（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 解析幾何 第2講 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)學(xué)案 文 蘇教版

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1、第2講　圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) [2019考向?qū)Ш絔 考點(diǎn)掃描 三年考情 考向預(yù)測(cè) 2019 2018 2017 1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 第17題 第18題 江蘇高考對(duì)本講考查重點(diǎn)是圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)(特別是離心率)，以及圓錐曲線之間的關(guān)系，突出考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，一般屬于中檔題． 2．雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 第7題 第8題 第8題 1．必記的概念與定理 (1)從方程的形式看，在直角坐標(biāo)系中，橢圓、雙曲線和拋物線這三種曲線的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲線． 這三種曲線都可以是由平面截圓錐面得到的曲線，因而才稱之

2、為圓錐曲線． (2)從點(diǎn)的集合(或軌跡)的觀點(diǎn)看，它們都是與定點(diǎn)和定直線距離的比是常數(shù)e 的點(diǎn)的集合(或軌跡)，這個(gè)定點(diǎn)是它們的焦點(diǎn)，定直線是它們的準(zhǔn)線，只是由于離心率e 取值范圍的不同，而分為橢圓、雙曲線和拋物線三種曲線． (3)圓錐曲線第二定義把“曲線上的點(diǎn)M”“焦點(diǎn)F”“相應(yīng)準(zhǔn)線l”和“離心率e”四者巧妙地聯(lián)系起來，所以在圓錐曲線的問題中，凡與準(zhǔn)線、離心率、焦點(diǎn)有關(guān)的問題應(yīng)充分利用第二定義． 2．記住幾個(gè)常用的公式與結(jié)論 (1)橢圓、雙曲線的方程形式上可統(tǒng)一為Ax2＋By2＝1，其中A、B是不等的常數(shù)，A>B>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；B>A>0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；A

3、B<0時(shí)表示雙曲線． (2)與雙曲線－＝1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)．若已知漸近線方程為mx±ny＝0，則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． (3)設(shè)直線l(斜率存在)與圓錐曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長AB＝|x1－x2|或　·|y1－y2|． (4)通徑：過雙曲線、橢圓、拋物線的焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦稱為通徑，雙曲線、橢圓的通徑長為，過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑最短；拋物線通徑長是2p，過拋物線焦點(diǎn)的弦中通徑最短． (5)橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為a＋c，最短距離為a－c．　 3．需要關(guān)注的易錯(cuò)易混點(diǎn) (1)已知橢圓

4、離心率求待定系數(shù)時(shí)要注意橢圓焦點(diǎn)位置的判斷，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，要分兩種情形討論． (2)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”．若定義中的“絕對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支． (3)已知漸近線方程y＝mx，求離心率時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，m＝(m＞0)或m＝，故離心率有兩種可能． 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) [典型例題] (1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)，直線y＝與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是_____

5、___． (2)(2019·江蘇名校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)及點(diǎn)B(0，a)，過B與橢圓相切的直線交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，則∠ABF＝________． 【解析】　(1)由題意得B，C，F(xiàn)(c，0)，則由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化簡得c＝a，則離心率e＝＝＝． (2)法一：由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y＝kx＋a(k>0)，與橢圓方程聯(lián)立，，得b2x2＋a2(kx＋a)2－a2b2＝0，即(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)(a4－a2b2)＝0，得k＝，從而y＝

6、x＋a交x軸于A(－，0)，又F(c，0)，易知·＝0，故∠ABF＝90°． 法二：由橢圓性質(zhì)可知，過B且與橢圓相切的斜率為正的直線方程為y＝ex＋a(e為橢圓的離心率)，即切線斜率為e，所以tan∠BAF＝＝e，又tan∠OBF＝＝e，則∠BAF＝∠OBF，因而∠ABF＝90°． 【答案】　(1)　(2)90° (1)解決橢圓方程和幾何性質(zhì)問題，要牢牢抓住相關(guān)定義，一些看起來很復(fù)雜，沒有頭緒的問題，如果從定義上來考慮，往往會(huì)迎刃而解． (2)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，即使畫不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到一個(gè)圖形． (3)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例

7、如－a≤x≤a，－b≤y≤b，0b>0)的離心率為，此橢圓的長軸長等于圓x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓C的方程為________． [解析] 因?yàn)閤2＋y2－2x－15＝0，所以(x－1)2＋y2＝16，所以r＝4，即2a＝4，a＝2． 又＝，所以c＝，所以b＝1，故橢圓方程為＋y2＝1． [答案] ＋y2＝1 2．(2019·江蘇省名校高三入學(xué)摸底卷)設(shè)A，B，C是橢圓＋＝1(a>b>0)上的三個(gè)不同的點(diǎn)，若四邊形OABC(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))為矩形，則該橢圓的離心率

