(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2
《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 3.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版選修2-2(11頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性,了解數(shù)集的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法,理解復(fù)數(shù)相等的充要條件. 知識(shí)點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示 思考 為解決方程x2=2在有理數(shù)范圍內(nèi)無根的問題,數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù);那么怎樣解決方程x2+1=0在實(shí)數(shù)系中無根的問題呢? 答案 設(shè)想引入新數(shù)i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同時(shí)得到一些新數(shù). 梳理 (1)復(fù)數(shù) ①定義:把集合C={a+bi|a,b∈R}中的數(shù),即形如a+bi(a,b∈R
2、)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i叫做虛數(shù)單位.a(chǎn)叫做復(fù)數(shù)的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)的虛部. ②表示方法:復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式. (2)復(fù)數(shù)集 ①定義:全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集. ②表示:通常用大寫字母C表示. 知識(shí)點(diǎn)二 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件 在復(fù)數(shù)集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個(gè)數(shù)a+bi,c+di (a,b,c,d∈R),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d. 知識(shí)點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的分類 (1)復(fù)數(shù)(a+bi,a,b∈R) (2)集合表示: 1.若a,b為實(shí)數(shù),則z=a+bi為虛數(shù).( ×
3、) 2.復(fù)數(shù)z=bi是純虛數(shù).( × ) 3.若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.( √ ) 類型一 復(fù)數(shù)的概念 例1 (1)給出下列幾個(gè)命題: ①若z∈C,則z2≥0; ②2i-1虛部是2i; ③2i的實(shí)部是0; ④若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng),則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng); ⑤實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集. 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 (1)C (2)±,5
4、解析 (1)令z=i∈C,則i2=-1<0,故①不正確. ②中2i-1的虛部應(yīng)是2,故②不正確. ④當(dāng)a=0時(shí),ai=0為實(shí)數(shù),故④不正確, ∴只有③,⑤正確. (2)由題意知∴a=±,b=5. 反思與感悟 (1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:若z=a+bi,只有當(dāng)a,b∈R時(shí),a才是z的實(shí)部,b才是z的虛部,且注意虛部不是bi,而是b. (2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆,實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù),實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分. (3)舉反例:判斷一個(gè)命題為假命題,只要舉一個(gè)反例即可,所以解答這類題時(shí),可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法進(jìn)行解答. 跟蹤訓(xùn)練1 下列命題: ①若a∈R,則(
5、a+1)i是純虛數(shù); ②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)x=±2; ③實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集. 其中正確說法的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 B 解析 對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0且b≠0時(shí),為純虛數(shù).對(duì)于①,若a=-1,則(a+1)i不是純虛數(shù),故①錯(cuò)誤.對(duì)于②,若x=-2,則x2-4=0,x2+3x+2=0,此時(shí)(x2-4)+(x2+3x+2)i=0,不是純虛數(shù),故②錯(cuò)誤.顯然,③正確.故選B. 類型二 復(fù)數(shù)的分類 例2 求當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),z=+(m2+5m+6)i分
6、別是(1)虛數(shù);(2)純虛數(shù). 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解 (1)復(fù)數(shù)z是虛數(shù)的充要條件是 ?m≠-3且m≠-2. ∴當(dāng)m≠-3且m≠-2時(shí),復(fù)數(shù)z是虛數(shù). (2)復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是 ??m=3. ∴當(dāng)m=3時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù). 引申探究 1.若本例條件不變,m為何值時(shí),z為實(shí)數(shù). 解 由已知得,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為, 虛部為m2+5m+6. 復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是 ??m=-2. ∴當(dāng)m=-2時(shí),復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù). 2.已知i是虛數(shù)單位,m∈R,復(fù)數(shù)z=+(m2-2m-15)i,則當(dāng)m=________時(shí),z為純虛數(shù). 答案 3或-2
7、 解析 由題意知解得m=3或-2. 反思與感悟 利用復(fù)數(shù)的概念對(duì)復(fù)數(shù)分類時(shí),主要依據(jù)實(shí)部、虛部滿足的條件,可列方程或不等式求參數(shù). 跟蹤訓(xùn)練2 當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí),復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是 (1)純虛數(shù);(2)實(shí)數(shù). 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的分類 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解 (1)復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是純虛數(shù), 則解得m=4. (2)復(fù)數(shù)lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是實(shí)數(shù), 則解得m=-2或m=-3. 類型三 復(fù)數(shù)相等 例3 (1)已知x0是關(guān)于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)的實(shí)根,則m的值
8、是________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 解析 由題意,得x-(2i-1)x0+3m-i=0, 即(x+x0+3m)+(-2x0-1)i=0, 由此得?m=. (2)已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求實(shí)數(shù)a的值. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 解 由題意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R), 所以即所以a=-1. 反思與感悟 (1)在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件中,注意前提條件是a,b,c,d∈R,即當(dāng)a,b,c,d∈R時(shí),a+bi=c+di?a=c且b=d.若
9、忽略前提條件,則結(jié)論不成立. (2)利用該條件把復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分離出來,達(dá)到“化虛為實(shí)”的目的,從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來求解. 跟蹤訓(xùn)練3 復(fù)數(shù)z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,若z1=z2,則m=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 5 解析 因?yàn)閙∈R,z1=z2, 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得m=5. 1.若xi-i2=y(tǒng)+2i,x,y∈R,則復(fù)數(shù)x+yi等于( ) A.-2+i B.2+i C.1-2i D
10、.1+2i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 B 解析 由i2=-1,得xi-i2=1+xi,則由題意得1+xi=y(tǒng)+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得x=2,y=1,故x+yi=2+i. 2.若復(fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為( ) A.-1 B.2 C.1 D.-1或2 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的分類 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 D 解析 因?yàn)閺?fù)數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為實(shí)數(shù), 所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2. 3.下列幾個(gè)命題: ①兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的一個(gè)必要條件是它們的實(shí)部相等; ②兩個(gè)復(fù)數(shù)不相等的一個(gè)充
