（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理 新人教A版

《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)與解三角形 第2講 三角恒等變換與解三角形學(xué)案 理 新人教A版（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　三角恒等變換與解三角形 [做真題] 題型一　三角恒等變換 1．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因為α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2 α，解得sin α＝，故選B． 2．(2018·高考全國卷Ⅲ)若sin α＝，則cos 2α＝(　　) A．　　　　　　　　　 B． C．－ D．－ 解析：選B．c

2、os 2α＝1－2sin2α ＝1－2×＝. 3．(2016·高考全國卷Ⅱ)若cos＝，則sin 2α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：選D．因為cos＝coscos α＋sin sin α＝(sin α＋cos α)＝，所以sin α＋cos α＝，所以1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－，故選D． 題型二　三角形中的邊角計算問題 1．(2018·高考全國卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　) A．4 B． C． D．2 解析：選A．因為cos ＝，所以cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦

3、定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.故選A． 2．(2016·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________． 解析：因為cos A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝， sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝， 由正弦定理＝，得b＝＝×＝. 答案： 3．(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C

4、． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C． 解：(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因為0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由題設(shè)及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝， 故sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin

5、 60° ＝. 題型三　　與三角形面積有關(guān)的問題 1．(2018·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為，則C＝(　　) A． B． C． D． 解析：選C．根據(jù)題意及三角形的面積公式知absin C＝，所以sin C＝＝cos C，所以在△ABC中，C＝. 2．(2019·高考全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________． 解析：法一：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos

6、 ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6. 法二：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面積S＝×2×6＝6. 答案：6 3．(2019·高考全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin ＝bsin A. (1)求B； (2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)由題設(shè)及正弦定理得 sin Asin＝sin Bsin A.

7、 因為sin A≠0，所以sin＝sin B． 由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos. 因為cos≠0，故sin＝，因此B＝60°. (2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝a. 由正弦定理得a＝＝＝＋. 由于△ABC為銳角三角形，故0°

8、、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第4～9題或第13～15題位置上． 3．若以解答題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等． 三角恒等變換與求值 [考法全練] 1．(2019·高考全國卷Ⅰ)tan 255°＝(　　) A．－2－　　　　　　　 B．－2＋ C．2－ D．2＋ 解析：選D．由正切函數(shù)的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝2＋，故選D． 2．(一題多解)(2019·福建五校第二次聯(lián)考)已知cos＝，則sin 2α＝(　　) A． B．－

9、C． D．－ 解析：選C．法一：因為cos＝，所以sin 2α＝sin＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝.故選C． 法二：令－α＝θ，則α＝－θ，cos θ＝，所以sin 2α＝sin 2＝sin＝cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝.故選C． 法三：因為cos＝，所以(cos α＋sin α)＝，所以cos α＋sin α＝，平方得1＋sin 2α＝，得sin 2α＝.故選C． 3．已知α∈，tan α＝2，則cos＝________． 解析：因為α∈，tan α＝2， 所以sin α＝，cos α＝， 所以cos＝cos αcos＋sin αsin ＝×＝.

10、 答案： 4．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)若0<α<，－<β<0，cos＝，sin＝，則cos(2α＋β)＝________． 解析：因為0<α<，所以<α＋<， 又cos＝，所以sin＝， sin 2＝2sincos＝， cos 2＝2cos2－1＝－. 因為－<β<0， 所以0<＋<， 又sin＝，所以cos＝， sin 2＝2sincos＝， cos 2＝1－2sin2＝. 所以cos(2α＋β)＝－cos＝ －cos 2cos 2＋sin 2· sin 2＝. 答案： 三角恒等變換要遵循的“三看”原則 一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進

11、行合理的拆分；二看“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向．　 三角形的基本量的計算 [典型例題] 命題角度一　求解三角形中的角 (1)(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝a(cos C＋sin C)，a＝2，c＝，則角C＝(　　) A．　　　　　　　　　　 B． C． D． (2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bcos C＋bsin C＝a. ①求角B的大小； ②若BC邊上的高等于a，求cos A的值． 【解】　(1)

12、選D．由b＝a，得sin B＝sin A. 因為sin B＝sin＝sin(A＋C)， 所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Asin C(sin C≠0)，即cos A＝sin A，所以tan A＝.因為0