8、的最小值為________． [解析] 設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，C(x2，y2)，因?yàn)樗倪呅蜲ABC為矩形，所以點(diǎn)B(x1＋x2，y1＋y2)，則問題轉(zhuǎn)化為方程組 存在實(shí)數(shù)解的問題． 展開第三個(gè)方程，整理得x1x2＝．易知直線OA和OC的斜率均存在，分別設(shè)為k，－，由得x＝，同理x＝，因此·＝，即關(guān)于k2的二次方程(k2)2－·k2＋1＝0有正解，即－4≥0，且3－8>0，又a>b，所以a2≥3b2，所以≤e<1，故橢圓的離心率的最小值為，此時(shí)矩形OABC為正方形． [答案] 雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) [典型例題] (1)(2019·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系x

9、Oy中，若雙曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________． (2)(2019·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)A(2，0)，若射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M，與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N，則FM∶MN＝________． 【解析】　(1)因?yàn)殡p曲線x2－＝1(b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，所以9－＝1，得b＝，所以該雙曲線的漸近線方程是y＝±bx＝±x． (2)設(shè)直線FA的傾斜角為α，因?yàn)榻裹c(diǎn)F(0，1)，定點(diǎn)A(2，0)， 所以tan α＝＝－，sin α＝， 如圖，作MB⊥l，垂足為點(diǎn)B，由拋物線

10、的定義可得：FM＝MB， 所以＝sin(π－α)＝sin α＝． 【答案】　(1)y＝±x　(2) 靈活、準(zhǔn)確地運(yùn)用定義，為解決圓錐曲線的一些問題帶來很大的方便．特別是拋物線的定義在解題中的作用巨大． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練] 3．(2018·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F(c，0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是________． [解析] 不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，所以＝b＝c，所以b2＝c2－a2＝c2，得c＝2a，所以雙曲線的離心率e＝＝2． [答案] 2 4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，

11、過M(1，0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B．若＝，則p＝________． [解析] 過B作BE垂直準(zhǔn)線l于E(圖略)， 因?yàn)椋剑? 所以M為中點(diǎn)， 所以MB＝AB， 又斜率為，∠BAE＝30°， 所以BE＝AB，所以BM＝BE， 所以M為拋物線的焦點(diǎn)，所以p＝2． [答案] 2 1．(2019·南京模擬)橢圓＋＝1的離心率是________． [解析] 由橢圓方程可得a＝5，b＝3，c＝4，e＝． [答案] 2．(2019·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(四))已知方程＋＝1表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． [解析] 因?yàn)榉匠?/p>

12、＋＝1表示雙曲線，所以當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，，解得－1

13、 因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)為(1，0)，所以雙曲線的焦點(diǎn)也在x軸上，故可設(shè)所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1(a＞0，b＞0)．又雙曲線的漸近線為y＝±2x，故＝2．即所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1． [答案] x2－＝1 5．(2019·鎮(zhèn)江期末)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是________． [解析] 不妨設(shè)焦點(diǎn)為(c，0)，則由題意得雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，故(2c)＝＝＝b，即c＝2b，從而a＝＝＝b，故雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x． [答案] y＝±x 6．(2019·江蘇省高考名校聯(lián)考(三))如圖，若C

14、是橢圓＋＝1(a＞b＞0)上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，A，B分別是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且OC＝OF，AB∥OC，則該橢圓的離心率為________． [解析] 設(shè)點(diǎn)C(x0，y0)，則，解得，代入橢圓方程得＋＝1，整理得2c2＝a2＋b2，又a2＝b2＋c2，故2c2＝a2＋a2－c2， 所以e2＝， 又0＜e＜1，故e＝． [答案] 7．(2019·高三第三次調(diào)研測(cè)試)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線與兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若△AOB的面積為，則該雙曲線的離心率為______． [解析] 雙曲線的漸近線方程為y＝±x，右

15、準(zhǔn)線方程為x＝，聯(lián)立可求得兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±，所以△AOB的面積S＝××＝，得＝4，e＝＝2． [答案] 2 8．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，P是雙曲線上任一點(diǎn)，若雙曲線的離心率的取值范圍為[2，4]，則·的最小值的取值范圍是________． [解析] 設(shè)P(m，n)，則－＝1， 即m2＝a2． 又F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)， 則＝(－1－m，－n)，＝(1－m，－n)， ·＝n2＋m2－1＝n2＋a2－1 ＝n2＋a2－1≥a2－1， 當(dāng)且僅當(dāng)n＝0時(shí)取等號(hào)， 所以·的最小值為a2－1． 由2≤≤4，