11、分條件是它們的虛部不相等; ③1-ai(a∈R)是一個(gè)復(fù)數(shù); ④虛數(shù)的平方不小于0; ⑤-1的平方根只有一個(gè),即為-i; ⑥i是方程x4-1=0的一個(gè)根; ⑦i是一個(gè)無理數(shù). 其中真命題的個(gè)數(shù)為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 B 解析 命題①②③⑥正確,④⑤⑦錯(cuò)誤. 4.已知復(fù)數(shù)z=a2+(2a+3)i(a∈R)的實(shí)部大于虛部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 由已知可得a2>2a+3,即a2-
12、2a-3>0, 解得a>3或a<-1, 因此,實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>3或a<-1}. 5.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,則實(shí)數(shù)x的值是________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案?。? 解析 由題意知得x=-2. 1.對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到復(fù)數(shù)z的不同情況. 2.兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,要先確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部,再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件進(jìn)行判斷. 一、選擇題 1.設(shè)a,b∈R,“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條
13、件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 B 解析 因?yàn)閍,b∈R,當(dāng)“a=0”時(shí)“復(fù)數(shù)a+bi不一定是純虛數(shù),也可能b=0,即a+bi=0∈R”. 而當(dāng)“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”,則“a=0”一定成立. 所以a,b∈R,“a=0”是“復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)”的必要不充分條件. 2.以-+2i的虛部為實(shí)部,以i+2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是( ) A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 求復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部 答案 A 解析 設(shè)所求新復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R), 由題意知復(fù)數(shù)
14、-+2i的虛部為2,復(fù)數(shù)i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的實(shí)部為-2,則所求的z=2-2i.故選A. 3.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),則2x+y的值為( ) A. B.2 C.0 D.1 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 D 解析 由復(fù)數(shù)相等的充要條件知, 解得 ∴x+y=0.∴2x+y=20=1. 4.下列命題中: ①若x,y∈C,則x+yi=1+i的充要條件是x=y(tǒng)=1; ②純虛數(shù)集相對(duì)于復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集; ③若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,則z1=z2=z3. 正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C
15、.2 D.3 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念及分類 答案 A 解析?、偃=i,y=-i,則x+yi=1+i,但不滿足x=y(tǒng)=1,故①錯(cuò);②③錯(cuò),故選A. 5.若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是純虛數(shù),則θ的值為( ) A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z) 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 B 解析 由題意,得 解得(k∈Z),∴θ=2kπ+,k∈Z. 6.若復(fù)數(shù)z=+i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則tan的值為( ) A.7 B.- C.-7 D.-7或-
16、 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 C 解析 ∵復(fù)數(shù)z=+i是純虛數(shù), ∴cos θ-=0,sin θ-≠0, ∴sin θ=-,∴tan θ=-, 則tan===-7. 7.已知關(guān)于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有實(shí)數(shù)根n,且z=m+ni,則復(fù)數(shù)z等于( ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 B 解析 由題意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即解得 ∴z=3-i,故選B. 二、填空題 8.設(shè)m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù),其中
17、i是虛數(shù)單位,則m=________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案?。? 解析 由即m=-2. 9.已知z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i.則m=1是z1=z2的______條件. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù) 答案 充分不必要 解析 當(dāng)z1=z2時(shí),必有m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,顯然m=1是z1=z2的充分不必要條件. 10.已知復(fù)數(shù)z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是實(shí)數(shù),則m的值為________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案
18、 0或1 解析 z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i, 所以m2-m=0,所以m=0或1. 11.復(fù)數(shù)z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________. 考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念 題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 答案 (-∞,-1)∪(-1,+∞) 解析 若復(fù)數(shù)z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i是純虛數(shù),則a2-2a-3=0,|a-2|-1≠0,解得a=-1,∴當(dāng)a≠-1時(shí),復(fù)數(shù)z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是純虛數(shù). 12.已知log(m+n)-(m2-3m)i≥-1,且n∈N*,則m+n=__
19、______.
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)的概念
題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù)
答案 1或2
解析 由題意得
由②,得m=0或m=3.
當(dāng)m=0時(shí),由(m+n)≥-1,得0 20、即m-1≠0,解得m=-3.
(2)要使z是虛數(shù),m需滿足m2+2m-3≠0,且有意義,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.
(3)要使z是純虛數(shù),m需滿足=0,m-1≠0,
且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2.
四、探究與拓展
14.定義運(yùn)算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求實(shí)數(shù)x,y的值.
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等
題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)
解 由定義運(yùn)算=ad-bc,
得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因?yàn)閤,y為實(shí)數(shù),所以
得得x=-1,y=2.
15.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}滿足M∩N?M,且M∩N≠?,求整數(shù)a,b的值.
考點(diǎn) 復(fù)數(shù)相等
題點(diǎn) 由復(fù)數(shù)相等求參數(shù)
解 由題意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,①
或8=(a2-1)+(b+2)i,②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③
由①,得a=-3,b=±2,
由②,得a=±3,b=-2,
③中,a,b無整數(shù)解,不符合題意.
綜上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.
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