13、s C＋cos Bsin C， 因為sin C≠0，所以sin B＝cos B． 因為B∈(0，π)，所以B＝. ②設(shè)BC邊上的高為AD，則AD＝a. 因為B＝，所以BD＝AD＝a，所以CD＝a， 所以AC＝＝a，AB＝a. 由余弦定理得cos A＝＝－. 利用正、余弦定理求三角形角的方法 (1)已知兩邊及其夾角，先由余弦定理求第三邊，再由正弦定理求角． (2)已知三邊，直接由余弦定理求角． (3)已知兩邊及其中一邊的對角，先由正弦定理求另一邊的對角，再由三角形內(nèi)角和求第三角． [技能]　利用正、余弦定理求角時的兩個失分點：(1)已知兩邊及其中一邊的對角求其他角時，有

14、一解、兩解的情況，容易把握不準(zhǔn)而出錯；(2)在變形時，直接兩邊約去公因式，沒有移項后提公因式，產(chǎn)生漏解．　 命題角度二　求解三角形中的邊與面積 如圖所示，在△ABC中，點D為BC邊上一點，且BD＝1，E為AC的中點，AE＝，cos B＝，∠ADB＝. (1)求AD的長； (2)求△ADE的面積． 【解】　(1)在△ABD中，因為cos B＝，B∈(0，π)， 所以sin B＝＝＝， 所以sin∠BAD＝sin(B＋∠ADB)＝×＋×＝. 由正弦定理知＝，得AD＝＝＝2. (2)由(1)知AD＝2，依題意得AC＝2AE＝3，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC

15、2－2AD·DCcos∠ADC，即9＝4＋DC2－2×2×DCcos， 所以DC2－2DC－5＝0，解得DC＝1＋(負值舍去)， 所以S△ACD＝AD·DCsin∠ADC＝×2×(1＋)×＝， 從而S△ADE＝S△ACD＝. 利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角．利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，如該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性．而三角形的面積主要是利用兩邊與其夾角的正弦值求解． [技能]　三角形的面積主要是利用S＝absin C求解，有時可以直接利用余弦定理求出ab的整體值再求面積，而不必分別求出a，b的值．　 [對點訓(xùn)練] 1．(一題

16、多解)(2019·廣州市綜合檢測一)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知ccos B＝(3a－b)cos C． (1)求sin C的值； (2)若c＝2，b－a＝2，求△ABC的面積． 解：(1)法一：因為ccos B＝(3a－b)cos C， 所以由正弦定理得sin Ccos B＝(3sin A－sin B)cos C， 即sin Ccos B＋sin Bcos C＝3sin Acos C， 所以sin(B＋C)＝3sin Acos C， 由于A＋B＋C＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A， 則sin A＝3sin Acos C． 因為0<

17、A<π，所以sin A≠0，cos C＝. 因為0

18、得a2＋b2－ab＝24. 又b－a＝2， 所以a＝3，b＝5. 所以△ABC的面積S＝absin C＝×15×＝5. 2．(2019·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為S，且滿足sin B＝. (1)求sin Asin C； (2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC的周長． 解：(1)由三角形的面積公式可得S＝bcsin A， 又sin B＝，所以2bcsin Asin B＝b2， 即2csin Asin B＝b，由正弦定理可得2sin Csin Asin B＝sin B， 因為sin B≠0，所以sin

19、 Asin C＝. (2)因為4cos Acos C＝3，所以cos Acos C＝， 所以cos Acos C－sin Asin C＝－＝， 即cos(A＋C)＝，所以cos B＝－， 因為0

20、次聯(lián)考)如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC為銳角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2，BD＝3＋，△BCD的面積S＝. (1)求CD； (2)求∠ABC. 【解】　(1)在△BCD中，S＝BD·BC·sin∠CBD＝， 因為BC＝2，BD＝3＋， 所以sin∠CBD＝. 因為∠ABC為銳角，所以∠CBD＝30°. 在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos∠CBD＝(2)2＋(3＋)2－2×2×(3＋)×＝9，所以CD＝3. (2)在△BCD中，由正弦定理得＝， 即＝，解得sin∠BDC＝. 因為BC

21、os∠BDC＝. 在△ACD中，由正弦定理得＝， 即＝.① 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝.② 因為AC平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC. 由①②得＝，解得sin∠ABC＝. 因為∠ABC為銳角，所以∠ABC＝45°. 解決以平面幾何為載體的問題，主要注意以下幾方面：一是充分利用平面幾何圖形的性質(zhì)；二是出現(xiàn)多個三角形時，從條件較多的三角形突破求解；三是四邊形問題要轉(zhuǎn)化到三角形中去求解；四是通過三角形中的不等關(guān)系(如大邊對大角，最大角一定大于等于)確定角或邊的范圍．　 命題角度二　三角形中的最值或范圍問題 (1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b

22、，c，外接圓的半徑為1，且＝，則△ABC面積的最大值為________． (2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，若a＋b＝2，則c的取值范圍為________． 【解析】　(1)因為＝，所以＝(2c－b)，由正弦定理得sin Bsin Acos B＝(2sin C－sin B)sin Bcos A，又sin B≠0，所以sin Acos B＝(2sin C－sin B)cos A，所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，即sin C＝

23、2sin Ccos A，又sin C≠0，所以cos A＝，sin A＝.設(shè)外接圓的半徑為r，則r＝1，由余弦定理得bc＝＝b2＋c2－a2＝b2＋c2－(2rsin A)2＝b2＋c2－3≥2bc－3(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時，等號成立)，所以bc≤3，所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤.所以△ABC面積的最大值為. (2)由sin Acos B＋sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin C及正弦定理，可知acos B＋bcos A＝c，則由(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理可得cos C＝，則C＝，B＝－A， 由正弦定理＝

24、＝，得＝＝，又a＋b＝2，所以＋＝2，即c＝＝，因為A∈，所以A＋∈，sin∈，則c∈[1，2)． 【答案】　(1)　(2)[1，2) 解三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍．　 [對點訓(xùn)練] 1．(2019·重慶市七校聯(lián)合考試)如圖，在平面四邊形ABCD中，E為AB邊上一點，連接CE，DE.CB＝2，BE＝1，∠B＝∠CED＝. (1)求sin∠AED的值； (2)若AB∥CD，求CD的長． 解：(1)在△BEC中，由余弦定理得，CE＝＝，

25、 又＝，所以sin∠BCE＝， 因為∠B＝∠CED，所以sin∠AED＝sin∠BCE＝. (2)因為AB∥CD，所以∠CDE＝∠AED， 所以sin∠CDE＝sin∠AED＝， 在△CDE中，＝，所以CD＝＝＝7. 2．(2019·福建五校第二次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且acos C＝(2b－c)cos A. (1)求角A的大??； (2)若a＝2，求△ABC面積的最大值． 解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C＝2sin Bcos A－sin Ccos A， 從而sin(A＋C)＝2sin Bcos A，即sinB＝2sin Bcos

26、A. 又B為三角形的內(nèi)角，所以sin B≠0，于是cos A＝，又A為三角形的內(nèi)角，所以A＝. (2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋c2－2bc×≥2bc－bc，所以bc≤4(2＋)，所以S△ABC＝bcsin A≤2＋，故△ABC面積的最大值為2＋. [A組　夯基保分專練] 一、選擇題 1．(2019·湖南省五市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期

27、為2π，最大值為4 解析：選B．f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＋2＝2sin(2x＋)＋2，則f(x)的最小正周期為＝π，最大值為2＋2＝4.故選B． 2．(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，則＝(　　) A．6　　　　　　　　　　　 B．5 C．4 D．3 解析：選A．由題意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故選A． 3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a

28、，bsin B－asin A＝asin C，則sin B為(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：選A．由bsin B－asin A＝asin C， 且c＝2a，得b＝a， 因為cos B＝＝＝， 所以sin B＝ ＝. 4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且a2＝c2＋ac－bc，則＝(　　) A． B． C． D． 解析：選B．由a，b，c成等比數(shù)列得b2＝ac，則有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝，對于b2＝ac，由正弦定理得，sin2B＝sin Asin C＝·sin C，由

29、正弦定理得，＝＝＝.故選B． 5．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于(　　) A．1 B． C． D．2 解析：選A．法一：因為tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC邊上的高h＝＝＝1，故選A． 法二：因為tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，則∠BAC為鈍角，因此BC邊上的高小于，故選A． 6.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC

30、＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos A等于(　　) A． B． C． D． 解析：選C．依題意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝. 二、填空題 7．若sin＝，則cos＝________． 解析：依題意得cos＝－cos＝－cos ＝2sin2－1＝2×－1＝－. 答案：－ 8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，則c的取值范圍為________． 解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因為1

