（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案

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1、 §5.3　正弦、余弦定理及解三角形 考綱解讀 考點 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計 2013 2014 2015 2016 2017 1.正弦、余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題. 掌握 16,4分 18(1) (文),7分 17,4分 20(2), 7分 16(1),7分 16(文), 14分 14,3分 2.解三角形及其綜合應(yīng)用 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題. 掌握 7,5分 18(2) (文),7分 18(2),7分 18(文),

2、 6分 16,14分 16(2)(文), 7分 16(2),7分 11,4分 14,3分 分析解讀　　1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面積公式解三角形. 2.高考命題仍會以三角形為載體,以正弦定理和余弦定理為框架綜合考查三角知識. 3.預(yù)計2019年高考中,仍會對解三角形進(jìn)行重點考查,復(fù)習(xí)時應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點一　正弦、余弦定理 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017課標(biāo)全國Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2

3、,c=,則C=(　　) A. B. C. D. 答案　B 2.(2017山東理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案　A 3.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,則AC=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 4.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=

4、90°,M是BC的中點.若sin∠BAM=,則sin∠BAC=　　　　.? 答案　 5.(2017課標(biāo)全國Ⅱ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=　　　　.? 答案　60° 6.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,13,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=　　　　.? 答案　 7.(2015天津,13,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為　　　　.? 答案　8 8.(2

5、014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為　　　　.? 答案　 9.(2017山東文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 解析　本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及解三角形. 因為·=-6, 所以bccos A=-6, 又S△ABC=3, 所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0

6、s A, 得a2=9+8-2×3×2×=29, 所以a=. 10.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且+=. (1)證明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 解析　(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)===k(k>0). 則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,變形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以si

7、n Asin B=sin C. (2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有 cos A==. 所以sin A==. 由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B, 故tan B==4. 教師用書專用(11—27) 11.(2013湖南,3,5分)在銳角△ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D　 12.(2013陜西,7,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為

8、a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為(　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 答案　B　 13.(2013遼寧,6,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則∠B=(　　) A. B. C. D. 答案　A　 14.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC=(　　) A. B. C. D. 答案　C　 15.(2015福建,12,4分)若銳角△ABC的面積為10,且AB=5,AC=8

9、,則BC等于　　　　.? 答案　7 16.(2014江蘇,14,5分)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是　　　　.? 答案　 17.(2015重慶,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=　　　　.? 答案　 18.(2015廣東,11,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=　　　　.? 答案　1 19.(2014天津,12,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為

10、　　　　.? 答案　- 20.(2014廣東,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=　　　　.? 答案　2 21.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于　　　　.? 答案　2 22.(2013安徽,12,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=　　　　.? 答案　π 23.(2016江蘇,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=. (1)求AB的長; (2)求co

11、s的值. 解析　(1)因為cos B=,0

12、DC=,求BD和AC的長. 解析　(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因為S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得==. (2)因為S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 25.(2013山東,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C

13、所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=. (1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 解析　(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos B=, 所以ac=9,解得a=3,c=3. (2)在△ABC中,sin B==, 由正弦定理得sin A==. 因為a=c,所以A為銳角, 所以cos A==. 因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=. 26.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=

14、. (1)求cos∠CAD的值; (2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長. 解析　(1)在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD===. (2)設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD. 因為cos∠CAD=,cos∠BAD=-, 所以sin∠CAD===, sin∠BAD===. 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =×-×=. 在△ABC中,由正弦定理,得=, 故BC===3. 27.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A. (1

15、)求cos A的值; (2)求c的值. 解析　(1)因為a=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=. 所以=.故cos A=. (2)由(1)知cos A=,所以sin A==. 又因為∠B=2∠A, 所以cos B=2cos2A-1=. 所以sin B==. 在△ABC中,sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =. 所以c==5. 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2014課標(biāo)Ⅱ,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=(　　) A.5 B. C.2 D.1 答案　B 2.(20

16、17浙江,11,4分)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=　　　　.? 答案　 3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是　　　　,cos∠BDC=　　　　.? 答案　; 4.(2017課標(biāo)全國Ⅲ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.?

