(新課標(biāo))2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)考點(diǎn) 自主練透 第2講 集合、復(fù)數(shù)、常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案 理 新人教A版
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1、第2講 集合、復(fù)數(shù)、常用邏輯用語(yǔ)
集 合
[考法全練]
1.(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知集合M={x|-4 2、} B.{2,3}
C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}
解析:選D.因?yàn)锳∩C={-1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2}∪{2,3,4}={1,2,3,4}.故選D.
3.(2019·鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知全集U=R,A={x|y=ln(1-x2)},B={y|y=4x-2},則A∩(?UB)=( )
A.(-1,0) B.[0,1)
C.(0,1) D.(-1,0]
解析:選D.A={x|1-x2>0}=(-1,1),B={y|y>0},所以?UB={y|y≤0},所以A∩(?UB)=(-1,0],故選D 3、.
4.(一題多解)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},則A中元素的個(gè)數(shù)為( )
A.9 B.8
C.5 D.4
解析:選A.法一:由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤,又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的個(gè)數(shù)為CC=9,故選A.
法二:根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形,如圖,易知在圓x2+y2=3中有9個(gè)整點(diǎn),即為集合A的元素個(gè)數(shù),故選A.
5.已知集合M={x|y=lg(2-x)},N={y|y=+},則( )
A.M?N B.N?M
C.M=N D.N∈M
解析:選B. 4、因?yàn)榧螹={x|y=lg(2-x)}=(-∞,2),N={y|y=+}={0},所以N?M.故選B
6.(一題多解)(2019·安徽省考試試題)已知集合A={x|x-a≤0},B={1,2,3},若A∩B≠?,則a的取值范圍為( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,3] D.[3,+∞)
解析:選B.法一:集合A={x|x≤a},集合B={1,2,3},若A∩B≠?,則1,2,3這三個(gè)元素至少有一個(gè)在集合A中,若2或3在集合A中,則1一定在集合A中,因此只要保證1∈A即可,所以a≥1,故選B.
法二:集合A={x|x≤a},B={1,2,3},a的值大于3時(shí), 5、滿足A∩B≠?,因此排除A,C.當(dāng)a=1時(shí),滿足A∩B≠?,排除D.故選B.
集合問(wèn)題的求解策略
(1)連續(xù)數(shù)集借助數(shù)軸,不連續(xù)數(shù)集借助Venn圖.
(2)圖形或圖象問(wèn)題用數(shù)形結(jié)合法.
(3)新定義問(wèn)題要緊扣定義進(jìn)行邏輯推理或運(yùn)算.
[提醒] 解決集合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn).
(1)集合元素的互異性.
(2)不能忽略空集.
(3)注意端點(diǎn)的取值,如題3中,A∩(?UB)中含有元素0.
(4)理解代表元素的意義,如題4為點(diǎn)集,其他各題均為數(shù)集.
復(fù) 數(shù)
[考法全練]
1.(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,則z=( )
A.-1-i B.-1+i 6、
C.1-i D.1+i
解析:選D.由z(1+i)=2i,得z====i(1-i)=1+i.
故選D.
2.(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)z=i(2+i),則=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
解析:選D.因?yàn)閦=i(2+i)=-1+2i,所以=-1-2i,故選D.
3.(一題多解)(2019·南寧模擬)設(shè)z=+2i,則|z|=( )
A.0 B.
C.1 D.
解析:選C.法一:因?yàn)閦=+2i=+2i==-i+2i=i,所以|z|=1,故選C.
法二:因?yàn)閦=+2i==,所以|z|=||===1.故選C.
4.(201 7、9·漳州模擬)已知i是虛數(shù)單位,且z=,則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:選A.z=====2-i,則=2+i,所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故選A.
5.(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
解析:選C.由已知條件,可得z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閨z-i|=1,所以|x+yi-i|=1,所以x2+(y-1)2=1.
故選C.
8、
6.(2019·高考江蘇卷)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是________.
解析:(a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i,因?yàn)槠鋵?shí)部是0,故a=2.
答案:2
復(fù)數(shù)代數(shù)形式的2種運(yùn)算方法
(1)復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)項(xiàng),不含i的看作另一類(lèi)項(xiàng),分別合并同類(lèi)項(xiàng)即可.
