(新課標)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 理 新人教A版
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1、第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列 [做真題] 題型一 等差數(shù)列 1.(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4=0,a5=5,則( ) A.a(chǎn)n=2n-5 B.a(chǎn)n=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析:選A.法一:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因為 所以 解得 所以an=a1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5,Sn=na1+d=n2-4n.故選A. 法二:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d, 因為 所以 解得 選項A,a1=2×1-5=-3; 選項B,a1=3×1-10=-7,排除B;
2、 選項C,S1=2-8=-6,排除C; 選項D,S1=-2=-,排除D.故選A. 2.(2018·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:選B.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為3S3=S2+S4,所以3(3a1+d)=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,因為a1=2,所以d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故選B. 3.(2017·高考全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項的和為(
3、) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析:選A.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因為a2,a3,a6成等比數(shù)列,所以a2a6=a,即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2,又a1=1,所以d2+2d=0,又d≠0,則d=-2,所以a6=a1+5d=-9,所以{an}前6項的和S6=×6=-24,故選A. 4.(2019·高考全國卷Ⅲ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1≠0,a2=3a1,則=________. 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2=3a1,即a1+d=3a1,得d=2a1, 所以====4. 答案:4 題型二 等比數(shù)列 1.(201
4、9·高考全國卷Ⅲ)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析:選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4,得q2=4,因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以q=2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15,所以a1=1,所以a3=a1q2=4. 2.(2017·高考全國卷Ⅱ)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共
5、掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( ) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 解析:選B.每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列,記為{an},則前7項的和S7=381,公比q=2,依題意,得S7==381,解得a1=3,故選B. 3.(2019·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和.若a1=,a=a6,則S5=________. 解析:通解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a=a6,所以(a1q3)2=a1q5,所以a1q=1,又a1=,所以q=3,所以S5===. 優(yōu)解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a=a6,
6、所以a2a6=a6,所以a2=1,又a1=,所以q=3,所以S5===. 答案: 4.(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項公式; (2)記Sn為{an}的前n項和.若Sm=63,求m. 解:(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=
7、6. 綜上,m=6. 題型三 等差、等比數(shù)列的判定與證明 (2019·高考全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}和{bn}的通項公式. 解:(1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=(an+bn). 又因為a1+b1=1,所以{an+bn}是首項為1,公比為的等比數(shù)列. 由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因
8、為a1-b1=1,所以{an-bn}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1. 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-, bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. [明考情] 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時,也注重對函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查;對等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題,主要是中低檔題. 等差、等比數(shù)列的基本運算 [典型例題] (1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為S
9、n,若a1=1,=,則數(shù)列{an}的公比q為( ) A.4 B.2 C. D. (2)(2019·開封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=3. ①若a3+b3=7,求{bn}的通項公式; ②若T3=13,求Sn. 【解】 (1)選C.因為=≠2,所以q≠1.所以==1+q5,所以1+q5=,所以q=. (2)①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,數(shù)列{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=3,得d+q=4,(*) 由a3+b3=7,得2d+q2=
10、8,(**) 聯(lián)立(*)(**),解得q=2或q=0(舍去), 因此數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1. ②因為T3=1+q+q2,所以1+q+q2=13, 解得q=3或q=-4, 由a2+b2=3,得d=4-q, 所以d=1或d=8. 由Sn=na1+n(n-1)d, 得Sn=n2-n或Sn=4n2-5n. 等差、等比數(shù)列問題的求解策略 (1)抓住基本量,首項a1、公差d或公比q; (2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征,如前n項和為Sn=an2+bn(a,b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列,通項公式為an=p·qn-1(p,q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列; (3)由于等比數(shù)列