17、 答案　75° 5.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=　　　　.? 答案　1 6.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=,求角A的大小. 解析　(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0

18、π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B. (2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B, 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C=±B. 當(dāng)B+C=時,A=; 當(dāng)C-B=時,A=. 綜上,A=或A=. 7.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面積為3,求b的值. 解析　(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,

19、所以-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=. 又因為sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=. 由正弦定理得c=b, 又因為A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3. 8.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=,求△ABC

20、的面積. 解析　(1)由題意得 -=sin 2A-sin 2B, 即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B, sin=sin. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得 2A-+2B-=π, 即A+B=, 所以C=. (2)由c=,sin A=,=,得a=, 由a

21、A的大小; (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積. 解析　(1)由2asin B=b及=,得 sin A=.因為A是銳角,所以A=. (2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36. 又b+c=8,所以bc=. 由S=bcsin A,得△ABC的面積為. 10.(2017課標(biāo)全國Ⅰ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周長. 解析　本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用. (1)由題設(shè)

22、得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故△ABC的周長為3+. 11.(2017課標(biāo)全國Ⅱ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. 解析　本

23、題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用. (1)由題設(shè)及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4. 所以b=2. 12.(2017課標(biāo)全國Ⅲ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin

24、A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積. 解析　本題考查解三角形. (1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由題設(shè)可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD面積與△ACD面積的比值為=1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面積為. 13.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C

25、的值; (2)若a=7,求△ABC的面積. 解析　本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式. (1)在△ABC中,因為∠A=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因為a=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×, 解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6. 14.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為

26、,求△ABC的周長. 解析　(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC的周長為5+.(12分) 15.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的

27、大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 解析　(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B===. 又因為0<∠B<π, 所以∠B=.(6分) (2)由(1)知∠A+∠C=. cos A+cos C=cos A+cos =cos A-cos A+sin A =cos A+sin A =cos.(11分) 因為0<∠A<, 所以當(dāng)∠A=時,cos A+cos C取得最大值1.(13分) 16.(2014陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b

28、,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值. 解析　(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列, ∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立. ∴cos B的最小值為. 17.(2013課標(biāo)全國Ⅰ,17,12分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點,∠BPC=90°. (1)若PB=,求PA; (2)若∠A

29、PB=150°,求tan∠PBA. 解析　(1)由已知得,∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°. 在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=. (2)設(shè)∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA中,由正弦定理得=, 化簡得cos α=4sin α. 所以tan α=,即tan∠PBA=. 教師用書專用(18—35) 18.(2014江西,4,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是(　　) A.3 B. C. D.3 答案　C　 19.(2014重慶,1

30、0,5分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿足1≤S≤2,記a,b,c分別為A,B,C所對的邊,則下列不等式一定成立的是(　　) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 答案　A　 20.(2015課標(biāo)Ⅰ,16,5分)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是　　　　　　　　.? 答案　(-,+) 21.(2014山東,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,當(dāng)A=時,△ABC的面積為　　　　.? 答案　 22.(2

31、013福建,13,4分)如圖,在△ABC中,已知點D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為　　　　.? 答案　 23.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan=2. (1)求的值; (2)若B=,a=3,求△ABC的面積. 解析　(1)由tan=2,得tan A=, 所以==. (2)由tan A=,A∈(0,π),得 sin A=,cos A=. 又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3. 由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=. 設(shè)△ABC的面積為S,則S=ab

32、sin C=9. 24.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32 cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10 cm,容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計) (1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度; (2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度. 解析　本小題主要考查正棱柱、正棱臺的

33、概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力. (1)由正棱柱的定義,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC. 記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處. 因為AC=10,AM=40, 所以MC==30,從而sin∠MAC=. 記AM與水面的交點為P1,過P1作P1Q1⊥AC,Q1為垂足, 則P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1==16. 答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm. (如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm) (2)如圖,O,O

34、1是正棱臺的兩底面中心. 由正棱臺的定義,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG. 同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1. 記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處. 過G作GK⊥E1G1,K為垂足,則GK=OO1=32. 因為EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,從而GG1===40. 設(shè)∠EGG1=α,∠ENG=β, 則sin α=sin=cos∠KGG1=. 因為<α<π,所以cos α=-. 在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=. 因為0<β<,所以cos β=. 于是sin∠NEG=s