31、6＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因為b∈(4，6)，所以32

32、os C＝　②，②－①，得－sin2B＝－cos B，所以cos2B＋cos B－＝0，解得cos B＝或cos B＝－(舍去)，所以B＝60°，再由題得cos(A－C)＝1，則A－C＝0，即A＝C，則a＝c，所以△ABC為正三角形，則∠ACD＝120°，AC＝b，CD＝2－b，故S△ACD＝×b×(2－b)×≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2－b，即b＝1時取等號．故填. 法二：由題意知b2＝ac，且cos(A－C)＋cos(A＋C)＝，即cos Acos C＋sin Asin C＋cos Acos C－sin Asin C＝，即cos Acos C＝，由余弦定理得·＝，整理得b4－(a2－c2)2＝b

33、4，所以a2－c2＝0，即a＝c，又b2＝ac，所以a＝b＝c，即△ABC為正三角形，所以S△ACD＝S△ABD－S△ABC＝×2×c×－c2＝－(c－1)2＋≤，當(dāng)c＝1時取等號，故填. 答案： 三、解答題 10．(2019·廣東六校第一次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B． (1)求角B； (2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面積． 解：(1)因為a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B， 又a≠0，所以2ccos B＝bc

34、os A＋acos B，由正弦定理，得 2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C， 又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝. 因為B∈(0，π)，所以B＝. (2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝， 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得a＝＝＝6， 所以△ABC的面積為absin C＝×6×2×＝6. 11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝2B，cos B＝. (1)求

35、sin C的值； (2)若角A的平分線AD的長為，求b的值． 解：(1)由cos B＝及0

36、＝4asin C． (1)求cos B的值； (2)求sin的值． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，得bsin C＝csin B，又由3csin B＝4asin C，得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a.又因為b＋c＝2a，得到b＝a，c＝a.由余弦定理可得cos B＝＝＝－. (2)由(1)可得sin B＝＝， 從而sin 2B＝2sin Bcos B＝－，cos 2B＝cos2B－sin2B＝－， 故sin＝sin 2Bcos＋cos 2Bsin ＝－×－×＝－. [B組　大題增分專練] 1．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別

37、為a，b，c，已知a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)． (1)求角C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長． 解：(1)由a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)， 即a2＋b2－c2＝ab. 所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由(1)知a2＋b2－c2＝ab，所以(a＋b)2－3ab＝c2＝7， 又S＝absin C＝ab＝， 所以ab＝6， 所以(a＋b)2＝7＋3ab＝25，a＋b＝5. 所以△ABC的周長為a＋b＋c＝5＋.

38、 2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－. (1)求∠B的大小； (2)若AM＝，求△AMC的面積． 解：(1)由cos∠BAM＝， 得sin∠BAM＝， 由cos∠AMC＝－，得sin∠AMC＝. 又∠AMC＝∠BAM＋∠B， 所以cos∠B＝cos(∠AMC－∠BAM) ＝cos∠AMCcos∠BAM＋sin∠AMCsin∠BAM ＝－×＋×＝－， 又∠B∈(0，π)，所以∠B＝. (2)法一：由(1)知∠B＝， 在△ABM中，由正弦定理＝， 得BM＝＝＝. 因為M是邊BC的中點，

39、所以MC＝. 故S△AMC＝AM·MC·sin∠AMC＝×××＝. 法二：由(1)知∠B＝， 在△ABM中，由正弦定理＝， 得BM＝＝＝. 因為M是邊BC的中點，所以S△AMC＝S△ABM， 所以S△AMC＝S△ABM＝AM·BM·sin∠BMA＝×××＝. 3．(2019·昆明市質(zhì)量檢測)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos B)＝b. (1)求角A； (2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍． 解：(1)由2(c－acos B)＝b及正弦定理得2(sin C－sin Acos B)＝sin B， 所以2sin(A＋B)－2sin Ac

40、os B＝sin B，即2cos Asin B＝sin B， 因為sin B≠0，所以cos A＝，又0

41、面積的取值范圍為(0，2＋]． 4．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，AB邊上的高h＝c. (1)若△ABC為銳角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值； (2)若C＝，M＝，求M的值． 解：(1)作CD⊥AB，垂足為D， 因為△ABC為銳角三角形，且cos A＝， 所以sin A＝，tan A＝， 所以AD＝，BD＝AB－AD＝， 所以BC＝＝＝， 由正弦定理得sin∠ACB＝＝＝. (2)因為S△ABC＝c×c＝absin∠ACB＝ab， 所以c2＝ab， 又a2＋b2－c2＝2abcos∠ACB＝ab， 所以a2＋b2＝ab＋c2， 所以a2＋b2＋c2＝ab＋c2＝ab＋×ab＝2ab， 所以M＝＝＝2. - 22 -