(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù) 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教A版選修2-2
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1、 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念,理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程. 知識(shí)點(diǎn)一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 如圖,Pn的坐標(biāo)為(xn,f(xn))(n=1,2,3,4),P的坐標(biāo)為(x0,y0),直線PT為在點(diǎn)P處的切線. 思考1 割線PPn的斜率kn是多少? 答案 割線PPn的斜率kn=. 思考2 當(dāng)點(diǎn)Pn無限趨近于點(diǎn)P時(shí),割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系? 答案 kn無限趨近于切線PT的斜率k. 梳理 (1)切線的定義:設(shè)PPn是曲線y=f(x)的割線,當(dāng)點(diǎn)Pn趨近
2、于點(diǎn)P時(shí),割線PPn趨近于確定的位置,這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線. (2)導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義:導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率k,即k=f′(x0)= . (3)切線方程:曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 知識(shí)點(diǎn)二 導(dǎo)函數(shù) 思考 已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算f′(1)與f′(x),它們有什么不同. 答案 f′(1)= =2. f′(x)= =2x,f′(1)是一個(gè)值,而f′(x)是一個(gè)函數(shù). 梳理 對(duì)于函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=x0時(shí),
3、f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù),則當(dāng)x變化時(shí),f′(x)便是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù),我們稱它為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)), 即f′(x)=y(tǒng)′= . 特別提醒: 區(qū)別 聯(lián)系 f′(x0) f′(x0)是具體的值,是數(shù)值 在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值,因此求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),一般先求導(dǎo)函數(shù),再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值 f′(x) f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù),是函數(shù) 1.函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是一個(gè)常數(shù).( √ ) 2.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)
4、函數(shù)f′(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值.( √ ) 3.直線與曲線相切,則直線與已知曲線只有一個(gè)公共點(diǎn).( × ) 類型一 求切線方程 例1 已知曲線C:y=x3+.求曲線C在橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)處的切線方程. 考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程 題點(diǎn) 曲線的切線方程 解 將x=2代入曲線C的方程得y=4, ∴切點(diǎn)P(2,4). = = =[4+2Δx+(Δx)2]=4, ∴k==4. ∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 反思與感悟 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的步驟 跟蹤訓(xùn)練1 曲線y=x2+1在點(diǎn)P(2,5)處的切線與
5、y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是________. 考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程 題點(diǎn) 求曲線的切線方程 答案?。? 解析 ∵= = = (4+Δx)=4, ∴k==4. ∴曲線y=x2+1在點(diǎn)(2,5)處的切線方程為 y-5=4(x-2),即y=4x-3. ∴切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-3. 例2 求過點(diǎn)(-1,0)與曲線y=x2+x+1相切的直線方程. 考點(diǎn) 求曲線在某點(diǎn)處的切線方程 題點(diǎn) 曲線的切線方程 解 設(shè)切點(diǎn)為(x0,x+x0+1), 則切線的斜率為 k= =2x0+1. 又k==, ∴2x0+1=. 解得x0=0或x0=-2. 當(dāng)x0=0時(shí),
6、切線斜率k=1,過(-1,0)的切線方程為 y-0=x+1,即x-y+1=0. 當(dāng)x0=-2時(shí),切線斜率k=-3,過(-1,0)的切線方程為y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0. 故所求切線方程為x-y+1=0或3x+y+3=0. 反思與感悟 過點(diǎn)(x1,y1)的曲線y=f(x)的切線方程的求法步驟 (1)設(shè)切點(diǎn)(x0,f(x0)). (2)建立方程f′(x0)=. (3)解方程得k=f′(x0),x0,y0,從而寫出切線方程. 跟蹤訓(xùn)練2 求函數(shù)y=f(x)=x3-3x2+x的圖象上過原點(diǎn)的切線方程. 考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程 題點(diǎn) 求曲線的切線方程 解 設(shè)
7、切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則y0=x-3x+x0, ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =(x0+Δx)3-3(x0+Δx)2+(x0+Δx)-(x-3x+x0) =3xΔx+3x0(Δx)2-6x0Δx+(Δx)3-3(Δx)2+Δx, ∴=3x+3x0Δx-6x0+1+(Δx)2-3Δx, ∴f′(x0)= =3x-6x0+1. ∴切線方程為y-(x-3x+x0)=(3x-6x0+1)·(x-x0). ∵切線過原點(diǎn),∴x-3x+x0=3x-6x+x0, 即2x-3x=0,∴x0=0或x0=, 故所求切線方程為x-y=0或5x+4y=0. 類型二 利用圖象理解導(dǎo)數(shù)的幾何
8、意義
例3 已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則下列不等關(guān)系中正確的是( )
A.0 9、f′(2).
反思與感悟 導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是切線的斜率,所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問題可以用數(shù)形結(jié)合思想來解決.