(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題時(shí)要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.復(fù)數(shù)的除法類(lèi)似初中所學(xué)化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)常用的“分母有理化”,其實(shí)質(zhì)就是“分母實(shí)數(shù)化”.
[提醒] (1)復(fù)數(shù)運(yùn)算的重點(diǎn)是除法運(yùn)算 9、,其關(guān)鍵是進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化.
(2)對(duì)一些常見(jiàn)的運(yùn)算,如(1±i)2=±2i,=i,=-i等要熟記.
(3)利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時(shí),注意a,b,c,d∈R的前提條件.
常用邏輯用語(yǔ)
[考法全練]
1.(2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))設(shè)命題p:?x∈R,x2-x+1>0,則﹁p為( )
A.?x∈R,x2-x+1>0
B.?x∈R,x2-x+1≤0
C.?x∈R,x2-x+1≤0
D.?x∈R,x2-x+1<0
解析:選C.已知原命題p:?x∈R,x2-x+1>0,全稱(chēng)命題的否定是將全稱(chēng)量詞改為存在量詞,并否定命題的結(jié)論,故原命題的否定﹁p為?x∈R, 10、x2-x+1≤0.
2.(2019·廣州市調(diào)研測(cè)試)下列命題中,為真命題的是( )
A.?x0∈R,e≤0
B.?x∈R,2x>x2
C.a(chǎn)+b=0的充要條件是=-1
D.若x,y∈R,且x+y>2,則x,y中至少有一個(gè)大于1
解析:選D.因?yàn)閑x>0恒成立,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤.取x=2,則2x=x2,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤.當(dāng)a+b=0時(shí),若b=0,則a=0,此時(shí)無(wú)意義,所以也不可能推出=-1;當(dāng)=-1時(shí),變形得a=-b,所以a+b=0,故a+b=0的充分不必要條件是=-1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.假設(shè)x≤1且y≤1,則x+y≤2,這顯然與已知x+y>2矛盾,所以假設(shè)錯(cuò)誤,所以x,y中至少有一個(gè)大 11、于1,故選項(xiàng)D正確.綜上,選D.
3.(2019·高考浙江卷)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:選A.因?yàn)閍>0,b>0,若a+b≤4,所以2≤2+b≤4.
所以ab≤4,此時(shí)充分性成立.當(dāng)a>0,b>0,ab≤4時(shí),令a=4,b=1,則a+b=5>4.
這與a+b≤4矛盾,因此必要性不成立.
綜上所述,當(dāng)a>0,b>0時(shí),“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件.故選A.
4.(2019·高考天津卷)設(shè)x∈R,則“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的( 12、 )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:選B.由“x2-5x<0”可得“0 13、在R上恒成立時(shí),必有m>0,但當(dāng)m>0時(shí),不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分條件可以是m>0,故選C.
6.(一題多解)(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.命題p:?(x,y)∈D,2x+y≥9;命題q:?(x,y)∈D,2x+y≤12.下面給出了四個(gè)命題
①p∨q?、讦鑠∨q ③p∧﹁q?、堞鑠∧﹁q
這四個(gè)命題中,所有真命題的編號(hào)是( )
A.①③ B.①②
C.②③ D.③④
解析:選A.通解:作出不等式組表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示,直線2x+y=9和直線2x+y=12均穿過(guò)了平面區(qū)域D,不等式2x+y≥9表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x+ 14、y=9及其右上方的區(qū)域,所以命題p正確;不等式2x+y≤12表示的區(qū)域?yàn)橹本€2x+y=12及其左下方的區(qū)域,所以命題q不正確.所以命題p∨q和p∧﹁q正確.故選A.
優(yōu)解:在不等式組表示的平面區(qū)域D內(nèi)取點(diǎn)(7,0),點(diǎn)(7,0)滿足不等式2x+y≥9,所以命題p正確;點(diǎn)(7,0)不滿足不等式2x+y≤12,所以命題q不正確.所以命題p∨q和p∧﹁q正確.故選A.
(1)充分條件與必要條件的三種判定方法
定義法
正、反方向推理,若p?q,則p是q的充分條件(或q是p的必要條件);若p?q,且qp,則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)
集合法
利用集合間的包含關(guān) 15、系,例如p:A,q:B,若A?B,則p是q的充分條件(q是p的必要條件);若A=B,則p是q的充要條件
等價(jià)法
將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)便于判斷真假的命題
(2)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題真假的判定方法
①全稱(chēng)命題:要判定一個(gè)全稱(chēng)命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每一個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立,要判定其為假命題,只需舉出一個(gè)反例即可.