35、in(π-α-β)=sin(α+β) =sin αcos β +cos αsin β=×+×=. 記EN與水面的交點為P2,過P2作P2Q2⊥EG,Q2為垂足,則P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2==20. 答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm. (如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm) 25.(2015湖南,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 解析　(1)證明:由a=btan A及正弦定理,得==,

36、所以sin B=cos A,即sin B=sin. 又B為鈍角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0, 所以A∈. 于是sin A+sin C=sin A+sin =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 =-2+. 因為0

37、△ABC的面積. 解析　(1)因為m∥n,所以asin B-bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0, 又sin B≠0,從而tan A=, 由于00,所以c=3. 故△ABC的面積為bcsin A=. 解法二:由正弦定理,得=, 從而sin B=, 又由a>b,知A>B,所以cos B=. 故sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos+cos Bsin=. 所

38、以△ABC的面積為absin C=. 27.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角. (1)證明:tan=; (2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值. 解析　(1)證明:tan===. (2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan+tan+tan+tan =+++ =+. 連接BD. 在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A, 在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C, 所以AB

39、2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A. 則cos A===. 于是sin A===. 連接AC.同理可得 cos B===, 于是sin B===. 所以,tan+tan+tan+tan =+ =+ =. 28.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長. 解析　設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理

40、得sin B===, 由題設(shè)知0

41、C2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×=49. 所以AC=7. 30.(2014安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin的值. 解析　(1)因為A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b·. 因為b=3,c=1,所以a2=12,a=2. (2)由余弦定理得cos A===-. 由于0

42、分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B. 解析　由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因為tan A=,所以cos C=2sin C, tan C=.(6分) 所以tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =(8分) =-1, 即B=135°.(10分) 32.(2013江蘇,18,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直

43、線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=. (1)求索道AB的長; (2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 解析　(1)在△ABC中,因為cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 從而sin B=sin[π-(A+C)]

44、=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =×+×=. 由=,得 AB=×sin C=×=1 040(m). 所以索道AB的長為1 040 m. (2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d m,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50), 因0≤t≤,即0≤t≤8,故當(dāng)t=(min)時,甲、乙兩游客距離最短. (3)由=,得BC=×sin A=×=500(m). 乙從B出發(fā)時,甲已走了50×(2+8+1

45、)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3, 解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi). 33.(2013江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. (1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范圍. 解析　(1)由已知得 -cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0, 即有sin Asin B-sin Acos B=0, 因為sin

46、A≠0,所以sin B-cos B=0, 又cos B≠0,所以tan B=, 又0

47、或cos A=-2(舍去).　 因為0

48、A=π-(B+C), 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B. 又B∈(0,π),所以B=. (2)△ABC的面積S=acsin B=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos. 又a2+c2≥2ac,故ac≤, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立. 因此△ABC面積的最大值為+1. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　正弦、余弦定理 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江臺州4月調(diào)研(一模),6)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的

49、對邊分別為a,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,則△ABC的面積為(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 2.(2017浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷五,4)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,若a,b,c成等差數(shù)列,∠B=30°,△ABC 的面積為,則b=(　　) A. B.1+ C. D.2+ 答案　B 3.(2018浙江高考模擬卷,16)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,BC邊上的高為,則的最大值為　　　　.? 答案　+1 4.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考4月,13)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對

50、的邊分別為a,b,c,已知csin A=acos C,則C=　　　　;若c=,△ABC的面積為,則a+b=　.? 答案　;7 5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,18)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A). (1)求角C; (2)若c=2,求△ABC面積的最大值. 解析　(1)∵ctan C=(acos B+bcos A), ∴sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分) ∴sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分) ∵0

51、an C=,∴C=60°.(7分) (2)∵c=2,C=60°,c2=a2+b2-2abcos C, ∴12=a2+b2-ab≥2ab-ab,(10分) ∴ab≤12,∴S△ABC=absin C≤3,(12分) 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時,△ABC的面積取到最大值3.(14分) 考點二　解三角形及其綜合應(yīng)用 6.(2018浙江蕭山九中12月月考,16)設(shè)a,b,c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對邊,面積S=c2,若ab=,則a2+b2+c2的最大值為　　　　.? 答案　4 7.(2018浙江重點中學(xué)12月聯(lián)考,18)△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知2bcos