跟蹤訓(xùn)練3 若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是( )
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
答案 A
解析 依題意,y=f′(x)在[a,b]上是增函數(shù),則在函數(shù)f(x)的圖象上,各點(diǎn)的切線的斜率隨著x的增大而增大,觀察四個(gè)選項(xiàng)的圖象,只有A滿足.
類型三 求切點(diǎn)坐標(biāo)
例4 已知曲線f(x)=x2-1在x=x0處的切線與曲線g(x)=1-x3在x=x0處的切線互相平行,求x0的值.
10、考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
解 對(duì)于曲線f(x)=x2-1,
k1= =2x0.
對(duì)于曲線g(x)=1-x3,
k2=
= =-3x.
由題意得2x0=-3x,
解得x0=0或-.
引申探究
若將本例條件中的“平行”改為“垂直”,求x0的值.
解 ∵k1=2x0,k2=-3x.
根據(jù)曲線f(x)=x2-1與g(x)=1-x3在x=x0處的切線互相垂直,知2x0·(-3x)=-1,
解得x0=.
反思與感悟 求切點(diǎn)坐標(biāo)的一般步驟
(1)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).
(2)利用導(dǎo)數(shù)或斜率公式求出斜率.
(3)利用斜率關(guān)系列方程,求 11、出切點(diǎn)的橫坐標(biāo).
(4)把橫坐標(biāo)代入曲線或切線方程,求出切點(diǎn)縱坐標(biāo).
跟蹤訓(xùn)練4 直線l:y=x+a(a≠0)和曲線C:f(x)=x3-x2+1相切,則a的值為________,切點(diǎn)坐標(biāo)為________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案
解析 設(shè)直線l與曲線C的切點(diǎn)為(x0,y0),
因?yàn)閒′(x)=
=3x2-2x,
則f′(x0)=3x-2x0=1解得x0=1或x0=-,
當(dāng)x0=1時(shí),f(x0)=x-x+1=1,
又點(diǎn)(x0,f(x0))在直線y=x+a上,將x0=1,y0=1.
代入得a=0,與已知條件矛盾 12、,舍去.
當(dāng)x0=-時(shí),f(x0)=3-2+1=.
將代入直線y=x+a中,得a=.
1.如果曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為x+2y-3=0,那么( )
A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
答案 B
解析 ∵切線x+2y-3=0的斜率為-,
∴f′(x0)=-<0.
2.設(shè)曲線f(x)=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a等于( )
A.1 B.
C.- D.-1
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜 13、率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案 A
解析 因?yàn)閒′(1)=
= = (2a+aΔx)=2a,
所以2a=2,所以a=1.
3.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA) 14、在點(diǎn)P處的切線方程為8x-y-15=0,則實(shí)數(shù)a的值為________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 曲線的切線方程的應(yīng)用
答案 -7
解析 設(shè)點(diǎn)P(x0,2x+a).
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得,
f′(x0)=
=
=4x0=8.
∴x0=2,∴P(2,8+a).
將x=2,y=8+a,代入8x-y-15=0,
得a=-7.
5.已知曲線f(x)=x3在點(diǎn)(a,a3)(a≠0)處的切線與x軸,直線x=a圍成的三角形的面積為,則a=________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案 ±1
解析 ∵f′(x 15、)=
= =3x2,
∴曲線f(x)=x3在點(diǎn)(a,a3)處的切線斜率為f′(a)=3a2,
∴切線方程為y-a3=3a2(x-a),
即y=3a2x-2a3.
令y=0得切線與x軸的交點(diǎn)為,
由題設(shè)知三角形面積為|a3|=,
得a=±1.
1.導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率,即k= =f′(x0),物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度.
2.“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值,不是變數(shù),“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù),二者有本質(zhì)的區(qū)別,但又有密切關(guān)系,f′(x0)是其導(dǎo)數(shù)y=f′(x)在x=x0處的一個(gè)函數(shù)值.
3 16、.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程,要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上,則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知點(diǎn)不在切線上,則設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0,f(x0)),表示出切線方程,然后求出切點(diǎn).
一、選擇題
1.已知曲線y=x2-2上一點(diǎn)P,則在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為( )
A.30° B.45°
C.135° D.165°
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的傾斜角
答案 B
解析 曲線y=x2-2在點(diǎn)P處的切線斜率為
k=
= =1,
所以在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為45°,故選B.
2 17、.若曲線y=x2+ax+b在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是x-y+1=0,則( )
A.a(chǎn)=1,b=1 B.a(chǎn)=-1,b=1
C.a(chǎn)=1,b=-1 D.a(chǎn)=-1,b=-1
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案 A
解析 由題意,知k=
= =1,
∴a=1.
又(0,b)在切線上,∴b=1,故選A.
3.下列各點(diǎn)中,在曲線y=x2上,且在該點(diǎn)處的切線傾斜角為的是( )
A.(0,0) B.(2,4)
C. D.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案 D
解析 設(shè)切 18、點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),
則= =2x0=tan =1,
所以x0=,y0=.