11、的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置,所以常采用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算. [對點訓(xùn)練] 1.(一題多題)(2019·沈陽市質(zhì)量監(jiān)測(一))已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1=12,S5=90,則等差數(shù)列{an}的公差d=( ) A.2 B. C.3 D.4 解析:選C.法一:依題意,5×12+d=90,解得d=3,故選C. 法二:因為等差數(shù)列{an}中,S5=90,所以5a3=90,即a3=18,因為a1=12,所以2d=a3-a1=18-12=6,所以d=3,故選C. 2.(一題多題)(2019·福州市質(zhì)量檢測)等比數(shù)列{an}的各項均為
12、正實數(shù),其前n項和為Sn.若a3=4,a2a6=64,則S5=( ) A.32 B.31 C.64 D.63 解析:選B.通解:設(shè)首項為a1,公比為q,因為an>0,所以q>0,由條件得,解得,所以S5=31,故選B. 優(yōu)解:設(shè)首項為a1,公比為q,因為an>0,所以q>0,由a2a6=a=64,a3=4,得q=2,a1=1,所以S5=31,故選B. 3.(2019·武昌區(qū)調(diào)研考試)設(shè){an}是公差不為零的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,已知S1,S2,S4成等比數(shù)列,且a3=5,則數(shù)列{an}的通項公式為________. 解析:設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),因為{an}
13、是等差數(shù)列,S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(a1+a2)2=a1(a1+a2+a3+a4),因為a3=5,所以(5-2d+5-d)2=(5-2d)(5-2d+15),解得d=2或d=0(舍去),所以5=a1+(3-1)×2,即a1=1,所以an=2n-1. 答案:an=2n-1 等差(比)數(shù)列的性質(zhì) [典型例題] (1)(2019·貴州省適應(yīng)性考試)等差數(shù)列{an}中,a2與a4是方程x2-4x+3=0的兩個根,則a1+a2+a3+a4+a5=( ) A.6 B.8 C.10 D.12 (2)在等比數(shù)列{an}中,a3,a15是方程x2+6x+2=0
14、的根,則的值為( ) A.- B.- C. D.-或 (3)(2019·長春質(zhì)量檢測)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8,則λ=( ) A. B. C.2 D.3 【解析】 (1)根據(jù)題意有a2+a4=4,在等差數(shù)列{an}中,a2+a4=a1+a5=2a3=4?a3=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=5a3=10.故選C. (2)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a3,a15是方程x2+6x+2=0的根,所以a3·a15=a=2,a3+a15=-6,所以a3<0,a15<0,則a9=-,所以==a9=-,故選B. (
15、3)因為Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和, 若S4≠0,且S8=3S4,S12=λS8, 所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得:S4,S8-S4,S12-S8成等差數(shù)列, 所以2(S8-S4)=S4+(S12-S8), 所以2(3S4-S4)=S4+(λ·3S4-3S4), 解得λ=2. 【答案】 (1)C (2)B (3)C 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 抓關(guān)系 抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系,從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解 用性質(zhì) 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),具有函數(shù)的一些性質(zhì),如單調(diào)性、周期性等,可利用函數(shù)的性質(zhì)解題 [對點訓(xùn)練] 1.(一題多解)(2019
16、·福建省質(zhì)量檢查)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,則a33=( ) A.82 B.97 C.100 D.115 解析:選C.通解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則由得解得所以a33=a1+32d=4+32×3=100,故選C. 優(yōu)解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a8-a5=9,得3d=9,即d=3.由S8-S5=66,得a6+a7+a8=66,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)知3a7=66,即a7=22,所以a33=a7+(33-7)×d=22+26×3=100,故選C. 2.(一題多解)(2019·廣東省七校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為S
17、n,a6+a8=6,S9-S6=3,則Sn取得最大值時n的值為( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:選D.法一:設(shè){an}的公差為d,則由題意得,解得所以an=-2n+17,由于a8>0,a9<0,所以Sn取得最大值時n的值是8,故選D. 法二:設(shè){an}的公差為d,則由題意得,解得則Sn=15n+×(-2)=-(n-8)2+64,所以當n=8時,Sn取得最大值,故選D. 3.(一題多解)已知數(shù)列{an}滿足an=若對于任意的n∈N*都有an>an+1,則實數(shù)λ的取值范圍是________. 解析:法一:因為an>an+1,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,所以解得<λ<.
18、
所以實數(shù)λ的取值范圍是.
法二:因為an>an+1恒成立,所以0<λ<1.
若0<λ≤,則當n<6時,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列或常數(shù)列,不滿足對任意的n∈N*都有an>an+1;
若<λ<1,則當n<6時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,當n≥6時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,又對任意的n∈N*都有an>an+1,所以a6 19、an+1}為等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項公式,并判斷n,an,Sn是否成等差數(shù)列?
【解】 (1)證明:因為a3=7,a3=3a2-2,所以a2=3,
所以an=2an-1+1,
所以a1=1,
==2(n≥2),
所以數(shù)列{an+1}是首項為a1+1=2,公比為2的等比數(shù)列.
(2)由(1)知,an+1=2n,
所以an=2n-1,
所以Sn=-n=2n+1-n-2,
所以n+Sn-2an=n+(2n+1-n-2)-2(2n-1)=0,
所以n+Sn=2an,
即n,an,Sn成等差數(shù)列.
判斷(證明)等差(比)數(shù)列應(yīng)注意的問題
(1)判斷或者證明數(shù) 20、列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明,其他方法最后都會回到定義,如證明等差數(shù)列可以證明通項公式是n的一次函數(shù),但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列.
(2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時,不能僅僅證明an+1=qan,還要說明a1≠0,才能遞推得出數(shù)列中的各項均不為零,最后判定數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
[對點訓(xùn)練]
1.(2019·湖南省湘東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an+1-3an=3n(n∈N*)且a1=1.
