意，記F(c，0)，則以O(shè)F為直徑的圓的方程為＋y2＝，將圓＋y2＝與圓x2＋y2＝a2的方程相減得cx＝a2，即x＝，所以點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)均為.由于PQ是圓x2＋y2＝a2的一條弦，因此＋＝a2，即＋＝a2，即＝a2＝，所以c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝＝，故選A. 優(yōu)解一：記F(c，0)．連

24、接OP，PF，則OP⊥PF，所以S△OPF＝|OP|·|PF|＝|OF|·|PQ|，即a·＝c·c，即c2＝2ab，即a2＋b2－2ab＝(a－b)2＝0，所以a＝b，因此C的離心率e＝ ＝，故選A. 優(yōu)解二：記F(c，0)．依題意，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的一條弦，因此OF垂直平分PQ.又|PQ|＝|OF|，因此PQ是該圓與OF垂直的直徑，所以∠FOP＝45°，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為，于是有×＝a，即e＝＝，即C的離心率為，故選A. 6．已知直線l：y＝kx＋2過(guò)雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與圓x2＋y2＝8交于點(diǎn)M，N，若|MN|≥

25、2，則雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，] B．(1，] C．[，＋∞) D．[，＋∞) 解析：選C.設(shè)圓心到直線l的距離為d(d>0)，因?yàn)閨MN|≥2，所以2≥2，即00，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，得|k|＝.所以≥，即≥，所以≥，即1－≥，所以e≥，即雙曲線的離心率e的取值范圍是[，＋∞)．故選C. 二、填空題 7．已知雙曲線－＝1(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為

26、2b，則雙曲線的方程為_(kāi)_____． 解析：根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，A(x，y)，所以? 所以xy＝·＝?b2＝12，故雙曲線的方程為－＝1. 答案：－＝1 8．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線l，過(guò)M(1，0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，若＝，則p＝________． 解析：設(shè)直線AB：y＝x－，代入y2＝2px 得：3x2＋(－6－2p)x＋3＝0， 又因?yàn)椋?，即M為A，B的中點(diǎn)， 所以xB＋(－)＝2，即xB＝2＋，得p2＋4p－12＝0， 解得p＝2，p＝－6(舍去)． 答案：2 9．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線

27、y2＝4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：4x－3y＋11＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為_(kāi)_______． 解析：如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為m，焦點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)P，F(xiàn)作PA⊥m，PM⊥l，F(xiàn)N⊥l，垂足分別為A，M，N.連接PF，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以|PA|＝|PF|，所以(d1＋d2)min＝(|PF|＋|PM|)min＝|FN|.點(diǎn)F(1，0)到直線l的距離|FN|＝＝3，所以(d1＋d2)min＝3. 答案：3 三、解答題 10．(2019·長(zhǎng)春市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)P是橢圓C上一

28、點(diǎn)，滿足PF2⊥x軸，|PF2|＝，橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積． 解：(1)由題意知，離心率e＝＝，|PF2|＝＝，得a＝2，b＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)由條件可知F1(－，0)，直線l：y＝x＋，聯(lián)立直線l和橢圓C的方程，得，消去y得5x2＋8x＋8＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－，x1·x2＝，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝＝，所以S△AOB＝·|y1－y2|·|OF1|＝. 11．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物

29、線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3，求|AB|. 解：設(shè)直線l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)由題設(shè)得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由題設(shè)可得x1＋x2＝. 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，則x1＋x2＝－. 從而－＝，得t＝－. 所以l的方程為y＝x－. (2)由＝3可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0. 所以y1＋y2＝2.從而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝.

30、 故|AB|＝. 12．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是拋物線x2＝－4y的焦點(diǎn)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若過(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M，求直線l的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得b＝，＝， 解得a＝2，c＝1. 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓C在第一象限相切，所以直線l的斜率存在， 故可設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)＋1(k≠0)． 由 得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.① 因?yàn)橹本€l與橢圓C相切， 所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0. 整理，得2k＋1＝0， 解得k＝－. 所以直線l的方程為y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.將k＝－代入①式，可以解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M的坐標(biāo)為. - 16 -