初中數學競賽輔導 第十六講《質數與合數》教案1 北師大版

《初中數學競賽輔導 第十六講《質數與合數》教案1 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《初中數學競賽輔導 第十六講《質數與合數》教案1 北師大版（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、初中數學競賽輔導 第十六講《質數與合數》教案1 北師大版 　　我們知道，每一個自然數都有正因數(因數又稱約數)．例如，1有一個正因數；2，3，5都有兩個正因數，即1和其本身；4有三個正因數：1，2，4；12有六個正因數：1，2，3，4，6，12．由此可見，自然數的正因數，有的多，有的少．除了1以外，每個自然數都至少有兩個正因數．我們把只有1和其本身兩個正因數的自然數稱為質數(又稱素數)，把正因數多于兩個的自然數稱為合數．這樣，就把全體自然數分成三類：1，質數和合數． 　　2是最小的質數，也是唯一的一個既是偶數又是質數的數．也就是說，除了2以外，質數都是奇數，小于100的質數有如下25個：2

2、，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97． 　　質數具有許多重要的性質： 　　性質1 一個大于1的正整數n，它的大于1的最小因數一定是質數． 　　性質2 如果n是合數，那么n的最小質因數a一定滿足a2≤n． 　　性質3 質數有無窮多個(這個性質將在例6中證明)． 　　性質4(算術基本定理)每一個大于1的自然數n，必能寫成以下形式： 　　這里的P1，P2，…，Pr是質數，a1，a2，…，ar是自然數．如果不考慮p1，P2，…，Pr的次序，那么這種形式是唯一的． 　　關于質數和合數的

3、問題很多，著名的哥德巴赫猜想就是其中之一．哥德巴赫猜想是：每一個大于2的偶數都能寫成兩個質數的和．這是至今還沒有解決的難題，我國數學家陳景潤在這個問題上做了到目前為止最好的結果，他證明了任何大于2的偶數都是兩個質數的和或一個質數與一個合數的和，而這個合數是兩個質數的積(這就是通常所說的1+2)．下面我們舉些例子． 　　例1 設p，q，r都是質數，并且 p+q=r，p＜q． 　　求p． 　　解 由于r=p+q，所以r不是最小的質數，從而r是奇數，所以p，q為一奇一偶．因為p＜q，故p既是質數又是偶數，于是p=2． 　　例2 設p(≥5)是質數，并且2p+1也是質數．求證：4p+1是合數

4、． 　　證 由于p是大于3的質數，故p不會是3k的形式，從而p必定是3k+1或3k+2的形式，k是正整數． 　　若p=3k+1，則 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 是合數，與題設矛盾．所以p=3k+2，這時 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3) 是合數． 　　例3 設n是大于1的正整數，求證：n4+4是合數． 　　證 我們只需把n4+4寫成兩個大于1的整數的乘積即可． n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2 ＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)， 　　因為 n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1， 　　所以n4

5、+4是合數． 　　例4 是否存在連續(xù)88個自然數都是合數？ 　　解 我們用n！表示1×2×3×…×n.令 a=1×2×3×…×89=89！， 　　那么，如下連續(xù)88個自然數都是合數： a+2，a+3，a+4，…，a+89． 　　這是因為對某個2≤k≤89，有 a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1) 　　是兩個大于1的自然數的乘積． 　　說明 由本例可知，對于任意自然數n，存在連續(xù)的n個合數，這也說明相鄰的兩個素數的差可以任意的大． 　　用(a，b)表示自然數a，b的最大公約數，如果(a，b)=1，那么a，b稱為互質(互素)． 　　例5 證明：當n＞2

6、時，n與n！之間一定有一個質數． 　　證 首先，相鄰的兩個自然數是互質的．這是因為 (a，a-1)=(a，1)＝1， 　　于是有(n！，n！-1)=1． 　　由于不超過n的自然數都是n！的約數，所以不超過n的自然數都與n！-1互質(否則，n！與n！-1不互質)，于是n！-1的質約數p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n?。? 　　所以，在n與n！之間一定有一個素數． 　　例6 證明素數有無窮多個． 　　證 下面是歐幾里得的證法． 　　假設只有有限多個質數，設為p1，p2，…，pn.考慮p1p2…pn+1，由假設，p1p2…pn+1是合數，它一定有一個質約數p．顯然，p不同于p1，p

7、2，…，pn，這與假設的p1，p2，…，pn為全部質數矛盾． 　　例7 證明：每一個大于11的自然數都是兩個合數的和． 　　證 設n是大于11的自然數． 　　(1)若n=3k(k≥4)，則 n＝3k=6+3(k-2)； 　　(2)若n=3k+1(k≥4)，則 n=3k+1=4+3(k-1)； 　　(3)若n=3k+2(k≥4)，則 n=8+3(k-2)． 　　因此，不論在哪種情況下，n都可以表為兩個合數的和． 　　例8 求不能用三個不同合數的和表示的最大奇數． 　　解 三個最小的合數是4，6，8，它們的和是18，于是17是不能用三個不同的合數的和表示的奇數． 　　下面證

8、明大于等于19的奇數n都能用三個不同的合數的和來表示． 　　由于當k≥3時，4，9，2k是三個不同的合數，并且4+9+2k≥19，所以只要適當選擇k，就可以使大于等于19的奇數n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和來表示． 　　 綜上所述，不能表示為三個不同的合數的和的最大奇數是17． 練習十六 　　1．求出所有的質數p，使p+10，p+14都是質數． 　　2．若p是質數，并且8p2+1也是質數，求證：8p2-p+2也是質數． 　　3．當m＞1時，證明：n4+4m4是合數． 　　4．不能寫成兩個合數之和的最大的自然數是幾？ 　　5．設p和q都是大于3的質數，求證：24｜p2-q2． 　　6．設x和y是正整數，x≠y，p是奇質數，并且 　　求x+y的值．