4.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(2,y)處的切線是l,則f(2)+f′(2)等于( )
A.-4 B.3
C.-2 D.1
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
答案 D
解析 由圖象可得函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l,與x軸交于點(diǎn)(4,0),與y軸交于點(diǎn)(0,4),則可知l:x+y=4,∴f(2)=2,f′(2)=-1,∴f(2)+f′(2)=1,故選D.
5.若曲線f(x)=x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則l的方程為( )
A.4 19、x-y-4=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 求曲線的切線方程
答案 A
解析 設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),
因?yàn)閒′(x)= = (2x+Δx)=2x.
由題意可知,切線斜率k=4,即f′(x0)=2x0=4,
所以x0=2.
所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),切線方程為y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0,故選A.
6.設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足 =-1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率 20、或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線的斜率
答案 D
解析 ∵ ·
= =f′(1)=-1,
∴f′(1)=-2.
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為-2.
7.已知曲線y1=2-與y2=x3-x2+2x在x=x0處的切線的斜率之積為3,則x0的值為( )
A.-2 B.1
C. D.2
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案 B
解析 由題意知,y1′= =,
y2′= =3x2-2x+2,
所以兩曲線在x=x0處的切線的斜率分別為,3x-2x0+2.
由題意可知,=3,所 21、以x0=1.
二、填空題
8.若函數(shù)f(x)=x-,則它與x軸交點(diǎn)處的切線方程為________________________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 求曲線的切線方程
答案 2x-y-2=0或2x-y+2=0
解析 f(x)=x-與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(-1,0),
f′(x)=
=
=1+,
f′(1)=2,f′(-1)=2,
∴所求切線方程為y=2(x-1)或y=2(x+1),
即2x-y-2=0或2x-y+2=0.
9.已知函數(shù)y=ax2+b在點(diǎn)(1,3)處的切線斜率為2,則=________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 22、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
答案 2
解析 由題意知a+b=3,
又= =2a=2,
∴a=1,b=2,故=2.
10.若拋物線y=x2-x+c上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是-2,拋物線過點(diǎn)P的切線恰好過坐標(biāo)原點(diǎn),則c的值為________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 曲線的切線方程的應(yīng)用
答案 4
解析 設(shè)在P點(diǎn)處切線的斜率為k,
則k=
= =-5,
∴切線方程為y=-5x.
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y=-5×(-2)=10,
將點(diǎn)P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.
11.設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn),且曲線C在點(diǎn)P處的切線傾斜角的范圍為,則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的 23、取值范圍為________.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率或切點(diǎn)坐標(biāo)
題點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切點(diǎn)坐標(biāo)
答案
解析 y′=
= = (Δx+2x+2)
=2x+2.
設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,則曲線C在P點(diǎn)處的切線斜率為2x0+2.
由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-.
12.如圖,函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC,其中A,B,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(2,0),(6,4),則 =________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用
題點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
答案?。?
解析 由導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義知,
=f′(1)=kAB==-2.
三、解答題
13.已 24、知直線l1為曲線y=x2+x-2在點(diǎn)(1,0)處的切線,l2為該曲線的另一條切線,且l1⊥l2,求直線l2的方程.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 求曲線的切線方程
解 因?yàn)閥′=
= =2x+1,
所以=3,
所以直線l1的方程為y=3(x-1),即y=3x-3,
設(shè)直線l2過曲線y=x2+x-2上的點(diǎn)P(x0,x+x0-2),
則直線l2的方程為y-(x+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).
因?yàn)閘1⊥l2,所以3(2x0+1)=-1,x0=-,
所以直線l2的方程為3x+9y+22=0.
四、探究與拓展
14.已知函數(shù)f(x)=x3,過點(diǎn)P作曲線f(x 25、)的切線,則其切線方程為________________.
考點(diǎn) 曲線過某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 求曲線過某點(diǎn)的切線方程
答案 y=0或3x-y-2=0
解析 設(shè)切點(diǎn)為Q(x0,x),得切線的斜率為
k=f′(x0)=3x,
切線方程為y-x=3x(x-x0),即y=3xx-2x.
因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P,
所以2x-2x=0,
解得x0=0或x0=1,
從而切線方程為y=0或3x-y-2=0.
15.已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處有公切線,求a,b的值.
考點(diǎn) 求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程
題點(diǎn) 曲線的切線方程的應(yīng)用
解 ∵f′(x)= =2ax,
∴f′(1)=2a,即切線斜率k1=2a.
∵g′(x)=
=3x2+b,
∴g′(1)=3+b,即切線斜率k2=3+b.
∵兩曲線在交點(diǎn)(1,c)處有公切線,
∴2a=3+b.
又∵a+1=1+b,即a=b,故可得
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