②特稱(chēng)命題:要判定一個(gè)特稱(chēng)命題為真命題,只要在限定集合M中至少能找到一個(gè)元素x0,使得p(x0)成立即可;否則,這一特稱(chēng)命題就是假命題.
[提醒] 求解簡(jiǎn)易邏輯問(wèn)題有以下幾個(gè)易失分點(diǎn):
(1)“A是B的充分條件”與“A的充分條件是B”是不同的概念.
(2)命 16、題的否定與否命題是有區(qū)別的,“命題的否定”即“非p”,只是否定命題p的結(jié)論.
(3)全稱(chēng)或特稱(chēng)命題的否定,要否定結(jié)論并改變量詞.
(4)復(fù)合命題的真假判斷依賴(lài)真值表.
一、選擇題
1.(2019·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=( )
A.(-∞,1) B.(-2,1)
C.(-3,-1) D.(3,+∞)
解析:選A.A∩B={x|x2-5x+6>0}∩{x|x-1<0}={x|x<2或x>3}∩{x|x<1}={x|x<1}.
故選A.
2.命題“?x>0,ln x≥1-”的否定是( )
A.?x0≤0 17、,ln x0≥1-
B.?x0≤0,ln x0<1-
C.?x0>0,ln x0≥1-
D.?x0>0,ln x0<1-
解析:選D.若命題為?x∈M,p(x),則其否定為?x0∈M,﹁p(x0).所以“?x>0,ln x≥1-”的否定是?x0>0,ln x0<1-,故選D.
3.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))設(shè)全集U=R,集合A={x|-3 18、以A∪B={x|x>-3},所以?U(A∪B)={x|x≤-3}.故選D.
4. (2019·沈陽(yáng)市質(zhì)量監(jiān)測(cè)(一))已知全集U={1,3,5,7},集合A={1,3},B={3,5},則如圖所示陰影區(qū)域表示的集合為( )
A.{3} B.{7}
C.{3,7} D.{1,3,5}
解析:選B.由圖可知,陰影區(qū)域?yàn)?U(A∪B),由并集的概念知,A∪B={1,3,5},又U={1,3,5,7},于是?U(A∪B)={7},故選B.
5.若i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之積為( )
A.- B.
C.i D.-i
解析:選B.因?yàn)椋剑剑玦,所以其實(shí)部為,虛部為,實(shí) 19、部與虛部之積為.故選B.
6.已知(1+i)·z=i(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:選A.因?yàn)?1+i)·z=i,所以z===,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,故選A.
7.(2019·高考北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos x+bsin x(b為常數(shù)),則“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:選C.因?yàn)閒(x)=cos x+bsin x為偶函 20、數(shù),所以對(duì)任意的x∈R都有f(-x)=f(x),
即cos(-x)+bsin(-x)=cos x+bsin x,
所以2bsin x=0.由x的任意性,得b=0.
故f(x)為偶函數(shù)?b=0.必要性成立.
反過(guò)來(lái),若b=0,則f(x)=cos x是偶函數(shù).充分性成立.
所以“b=0”是“f(x)為偶函數(shù)”的充分必要條件.故選C.
8.下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.“a>1”是“<1”的充分不必要條件
B.命題“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“?x∈(0,+∞),ln x≠x-1”
C.設(shè)x,y∈R,則“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分條件 21、
D.設(shè)a,b∈R,則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件
解析:選C.若<1,則a>1或a<0,則“a>1”是“<1”的充分不必要條件,故A正確;根據(jù)特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題,得“?x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是“?x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,故B正確;當(dāng)x≥2且y≥2時(shí),x2+y2≥4,當(dāng)x2+y2≥4時(shí)卻不一定有x≥2且y≥2,如x=5,y=0,因此“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分不必要條件,故C錯(cuò)誤;因?yàn)椤癮b=0”是“a=0”的必要不充分條件,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件,故D正確.
9.(2019·貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān) 22、測(cè))命題p:若x>y,則x2>y2,命題q:若x 23、的否定是“?x∈R,x+>2”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:選C.由x=,得tan x=1,但由tan x=1推不出x=,所以“x=”是“tan x=1”的充分不必要條件,所以命題①是正確的;若定義在[a,b]上的函數(shù)f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函數(shù),則,則,則f(x)=x2+5在[-5,5]上的最大值為30,所以命題②是正確的;命題“?x0∈R,x0+≥2”的否定是“?x∈R,x+<2”,所以命題③是錯(cuò)誤的.故正確命題的個(gè)數(shù)為2,故選C.
11.已知命題“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
24、
A.(-∞,0) B.[0,4]
C.[4,+∞) D.(0,4)
解析:選D.因?yàn)槊}“?x∈R,4x2+(a-2)x+≤0”是假命題,所以其否定“?x∈R,4x2+(a-2)x+>0”是真命題,則Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a<0,解得0<a<4,故選D.
12.(2019·南昌市第一次模擬測(cè)試)已知r>0,x,y∈R,p:“|x|+≤1”,q:“x2+y2≤r2”,若p是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是( )
A. B.(0,1]
C. D.[2,+∞)
解析:選A.由題意,命題p對(duì)應(yīng)的是菱形及其內(nèi)部,當(dāng)x>0,y>0時(shí),可得菱形的一邊所在的直線方 25、程為x+=1,即2x+y-2=0,由p是q的必要不充分條件,可得圓x2+y2=r2的圓心到直線2x+y-2=0的距離d==≥r,又r>0,所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是,故選A.
二、填空題
13.已知復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)2=1+i(i為虛數(shù)單位),則|z|=________.
解析:因?yàn)閦=-=,所以|z|=.
答案:
14.以下四個(gè)說(shuō)法中,正確的是________(填序號(hào)).
①雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x;
②命題p:?x>0,x3>0,那么﹁p:?x0>0,x≤0;
③已知x,y∈R,若x2+y2≠0,則x,y不全為0;
④△ABC中,若AB>AC, 26、則sin C>sin B.
解析:①是正確的;對(duì)于②,命題p:?x>0,x3>0,﹁p:?x0>0,x≤0,所以②是正確的;對(duì)于③,若x,y同時(shí)為0,則x2+y2=0,與已知矛盾,故x,y不全為0;③正確;對(duì)于④,在△ABC中,大邊對(duì)大角,所以④正確.
答案:①②③④
15.(一題多解)設(shè)P,Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合,定義集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={1,2},Q={-1,0,1},則集合P*Q中元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.
解析:法一(列舉法):當(dāng)b=0時(shí),無(wú)論a取何值,z=ab=1;當(dāng)a=1時(shí),無(wú)論b取何值,ab=1;當(dāng)a=2,b=-1時(shí),z=2-1=;當(dāng)a= 27、2,b=1時(shí),z=21=2.故P*Q=,該集合中共有3個(gè)元素.
法二(列表法):因?yàn)閍∈P,b∈Q,所以a的取值只能為1,2;b的取值只能為-1,0,1.z=ab的不同運(yùn)算結(jié)果如下表所示:
ba
-1
0
1
1
1
1
1
2
1
2
由上表可知P*Q=,顯然該集合中共有3個(gè)元素.
答案:3
16.已知命題p:?x∈[0,1],a≥2x;命題q:?x∈R,使得x2+4x+a=0.若命題“p∨q”是真命題,“﹁p∧q”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
解析:命題p為真,則a≥2x(x∈[0,1])恒成立,
因?yàn)閥=2x在[0,1]上單調(diào)遞增 28、,所以2x≤21=2,
故a≥2,即命題p為真時(shí),實(shí)數(shù)a的取值集合為P={a|a≥2}.
若命題q為真,則方程x2+4x+a=0有解,所以Δ=42-4×1×a≥0,解得a≤4.
故命題q為真時(shí),實(shí)數(shù)a的取值集合為Q={a|a≤4}.
若命題“p∨q”是真命題,則命題p,q至少有一個(gè)是真命題;
由“﹁p∧q”是假命題,可得﹁p與q至少有一個(gè)是假命題.
①若p為真命題,則﹁p為假命題,q可真可假,
此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞);
②若p為假命題,則q必為真命題,此時(shí),“﹁p∧q”為真命題,不合題意.
綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2,+∞).
答案:[2,+∞)
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