16、得≤a≤，故－≤a2－1≤－， 即·的最小值的取值范圍是． [答案] 9．(2019·江蘇高考命題研究專家原創(chuàng)卷)已知拋物線的方程為y2＝4x，過其焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝3，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOF的面積和△BOF的面積的比值為________． [解析] 易知F(1，0)，不妨設(shè)A在第一象限，B在第四象限．因?yàn)閨AF|＝3，所以xA＋1＝3，解得xA＝2，代入拋物線方程可得y＝4×2，得yA＝2，所以直線AB的方程為y＝(x－1)，即y＝2x－2． 聯(lián)立，消去x得，y2－y－4＝0， 所以2yB＝－4，解得yB＝－，所以△AOF的面積和△BOF的面積的

17、比值為＝2． [答案] 2 10．(2019·南京模擬)已知橢圓x2＋＝1(00時(shí)，則橢圓離心率的取值范圍是________． [解析] 設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為(－c，0)，(0，b)，(1，0)，則FC、BC的中垂線分別為 x＝，y－＝． 聯(lián)立方程組解出 m＋n＝＋>0，即b－bc＋b2－c>0，即(1＋b)·(b－c)>0，所以b>c．從而b2>c2， 即有a2>2c2， 所以e2<．又e>0， 所以0

18、9·揚(yáng)州期末)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右準(zhǔn)線l2與一條漸近線l交于點(diǎn)P，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)． (1)求證：PF⊥l； (2)若PF＝3，且雙曲線的離心率e＝，求該雙曲線方程． [解] (1)證明：右準(zhǔn)線為x＝，由對(duì)稱性不妨設(shè)漸近線l為y＝x， 則P，又F(c，0)， 所以kPF＝＝－， 又因?yàn)閗l＝，所以kPF·kl＝－·＝－1， 所以PF⊥l． (2)因?yàn)镻F的長即F(c，0)到l：bx－ay＝0的距離， 所以＝3，即b＝3， 又e＝＝，所以＝，所以a＝4，故雙曲線方程為－＝1． 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)

19、分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． [解] (1)設(shè)橢圓的半焦距為c． 因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1． (2)由(1)知，F(xiàn)1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)． 設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn)，故x0>0，y0>0． 當(dāng)x0＝1時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符， 當(dāng)x0≠1時(shí)，

20、直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為． 因?yàn)閘1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為－，直線l2的斜率為－， 從而直線l1的方程：y＝－(x＋1)，① 直線l2的方程：y＝－(x－1)．② 由①②，解得x＝－x0，y＝， 所以Q． 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓E上，由對(duì)稱性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1． 又P在橢圓E上，故＋＝1． 由解得x0＝，y0＝；無解．因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 13．(2019·南通市高三第一次調(diào)研測(cè)試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1． (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若P為橢圓

21、上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OP的垂線交直線y＝于點(diǎn)Q，求＋的值． [解] (1)由題意得，＝，－c＝1， 解得a＝，c＝1，又b2＝a2－c2，所以b＝1． 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1． (2)由題意知OP的斜率存在． 當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，OP＝，OQ＝，所以＋＝1． 當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線OP的方程為y＝kx(k≠0)． 由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝， 所以y2＝， 所以O(shè)P2＝． 因?yàn)镺P⊥OQ，所以直線OQ的方程為y＝－x． 由得x＝－k，所以O(shè)Q2＝2k2＋2． 所以＋＝＋＝1． 綜上可知，＋＝1． 14．(2019·江蘇名校高三入學(xué)摸底)為了保

22、證我國東海油氣田海域的海上平臺(tái)的生產(chǎn)安全，海事部門在某平臺(tái)O的正西方向和正東方向設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)站A、B，它們到平臺(tái)O的距離都為5海里，并將到兩觀測(cè)站的距離之和不超過20海里的區(qū)域設(shè)為禁航區(qū)域． (1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求禁航區(qū)域邊界曲線的方程； (2)某日觀察員在觀測(cè)站B處發(fā)現(xiàn)在該海上平臺(tái)正南10海里的C處，有一艘輪船正以每小時(shí)8海里的速度向北偏東30°方向航行，如果航向不變，該輪船是否會(huì)進(jìn)入禁航區(qū)域？如果不進(jìn)入，說明理由；如果進(jìn)入，求出它在禁航區(qū)域中航行的時(shí)間． [解] (1)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．依題

23、意可知，禁航區(qū)域的邊界是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓， 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則， 解得a＝10，b＝5，所以禁航區(qū)域邊界曲線的方程為＋＝1． (2)由題意得C(0，－10)，所以輪船航行直線的方程為y＝x－10． 聯(lián)立，整理得x2－16x＋60＝0， 則Δ＝(－16)2－4×60＝16>0，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1＝10，x2＝6，所以輪船航行直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故輪船會(huì)駛?cè)虢絽^(qū)域． 設(shè)交點(diǎn)分別為M，N，不妨取M(10，0)，N(6，－4)，易得輪船在禁航區(qū)域中航行的距離為|MN|＝＝8(海里)， 所以航行時(shí)間t＝＝1(小時(shí))，所以該輪船在禁航區(qū)域中航行的時(shí)間是1小時(shí)． - 13 -