(1)設(shè)bn=,證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)cn=,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
解:(1)證明:由已知得an+1=3an+3n,得b 21、n+1===+1=bn+1,
所以bn+1-bn=1,又a1=1,
所以b1=1,
所以數(shù)列{bn}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)由(1)知,bn==n,所以an=n·3n-1,cn=,
所以Sn===-.
2.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,對任意的n∈N*,都有Sn=2-an,數(shù)列{bn}滿足b1=2a1,bn=(n≥2,n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,并求數(shù)列{bn}的通項公式.
解:(1)當n=1時,a1=S1=2-a1,解得a1=1;
當n≥2時,an=Sn-Sn-1= 22、an-1-an,
即=(n≥2,n∈N*).
所以數(shù)列{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列,
故數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(2)因為a1=1,
所以b1=2a1=2.
因為bn=,
所以=+1,
即-=1(n≥2).
所以數(shù)列{}是首項為,公差為1的等差數(shù)列.
所以=+(n-1)·1=,故數(shù)列{bn}的通項公式為bn=.
數(shù)列與新定義相交匯問題
[典型例題]
對任一實數(shù)序列A=(a1,a2,a3,…),定義新序列ΔA=(a2-a1,a3-a2,a4-a3,…),它的第n項為an+1-an.假定序列Δ(ΔA)的所有項都是1,且a12=a22=0,則a2=_ 23、_______.
【解析】 令bn=an+1-an,依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,且公差為1,
所以bn=b1+(n-1)×1,
a1=a1,
a2-a1=b1,
a3-a2=b2,
…
an-an-1=bn-1,
累加得an=a1+b1+…+bn-1=a1+(n-1)b1+=(n-1)a2-(n-2)a1+,
分別令n=12,n=22,
得
解得a1=,a2=100.
【答案】 100
數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路
(1)閱讀審清“新定義”.
(2)結(jié)合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)知識,化歸、轉(zhuǎn)化到“新定義”的相關(guān)知識.
(3)利用“新定義”及常規(guī) 24、的數(shù)列知識,求解證明相關(guān)結(jié)論.
[對點訓(xùn)練]
1.對于數(shù)列{an},定義數(shù)列{an+1-an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”,若a1=2,數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項公式為an+1-an=2n,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=( )
A.2 B.2n
C.2n+1-2 D.2n-1-2
解析:選C.因為an+1-an=2n,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,所以Sn==2n+1-2.
2.(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在數(shù)列{an}中,a1=,=,n∈ 25、N+,且bn=.記Pn=b1×b2×…×bn,Sn=b1+b2+…+bn,則3n+1Pn+Sn=________.
解析:因為==-,所以bn==-,所以Sn=b1+b2+…+bn=++…+=-.因為=,所以bn==,所以Pn=b1×b2×…×bn=××…×=.又a1=,故3n+1Pn+Sn=+-==3.
答案:3
一、選擇題
1.(2019·福州市質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}中,a3=2,a7=1.若數(shù)列為等差數(shù)列,則a9=( )
A. B.
C. D.-
解析:選C.因為數(shù)列為等差數(shù)列,a3=2,a7=1,
所以數(shù)列的公差d===,所以=+(9-7) 26、×=,所以a9=,故選C.
2.(一題多解)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S2=2,S3=-6,則S5=( )
A.18 B.10
C.-14 D.-22
解析:選D.法一:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意,得,解得,所以S5==-22,故選D.
法二:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,易知q≠1,令A(yù)=,則Sn=Aqn-A,,解得,所以Sn=[(-2)n-1],所以S5=×[(-2)5-1]=-22,故選D.
3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,則tan 的值是 ( )
A.- B.- 27、1
C.- D.
解析:選A.依題意得,a=(-)3,3b6=7π,所以a6=-,b6=,所以==-,故tan=tan=tan=-tan=-,故選A.
4.(一題多解)(2019·合肥市第一次質(zhì)量檢測)已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*),a5+a7-a=0,則S11的值為( )
A.11 B.12
C.20 D.22
解析:選D.通解:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d>0),則由(a1+4d)+(a1+6d)-(a1+5d)2=0,得(a1+5d)(a1+5d-2)=0,所以a1+5d=0或a1+5d=2,又a1>0,所以a1+5d>0,則a1+5d=2, 28、則S11=11a1+d=11(a1+5d)=11×2=22,故選D.
優(yōu)解:因為{an}為正項等差數(shù)列,所以由等差數(shù)列的性質(zhì),并結(jié)合a5+a7-a=0,得2a6-a=0,a6=2,則S11===11a6=22,故選D.
5.(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,首項a1=4,數(shù)列{bn}滿足bn=log2an,且b1+b2+b3=12,則a4=( )
A.4 B.32
C.108 D.256
解析:選D.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意知q>0,又首項a1=4,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=4·qn-1,又bn=log2an,所以bn=log2( 29、4·qn-1)=2+(n-1)log2q,所以{bn}為等差數(shù)列,則b1+b2+b3=3b2=12,所以b2=4,由b2=2+(2-1)log2q=4,解得q=4,所以a4=4×44-1=44=256.故選D.
6.等差數(shù)列{an}中,已知|a6|=|a11|,且公差d>0,則其前n項和取最小值時n的值為( )
A.6 B.7
C.8 D.9
解析:選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,又|a6|=|a11|,所以-a6=a11,即-a1-5d=a1+10d,所以a1=-,則a8=-<0,a9=>0,所以前8項和為前n項和的最小值,故選C.
二、填空題
7.(2019 30、·貴陽市第一學(xué)期監(jiān)測)已知數(shù)列{an}中,a1=3,a2=7.當n∈N*時,an+2是乘積an·an+1的個位數(shù),則a2 019=________.
解析:a1=3,a2=7,a1a2=21,a3=1,a2a3=7,a4=7,a3a4=7,a5=7,a4a5=49,a6=9,a5a6=63,a7=3,a6a7=27,a8=7,a7a8=21,a9=1,a8a9=7,所以數(shù)列{an}是周期為6的數(shù)列,又2 019=6×336+3,所以a2 019=a3=1.
答案:1
8.在數(shù)列{an}中,n∈N*,若=k(k為常數(shù)),則稱{an}為“等差比數(shù)列”,下列是對“等差比數(shù)列”的判斷:
①k不 31、可能為0;
②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”;
④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.
其中所有正確判斷的序號是________.
解析:由等差比數(shù)列的定義可知,k不為0,所以①正確,當?shù)炔顢?shù)列的公差為0,即等差數(shù)列為常數(shù)列時,等差數(shù)列不是等差比數(shù)列,所以②錯誤;當{an}是等比數(shù)列,且公比q=1時,{an}不是等差比數(shù)列,所以③錯誤;數(shù)列0,1,0,1,…是等差比數(shù)列,該數(shù)列中有無數(shù)多個0,所以④正確.
答案:①④
9.(2019·洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=f(x-1)+1,an=g+g+g+…+g(n∈N*),則數(shù)列{a 32、n}的通項公式為________.
解析:因為f(x)=,所以f(-x)===-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因為g(x)=f(x-1)+1,所以g(x)的圖象關(guān)于點(1,1)對稱,若x1+x2=2,則有g(shù)(x1)+g(x2)=2,所以an=g+g+g+…+g=2(n-1)+g(1)=2n-2+f(0)+1=2n-1,即an=2n-1,故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.
答案:an=2n-1
三、解答題
10.(2019·昆明市診斷測試)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,公比q<1,若a2=2,a1+a2+a3=7.
(1)求{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log2an 33、,求數(shù)列{bn}的前n項和.
解:(1)由已知得,
則或(舍去).
所以an=4×=23-n.
(2)因為bn=log2an=log223-n=3-n,所以數(shù)列{bn}是首項為2,公差為-1的等差數(shù)列.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,
則Tn==.
11.(2019·武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}前三項的和為-9,前三項的積為-15.
(1)求等差數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若{an}為遞增數(shù)列,求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn.
解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則依題意得a2=-3,則a1=-3-d,a3=-3+d,
所以(-3-d)(-3)(-3+d)= 34、-15,得d2=4,d=±2,
所以an=-2n+1或an=2n-7.
(2)由題意得an=2n-7,所以|an|=,
①n≤3時,Sn=-(a1+a2+…+an)=n=6n-n2;
②n≥4時,Sn=-a1-a2-a3+a4+…+an=-2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18-6n+n2.
綜上,數(shù)列{|an|}的前n項和Sn=.
12.(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知數(shù)列{an}的首項a1=3,a3=7,且對任意的n∈N*,都有an-2an+1+an+2=0,數(shù)列{bn}滿足bn=a2n-1,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2) 35、求使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值.
解:(1)令n=1得,a1-2a2+a3=0,解得a2=5.
又由an-2an+1+an+2=0知,an+2-an+1=an+1-an=…=a2-a1=2,
故數(shù)列{an}是首項a1=3,公差d=2的等差數(shù)列,
于是an=2n+1,
bn=a2n-1=2n+1.
(2)由(1)知,bn=2n+1.
于是b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+n=+n=2n+1+n-2.
令f(n)=2n+1+n-2,易知f(n)是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù),
又f(9)=210+9-2=1 031,f(10)=211+10-2=2 056,
故使b1+b2+…+bn>2 018成立的最小正整數(shù)n的值是10.
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