2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)習(xí)過程

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1、2022年高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 平面向量 《平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示》學(xué)習(xí)過程 學(xué)習(xí)過程 知識點一：平面向量基本定理 (1) 平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使= 。我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底； (2)運用定理時需注意：①，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量。 ②該平面內(nèi)的任一向量都可用，線性表示，且這種表示是唯一的。 ③基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底。 知識點二：兩向量的夾角與垂直 （1） 定義：已知兩個非零向量，作,則∠AOB=叫做向量的夾角。 （2）

2、如果的夾角是90°，就說垂直，記作。 （3）注意：向量的夾角的范圍是，當(dāng)時，同向；當(dāng)時，；當(dāng)，反向。 知識點三：平面向量的坐標(biāo)表示 （1）如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 ………… 我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作 ………… 其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為. 特別地，， 如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定. 設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系

3、內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示. （2）平面向量的坐標(biāo)運算 ① 若，則， 兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差. ② 若，，則 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo). （3）若和實數(shù)，則. 實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo). 知識點四：平面向量共線的坐標(biāo)表示 （1） 設(shè)， 其中，當(dāng)且僅當(dāng)時，向量共線。 （2） 注意:①遇到與共線有關(guān)的問題時，一般要考慮運用兩向量共線的條件。 ②運用兩向量共線的條件，可求點的坐標(biāo)，可證明三點共線等問題。 學(xué)習(xí)結(jié)論 （1） 在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)倪x取基

4、底。把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。 （2） 向量共線的充要條件有兩種形式：∥（） （3） 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°≤q≤180°。 典型例題 例1 。已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點. 解析：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由得D1=(2， 2) 當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0) 例2．已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力++=，求的坐標(biāo). 解析：由題設(shè)++= 得：

5、(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)=(0， 0) 即： ∴ ∴(-5，1) 例3．若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x 解析：∵=(-1，x)與=(-x， 2) 共線 ∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x=± ∵與方向相同 ∴x= 例4．已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解析：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥ 又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×610 ∴與不平行 ∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD