（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第1講 數(shù)學(xué)文化學(xué)案 文 新人教A版（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　數(shù)學(xué)文化 　　　滲透數(shù)學(xué)的美 [典型例題] (1)(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ) 古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm，則其身高可能是(　　) A．165 cm　　　　　　　　　　 B．175 cm C．185 cm D．190 cm (2)(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．

2、印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有____________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為____________． 【解析】　(1)不妨設(shè)此人咽喉至肚臍的長(zhǎng)度為x cm，則≈0.618，得x≈42，故此人身高大約為26＋42＋105＝173(cm)，考慮誤差，結(jié)合選項(xiàng)，可知選B. (2)依題意知，題中的半正多面體的上、下、左、右、前、后6個(gè)面都在正

3、方體的表面上，且該半正多面體由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成，因此題中的半正多面體共有26個(gè)面．注意到該多面體的俯視圖的輪廓是一個(gè)正八邊形，設(shè)題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為x，則x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故題中的半正多面體的棱長(zhǎng)為－1. 【答案】　(1)B　(2)26?。? 數(shù)學(xué)文化的美學(xué)特征是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容．?dāng)?shù)學(xué)美表現(xiàn)為一種抽象、嚴(yán)謹(jǐn)、含蓄的理性美，從表現(xiàn)形式上分為數(shù)學(xué)內(nèi)容的和諧美、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式美、幾何圖形的構(gòu)造美、數(shù)學(xué)公式的簡(jiǎn)潔美．縱觀數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一切公式、公理和定理，無(wú)不是對(duì)客觀世界存在的秩序、對(duì)稱、和諧、統(tǒng)一的美的反映．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 太極圖是以黑白兩個(gè)魚形紋組成

4、的圖案，它形象化地表達(dá)了陰陽(yáng)輪轉(zhuǎn)、相反相成是萬(wàn)物生成變化根源的哲理，展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對(duì)統(tǒng)一的形式美．按照太極圖的構(gòu)圖方法，在平面直角坐標(biāo)系中，圓O被函數(shù)y＝3sinx的圖象分割為兩個(gè)對(duì)稱的魚形圖案(如圖)，其中小圓的半徑均為1，現(xiàn)從大圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.函數(shù)y＝3sinx的圖象與x軸相交于點(diǎn)(6，0)和點(diǎn)(－6，0)，則大圓的半徑為6，面積為36π，而小圓的半徑為1，兩個(gè)小圓的面積和為2π，所以所求的概率是＝，故選B. 　　　滲透古代名家(學(xué)派)的研究 [典型例題] (1)兩千多年前，古希

5、臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類．如圖中實(shí)心點(diǎn)的個(gè)數(shù)5，9，14，20，…為梯形數(shù)．根據(jù)圖形的構(gòu)成，記此數(shù)列的第2 017項(xiàng)為a2 017，則a2 017－5＝(　　) A．2 023×2 017　　　　　　 B．2 023×2 016 C．1 008×2 023 D．2 017×1 008 (2)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意精度．祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”，將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位，其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年．“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓

6、內(nèi)接正六邊形的面積S6，S6＝________． 【解析】　(1)觀察梯形數(shù)的前幾項(xiàng)，得 5＝2＋3＝a1， 9＝2＋3＋4＝a2， 14＝2＋3＋4＋5＝a3， … an＝2＋3＋…＋(n＋2)＝ ＝(n＋1)(n＋4)， 由此可得a2 017＝×2 018×2 021＝1 009×2 021. 所以a2 017－5＝(1 008＋1)(2 023－2)－5＝1 008×2 023. (2)由題意，得S6＝6××1×1×sin 60°＝. 【答案】　(1)C　(2) 本例(1)以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的研究故事為背景，本例(2)以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”為

7、命題背景，分別考查了數(shù)列問題和圓內(nèi)接正六邊形的面積問題．其中畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“形數(shù)”問題，備受命題者的青睞，已成為高考命題的熱點(diǎn)問題．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2019·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．“冪”是面積，“勢(shì)”是高，意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所載，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體滿足“冪勢(shì)同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為(　　) A．8－ B．8－π C．8－ D．4－

8、解析：選B.題中三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體挖去一個(gè)底面半徑為1、高為2的半圓柱后剩余的部分，三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的體積V＝23－×π×12×2＝8－π，由祖暅原理得不規(guī)則幾何體的體積為8－π，故選B. 2．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…，該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”，則a2 017a2 019－a等于(　　) A．1 B．－1 C．2 017 D．－2 017 解析

9、：選A.因?yàn)閍1a3－a＝1×2－1＝1，a2a4－a＝1×3－22＝－1，a3a5－a＝2×5－32＝1，a4a6－a＝3×8－52＝－1，…，由此可知anan＋2－a＝(－1)n＋1，所以a2 017a2 019－a＝(－1)2 017＋1＝1，故選A. 　　　滲透古代數(shù)學(xué)名著 [典型例題] (1)(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位所著，該書完善了珠算口訣，確立了算盤用法，完成了由籌算到珠算的徹底轉(zhuǎn)變，對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用．如圖所示程序框圖的算法思路源于該書中的“李白沽酒”問題，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a

10、的值為4，則輸出的m的值為(　　) A．19　　　　　　　　　 B．35 C．67 D．131 (2)《數(shù)書九章》中對(duì)已知三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的求法填補(bǔ)了我國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，雖與著名的海倫公式形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)完全等價(jià)，由此可以看出我國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是“以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積”．把以上這段文字用數(shù)學(xué)公式表示，即S＝(S，a，b，c分別表示三角形的面積、大斜、中斜、小斜)．現(xiàn)有周長(zhǎng)為4＋2的△ABC滿足sin A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶∶(－1)，試用上

11、面給出的數(shù)學(xué)公式計(jì)算△ABC的面積為(　　) A. B．2 C. D．2 【解析】　(1)由題意，執(zhí)行程序框圖，可得a＝4，m＝5，i＝1，m＝7， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝2，m＝11， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝3，m＝19， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝4，m＝35， 滿足條件i≤4，執(zhí)行循環(huán)體，i＝5，m＝67， 此時(shí)，不滿足條件i≤4，退出循環(huán)體，輸出m的值為67，故選C. (2)因?yàn)閟in A∶sin B∶sin C＝(＋1)∶∶(－1)， 則由正弦定理得a∶b∶c＝(＋1)∶∶(－1)． 設(shè)a＝(＋1)x，b＝x，c＝(－1)x，

12、 又周長(zhǎng)為4＋2， 所以4＋2＝(＋1)x＋x＋(－1)x， 解得x＝2. 所以S＝ ＝.故選A. 【答案】　(1)C　(2)A 中國(guó)古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就，出現(xiàn)了劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學(xué)家，以及《九章算術(shù)》等經(jīng)典的數(shù)學(xué)傳世之作，這些中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著是我們的豐富寶庫(kù)，繼新課程改革以來(lái)，高考題中出現(xiàn)了一些以古代名著為命題背景的試題，涉及的有《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《算法統(tǒng)宗》等．從某種意義上講，這些試題的價(jià)值實(shí)際上已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了試題本身．　 [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 1．《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．問積幾何？術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，

13、十二而一．”這里所說(shuō)的圓堢壔就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圓柱體的體積為V＝×底面圓的周長(zhǎng)的平方×高，由此可推得圓周率π的取值為(　　) A．3　　　　　　　　　　　 B．3.1 C．3.14 D．3.2 解析：選A.設(shè)圓柱體的底面半徑為r，高為h，由圓柱的體積公式得，體積為V＝πr2h.由題意知V＝×(2πr)2×h，所以πr2h＝×(2πr)2×h，解得π＝3.故選A. 2．《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，如圖所示，若圖中直角三角形兩銳角分別為α，β，且小正方形與大正方形的面積之比

14、為4∶9，則cos(α－β)的值為(　　) A. B. C. D．0 解析：選A.設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，由小正方形與大正方形的面積之比為4∶9，可得小正方形的邊長(zhǎng)為，則cos α－sin α＝，① sin β－cos β＝.② 由題意可得α＋β＝，所以cos α＝sin β，sin α＝cos β. ①×②，可得＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin2β＋cos2β－cos(α－β)＝1－cos(α－β)，所以cos(α－β)＝.故選A. 一、選擇題 1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有一衰分問題：今有北

15、鄉(xiāng)八千一百人，西鄉(xiāng)七千四百八十八人，南鄉(xiāng)六千九百一十二人，凡三鄉(xiāng)，發(fā)役三百人，則北鄉(xiāng)遣(　　) A．104人　　　　　　　　 B．108人 C．112人 D．120人 解析：選B.由題設(shè)可知這是一個(gè)分層抽樣的問題，其中北鄉(xiāng)可抽取的人數(shù)為300×＝300×＝108.故選B. 2．如圖，半徑為1的圓形古幣內(nèi)有一陰影區(qū)域，在圓內(nèi)隨機(jī)撒一大把豆子，共n顆，其中，落在陰影區(qū)域內(nèi)的豆子共m顆，則陰影區(qū)域的面積約為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.設(shè)陰影區(qū)域的面積為S，由幾何概型概率計(jì)算公式可得＝＝， 所以S＝，故選C. 3．將元代著名數(shù)學(xué)家朱世杰的《四元玉鑒》

16、中的一首詩(shī)改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一開始輸入的x的值為(　　) A. B. C．4 D. 解析：選D.這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題，當(dāng)i＝1時(shí)，酒量為2x－1； 當(dāng)i＝2時(shí)，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3； 當(dāng)i＝3時(shí)，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7； 當(dāng)i＝4時(shí)，酒量為0， 即2(4x－3)－1＝0， 解得x＝. 故選D. 4．大衍數(shù)列，來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論．主要用于解釋

17、中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．?dāng)?shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和．是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列第20項(xiàng)為(　　) A．180 B．200 C．128 D．162 解析：選B.根據(jù)前10項(xiàng)可得規(guī)律：每?jī)蓚€(gè)數(shù)增加相同的數(shù)，且增加的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．可得從第11項(xiàng)到20項(xiàng)為60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此數(shù)列第20項(xiàng)為200. 5．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初

18、行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其意思為：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起，由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，走了六天后(第六天剛好用完)到達(dá)目的地．”若將此問題改為“第6天到達(dá)目的地”，則此人第二天至少走了(　　) A．96里 B．48里 C．72里 D．24里 解析：選A.根據(jù)題意知，此人每天行走的路程構(gòu)成了公比為的等比數(shù)列．設(shè)第一天走a1里，則第二天走a2＝a1(里)．易知≥378，則a1≥192. 則第二天至少走96里．故選A. 6．遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖所示的是一位母親記錄的孩子自出生

19、后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，根據(jù)圖示可知，孩子已經(jīng)出生的天數(shù)是(　　) A．336 B．510 C．1 326 D．3 603 解析：選B.由題意滿七進(jìn)一，可得該圖示為七進(jìn)制數(shù)，化為十進(jìn)制數(shù)為1×73＋3×72＋2×7＋6＝510. 7. 漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”(如圖)，四個(gè)全等的直角三角形(朱實(shí))，可以圍成一個(gè)大的正方形，中空部分為一個(gè)小正方形(黃實(shí))．若直角三角形中一條較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為8，直角三角形的面積為24，若在上面扔一顆玻璃小球，則小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為(　　) A. B. C. D

20、. 解析：選C.因?yàn)橹苯侨切沃幸粭l較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為8，直角三角形的面積為24，所以可得另外一條直角邊長(zhǎng)為6，所以小正方形的邊長(zhǎng)為8－6＝2，則“黃實(shí)”區(qū)域的面積為22＝4，因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為82＋62＝100，所以小球落在“黃實(shí)”區(qū)域的概率為＝，故選C. 8．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．其中《方田》章有弧田面積計(jì)算問題，術(shù)曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面積計(jì)算公式為：弧田面積＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圓弧(弧田弧)和以圓弧的端點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(弧田弦)圍成的平面圖形，公式中的“弦”指的是弧田弦的長(zhǎng)，“矢”

21、指的是弧田弧所在圓的半徑與圓心到弧田弦的距離之差．現(xiàn)有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圓為圓O，若用上述弧田面積計(jì)算公式算得該弧田的面積為平方米，則cos∠AOB＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D.如圖，依題意AB＝6，設(shè)CD＝x(x>0)，則(6x＋x2)＝，解得x＝1.設(shè)OA＝y(tǒng)，則(y－1)2＋9＝y(tǒng)2，解得y＝5. 由余弦定理得cos∠AOB＝＝，故選D. 9．(2019·昆明市質(zhì)量檢測(cè))數(shù)列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“

22、兔子數(shù)列”．該數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)之和．記數(shù)列{Fn}的前n項(xiàng)和為Sn，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．S2 019＝F2 021－1 B．S2 019＝F2 021＋2 C．S2 019＝F2 020－1 D．S2 019＝F2 020＋2 解析：選A.根據(jù)題意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)， 所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1， S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1， S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1， …， 所以S2 019＝F2 021－1. 10．中國(guó)古

23、代名詞“芻童”原來(lái)是草堆的意思，關(guān)于“芻童”體積計(jì)算的描述，《九章算術(shù)》注曰：“倍上袤，下袤從之．亦倍下袤，上袤從之．各以其廣乘之，并，以高乘之，六而一．”其計(jì)算方法是：將上底面的長(zhǎng)乘二，與下底面的長(zhǎng)相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長(zhǎng)乘二，與上底面的長(zhǎng)相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一．已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長(zhǎng)為18的矩形，上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為3，則該“芻童”的體積的最大值為(　　) A. B. C．39 D. 解析：選B.設(shè)下底面的長(zhǎng)為x，則下底面的寬為＝9－x.由題可知上底面矩形的長(zhǎng)為3，寬為2，“芻童”的高為

24、3，所以其體積V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)(9－x)]＝－x2＋＋，故當(dāng)x＝時(shí)，體積取得最大值，最大值為－＋×＋＝.故選B. 11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，與題中描繪的器具形狀一樣(大小不同)的器具的三視圖如圖所示(單位：寸)．若在某地下雨天時(shí)利用該器具接的雨水深度為6寸，則這一天該地的平均降雨量約為(注：平均降雨量等于器具中積水的體積除以器具口的面積．參考公式：圓臺(tái)的體積V＝πh(R2＋r2＋R·r)，其中R，r分別表示上、下底面的半徑，h為高)(　　) A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 解析：選A.由三視圖可知，該器具的上

25、底面半徑為12寸，下底面半徑為6寸，高為12寸． 因?yàn)樗佑晁纳疃葹?寸，所以水面半徑為×(12＋6)＝9(寸)， 則盆中水的體積為π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以這一天該地的平均降雨量約為≈2(寸)，故選A. 12．(2019·江西玉山一中期中) 在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖．在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且BD⊥CD，AB＝BD＝CD，點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長(zhǎng)度為x，若△PBD的面積為f(x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是(　　) 解析：選A. 如圖，作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，作QR⊥BD于點(diǎn)R

26、，連接PR，則PQ∥AB，QR∥CD. 因?yàn)镻Q⊥BD，且PQ∩QR＝Q，所以BD⊥平面PQR，所以BD⊥PR，即PR為△PBD中BD邊上的高． 設(shè)AB＝BD＝CD＝1，則＝＝，即PQ＝. 又＝＝＝，所以QR＝， 所以PR＝＝＝，所以f(x)＝＝，故選A. 13．楊輝三角又稱“賈憲三角”，是因?yàn)橘Z憲約在公元11世紀(jì)首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，而1261年楊輝在《詳解九章算法》一書中，輯錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于楊輝三角．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是(

27、　　) A．2 017×22 016 B．2 018×22 015 C．2 017×22 015 D．2 018×22 016 解析：選B.由題意，最后一行為第2 017行，且第1行的最后一個(gè)數(shù)為2×2－1，第2行的最后一個(gè)數(shù)為3×20，第3行的最后一個(gè)數(shù)為4×21…第n行的最后一個(gè)數(shù)為(n＋1)×2n－2，則第2 017行僅有的一個(gè)數(shù)為2 018×22 015，故選B. 14．(2019·蓉城名校第一次聯(lián)考)高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”的美譽(yù)，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個(gè)，其中的一個(gè)成果是：設(shè)x∈R，則y＝[x]稱為高斯函數(shù)，[x]表示不超過(guò)x的最大

28、整數(shù)，如[1.7]＝1，[－1.2]＝－2，并用{x}表示x的非負(fù)純小數(shù)，即{x}＝x－[x]，若方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 解析：選D. 根據(jù)題意可得函數(shù)y＝{x}在x軸正半軸的圖象如圖所示，函數(shù)y＝1－kx為過(guò)定點(diǎn)P(0，1)的直線，所以要使方程{x}＝1－kx有且僅有4個(gè)實(shí)數(shù)根且k為正實(shí)數(shù)，則直線y＝1－kx應(yīng)在PA，PB之間以及恰好在PA處，所以－≤－k<－，即k∈.故選D. 二、填空題 15. 魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部

29、分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)，如圖，若正四棱柱體的高為6，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為________．(容器壁的厚度忽略不計(jì))　 解析：表面積最小的球形容器可以看成長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、6的長(zhǎng)方體的外接球．設(shè)其半徑為R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝，所以該球形容器的表面積的最小值為4πR2＝41π. 答案：41π 16．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中“勾股”章講述了“勾股定理”及

30、一些應(yīng)用．直角三角形的三條邊分別稱為“勾”“股”“弦”．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，若線段PF2，PF1分別是Rt△F1PF2的“勾”“股”，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為________． 解析：由題意知半焦距c＝，又PF1⊥PF2，故點(diǎn)P在圓x2＋y2＝3上，設(shè)P(x，y)，聯(lián)立，得得P.故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為. 答案： 17．公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過(guò)正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了黃金分割，其比值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，則＝________． 解析：由題設(shè)n＝4－m2＝4－4sin

31、218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°， ＝＝＝＝2. 答案：2 18．(2019·四川遂寧市模擬)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被合稱為亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書，阿波羅 尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B(5，0)的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為x2＋y2＝9.下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問題．已知圓O：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為________． 解析： 如圖，取點(diǎn)K(－2，0)，連接OM，MK.因?yàn)閨OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以＝＝2.因?yàn)椤螹OK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，所以＝＝2，所以|MK|＝2|MA|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|，易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋2|MA|＝|MB|＋|MK|的最小值為|BK|的長(zhǎng)．因?yàn)锽(1，1)，K(－2，0)，所以|BK|＝＝. 答案： - 15 -