52、 C=2a-c. (1)求B的大小; (2)若+=2,且||=1,求△ABC面積的最大值. 解析　(1)∵2bcos C=2a-c, ∴2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分) ∴2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分) ∴2sin Ccos B=sin C,(4分) ∴cos B=,(5分) ∵0

53、BC·BAsin=BC·BM,(12分) ∴S△ABC的最大值是1+.(14分) 8.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,asin Bcos C+csin Bcos A=b. (1)若b=2,且b2+c2-bc=a2,求△ABC的面積; (2)若點M是BC的中點,求tan∠MAC的最大值. 解析　由asin Bcos C+csin Bcos A=b及正弦定理,可得sin B=1,則∠B=90°. (1)由b2+c2-bc=a2,可得cos A=, 則∠A=60°. 所以∠C=30°,又因為b=2,故c=1,所以S△

54、ABC=bcsin A=×2×1×=.(7分) (2)令tan∠MAB=t(t>0),則tan∠BAC=2t, 所以tan∠MAC==≤, 當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號, 所以tan∠MAC的最大值為.(14分) B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,10)若△ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐,則稱這樣的△ABC為“和諧三角形”,設(shè)△ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則由下列條件不能夠確定△ABC為“和諧三角形”的是(　　) A.A∶B∶C=7∶20∶25 B.sin A∶si

55、n B∶sin C=7∶20∶25 C.cos A∶cos B∶cos C=7∶20∶25 D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25 答案　B 2.(2016浙江寧波二模,7)已知△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan A·tan B,則△ABC的面積為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.3 C. D.3 答案　C 二、填空題 3.(2018浙江重點中學(xué)12月聯(lián)考,14)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,若c=2acos B,S=a

56、2-c2,則△ABC的形狀為　　　　,C的大小為　　　　.? 答案　等腰三角形;45° 4.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學(xué)第一學(xué)期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D為AC的中點,BD=1,則△ABC面積的最大值為　　　　.? 答案　 5.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),14)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知A=,b=,△ABC的面積為,則c=　　　　,B=　　　　.? 答案　1+; 6.(2017浙江杭州二模(4月),16)設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且S△ABC=c2.若ab=,則a2+b2+c2的最大值是　　　　.

57、? 答案　4 三、解答題 7.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tan C=. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍. 解析　(1)∵tan C=,即=, ∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C, 即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B, 即sin(C-A)=sin(B-C), ∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去), ∴2C=A+B,∴C=. (2)由(1)

58、知C=,故設(shè)A=α+,B=-α+,其中-<α<, a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B. 故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos 2A)+(1-cos 2B) ==1+cos 2α. ∵-<α<,∴-<2α<, ∴-

59、 解析　(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0, 可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab. 由余弦定理可得,cos C==. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+π-A)=sin(B+A). 整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A. 當(dāng)cos A=0,即A=時,b=, 所以△ABC的面積為bc=. 當(dāng)cos A≠0時,sin B=2sin A.由正弦定理可得b=2a,又

60、a2+b2-ab=4,解得a=,b=, 所以S△ABC=absin C=. 綜上所述,△ABC的面積為. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　利用正、余弦定理解三角形 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江衢州質(zhì)量檢測(1月),17)已知△ABC的面積為1,∠A的平分線交對邊BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,則當(dāng)k=　　　　時,邊BC的長度最短.? 答案　 方法2　利用正、余弦定理解決實際問題 2.如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10)m,在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B,M,D三點共線)處測

61、得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為　m.? 答案　60 3.某觀察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40°,距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時C、D的距離為21千米,問此人還需走多少千米才能到達(dá)A城? 解析　設(shè)AD=x千米,AC=y千米,∵∠BAC=20°+40°=60°,∴在△ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60°=212, 即x2+y2-xy=441.① 而在△ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60°=312, 即x2+y2-xy+40x-20y=561.② ②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0, 解得x=15或x=-9(舍去), 故此人還需走15千米才能到達(dá)A城. 29