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1、浙江省2022年中考數(shù)學(xué) 第四單元 三角形 課時(shí)訓(xùn)練18 等腰三角形練習(xí) （新版）浙教版
1.[xx·臺(tái)州] 如圖K18-1,已知等腰三角形ABC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是( )
圖K18-1
A.AE=EC B.AE=BE
C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE
2.[xx·包頭] 若等腰三角形的周長(zhǎng)為10 cm,其中一邊長(zhǎng)為2 cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為 ( )
A.2 cm B.4 cm
C.6 cm D.8 cm
3.如圖K18-2,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB
2、于點(diǎn)E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長(zhǎng)是 ( )
圖K18-2
A.3 B.4
C.6 D.5
4.[xx·河池] 如圖K18-3,已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為12,D是AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作DE⊥AC于點(diǎn)E,過(guò)E作EF⊥BC于點(diǎn)F,過(guò)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.當(dāng)G與D重合時(shí),AD的長(zhǎng)是 ( )
圖K18-3
A.3 B.4 C.8 D.9
5.如圖K18-4,P是∠AOB外的一點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是∠AOB兩邊上的點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在線段MN上,點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)R落在MN的延長(zhǎng)線上.若PM=2.5 cm,PN=3 c
3、m,MN=4 cm,則線段QR的長(zhǎng)為( )
圖K18-4
A.4.5 cm B.5.5 cm
C.6.5 cm D.7 cm
6.[xx·麗水] 等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,則頂角的度數(shù)是 .?
7.如圖K18-5,在Rt△ABC中,D,E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn),且BD=BC,AE=AC,則∠DCE的大小為 °.?
圖K18-5
8.[xx·揚(yáng)州] 如圖K18-6,把等邊三角形ABC沿著DE折疊,使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處,且DP⊥BC,若BP=
4 cm,則EC= cm.?
圖K18-6
9. [xx·南充] 如圖K18
4、-7,在△ABC中,AF平分∠BAC,AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E,∠B=70°,∠FAE=19°,則
∠C= 度.?
圖K18-7
10.[xx·淄博] 在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中,D為BC邊上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,則DE+DF= .?
11.如圖K18-8,點(diǎn)B,D在射線AM上,點(diǎn)C,E在射線AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度數(shù).
圖K18-8
12.如圖K18-9,在△ABC中,CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,BE
5、與CD相交于點(diǎn)O,且OB=OC.
(1)求證:△ABC為等腰三角形;
(2)試猜想:直線OA與線段BC的位置關(guān)系,并加以證明.
圖K18-9
|拓展提升|
13.在凸四邊形ABCD中,AB=AD=BC,∠BAD=90°,AC把四邊形ABCD分成兩個(gè)等腰三角形,則∠ABC的度數(shù)為 .?
14.[xx·紹興] 數(shù)學(xué)課上,張老師舉了下面的例題:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度數(shù).(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度數(shù).(答案:40°或70°或100°)
張老師啟發(fā)同學(xué)
6、們進(jìn)行變式,小敏編了如下一題:
變式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).
(1)請(qǐng)你解答以上的變式題.
(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索x的取值范圍.
參考答案
1. C [解析] ∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.又∵BC=BE,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BAC=∠EBC,
因此選C.
2.A [解析] 考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系.(1)若底邊長(zhǎng)為2 cm,則腰長(zhǎng)為(10-2)÷2=4(cm),4+2>4,符
7、合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2 cm;(2)若腰長(zhǎng)為2 cm,則底邊長(zhǎng)為10-2×2=6(cm),2+2<6,不符合三角形三邊關(guān)系,所以舍去.
3.A
4.C [解析] 由題易知△DEF為等邊三角形,設(shè)AE=x,則AD=2x,可得DE=DF=x,BD=x,由x+2x=12,解得x=4,
∴AD=2x=8.
5.A
6.100° [解析] 根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°,又等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,得這個(gè)100°的內(nèi)角只可能是頂角,故填100°.
7.45
8.(2+2) [解析] 根據(jù)“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8 cm,再由勾股定理求
8、得DP=4 cm.根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4 cm,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=×(8+4-4)=2+2(cm).
9.24 [解析] 設(shè)∠C的度數(shù)為x,
∵DE垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠EAC=∠C=x.
∵∠FAE=19°,
∴∠AFB=∠FAC+∠C=(x+19°)+x=2x+19°.
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC=x+19°,
∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°,
∴70°+(2x+19°)+(x+19°)=180°,
解得x=24°.故答案為24.
10.2 [解析] 如圖,過(guò)點(diǎn)C作C
9、G⊥AB,垂足為G,連結(jié)AD,則AG=BG=2,
∴CG===2.
∵S△ABD+S△ACD=S△ABC,
∴AB·DE+AC·DF=AB·CG,
∴×4DE+×4DF=×4CG,
∴DE+DF=CG=2.
11.解:∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED.
根據(jù)三角形外角的性質(zhì),∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,
∴∠CED=3∠A.
又∵∠EDM=84°,
∴∠A+3∠A=84°,
∴∠A=21°.
12.解:(1)證明:∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB,即∠EBC
10、=∠DCB.
又∵CD⊥AB于點(diǎn)D,BE⊥AC于點(diǎn)E,
∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,
∴△ABC為等腰三角形.
(2)OA⊥BC.證明如下:
連結(jié)AO,并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F.
∵AB=AC,
∴點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上.
∵OB=OC,
∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上,
∴OA垂直平分BC,即OA⊥BC.
13.60°或90°或150° [解析] 顯然等腰三角形ABC的兩腰是AB,BC,只需討論△ACD中哪兩邊相等即可.①當(dāng)AC=AD時(shí),AB=BC=AD=AC,∴△ABC是正三角形,即∠ABC=60°;②當(dāng)CD=AD時(shí),AB=BC=AD=CD,∴四邊形ABC
11、D是菱形,而
∠BAD=90°,∴四邊形ABCD是正方形,即∠ABC=90°;③當(dāng)AC=CD時(shí),過(guò)點(diǎn)C分別作CE⊥AB于點(diǎn)E,CF⊥AD于點(diǎn)F,則四邊形CEAF是矩形,CE=AF=AD=BC,
∴∠ABC=30°(此時(shí),∠BAC=∠ACB=75°,∠CDA=∠CAD=15°,故∠BCD=360°-30°-90°-15°>180°,舍去)或∠ABC=150°.
14.解:(1)當(dāng)∠A為頂角時(shí),∠B=50°,
當(dāng)∠A為底角時(shí),若∠B為頂角,則∠B=20°,
若∠B為底角,則∠B=80°,
∴∠B=50°或20°或80°.
(2)分兩種情況:
①當(dāng)90≤x<180時(shí),∠A只能為頂角,
∴∠B的度數(shù)只有一個(gè).
②當(dāng)0
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