（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 第三部分 教材知識 重點再現(xiàn) 回顧2 函數(shù)與導數(shù)學案 文 新人教A版

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1、回顧2　函數(shù)與導數(shù) [必記知識] 函數(shù)的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函數(shù)在其定義域上的整體性質，對于定義域內的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(shù)(都有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)成立，則f(x)為偶函數(shù))． (2)周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果對于定義域內的任意一個x的值： 若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期． 指數(shù)與對數(shù)式的運算公式 am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(ab)m＝ambm(a，b>0)． loga(MN)＝logaM＋l

2、ogaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)． 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的對比區(qū)分表 解析式 y＝ax(a>0且a≠1) y＝logax(a>0且a≠1) 圖象 定義域 R (0，＋∞) 值域 (0，＋∞) R 單調性 01時，在R上是增函數(shù) 01時，在(0，＋∞)上是增函數(shù) 方程的根與函數(shù)的零點 (1)方程的根與函數(shù)零點的關系 由函數(shù)零點的定義，可知函數(shù)y＝f(x)的零點就

3、是方程f(x)＝0的實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的交點的橫坐標．所以，方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (2)函數(shù)零點的存在性 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的實數(shù)根． 導數(shù)公式及運算法則 (1)基本導數(shù)公式 c′＝0(c為常數(shù))； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x

4、； (ax)′＝axln a(a>0且a≠1)；(ex)′＝ex； (logax)′＝(a>0且a≠1)；(ln x)′＝. (2)導數(shù)的四則運算 (u±v)′＝u′±v′； (uv)′＝u′v＋uv′； ′＝(v≠0)． 導數(shù)與極值、最值 (1)函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右負”?f(x)在x0處取極大值；函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左負右正”?f(x)在x0處取極小值． (2)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點值中的“最大值”；函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是

5、此函數(shù)在此區(qū)間上的極值與其端點值中的“最小值”. [必會結論] 函數(shù)單調性和奇偶性的重要結論 (1)當f(x)，g(x)同為增(減)函數(shù)時，f(x)＋g(x)則為增(減)函數(shù)． (2)奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性，偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性． (3)f(x)為奇函數(shù)?f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)為偶函數(shù)?f(x)的圖象關于y軸對稱． (4)偶函數(shù)的和、差、積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)的和、差是奇函數(shù)，積、商是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的積、商是奇函數(shù)． (5)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)的圖象必過原點即有f(0)＝0.存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)f

6、(x)＝0. (6)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數(shù)； f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數(shù)． 函數(shù)的周期性的重要結論 周期函數(shù)y＝f(x)滿足： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2|a|. (2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2|a|. (3)若f(x＋a)＝－，則函數(shù)的周期為2|a|. (4)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關于直線x＝a對稱，則其周期為2|a|. (5)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于直線x＝a對稱，則其周期為4|a|. 函數(shù)圖象對稱變換的相關結論 (1)y＝f(x)的圖象關于y軸對稱的圖象是函數(shù)y＝

7、f(－x)的圖象． (2)y＝f(x)的圖象關于x軸對稱的圖象是函數(shù)y＝－f(x)的圖象． (3)y＝f(x)的圖象關于原點對稱的圖象是函數(shù)y＝－f(－x)的圖象． (4)y＝f(x)的圖象關于直線y＝x對稱的圖象是函數(shù)y＝f－1(x)的圖象． (5)y＝f(x)的圖象關于直線x＝m對稱的圖象是函數(shù)y＝f(2m－x)的圖象． (6)y＝f(x)的圖象關于直線y＝n對稱的圖象是函數(shù)y＝2n－f(x)的圖象． 函數(shù)圖象平移變換的相關結論 (1)把y＝f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|c|個單位長度(c>0時向左平移，c<0時向右平移)得到函數(shù)y＝f(x＋c)的圖象(c為常數(shù))．

8、 (2)把y＝f(x)的圖象沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度(b>0時向上平移，b<0時向下平移)得到函數(shù)y＝f(x)＋b的圖象(b為常數(shù))． 函數(shù)圖象伸縮變換的相關結論 (1)把y＝f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(00)的圖象． (2)把y＝f(x)的圖象上各點的橫坐標伸長(01)到原來的倍，而縱坐標不變，得到函數(shù)y＝f(bx)(b>0)的圖象． 常見抽象函數(shù)的性質與對應的特殊函數(shù)模型的對照表 抽象函數(shù)的性質 特殊函數(shù)模型 ①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x

9、∈R，y∈R)； ②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R) 正比例函數(shù)f(x)＝kx(k≠0) ①f(x)f(y)＝f(x＋y)(x，y∈R)； ②＝f(x－y)(x，y∈R，f(y)≠0) 指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1) ①f(xy)＝f(x)＋f(y)(x>0，y>0)； ②f()＝f(x)－f(y)(x>0，y>0) 對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1) ①f(xy)＝f(x)f(y)(x，y∈R)； ②f()＝(x，y∈R，y≠0) 冪函數(shù)f(x)＝xn 可導函數(shù)與極值點之間的三種關系 (1)定義域D上的可導函數(shù)f(x)在x＝

10、x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x＝x0兩側異號，若“左負右正”，則x＝x0為極小值點，若“左正右負”，則x＝x0為極大值點． (2)函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值時，它在這點的導數(shù)不一定存在，例如函數(shù)y＝|x|，結合圖象知它在x＝0處有極小值，但它在x＝0處的導數(shù)不存在． (3)“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處取得極值”的既不充分也不必要條件，要注意對極值點進行檢驗． [必練習題] 1．已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＝3，則f(a－2)＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．3 C．－或3 D．－或3 解析：選A.當a>0時，若f

11、(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿足a>0)；當a≤0時，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－.故選A. 2．(2019·貴州省適應性考試)若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，則實數(shù)a，b，c之間的大小關系為(　　) A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．c>a>b D．b>a>c 解析：選B.根據(jù)題意有a＝20.3，b＝log0.32，c＝0.32，又20.3>20＝1，log0.32c>b. 3．(201

12、9·濟南市學習質量評估)函數(shù)y＝－ln|x|的圖象大致為(　　) 解析：選D.令f(x)＝y(tǒng)＝－ln|x|，則f(－x)＝f(x)，故函數(shù)為偶函數(shù)，排除選項B；當x>0且x→0時，y→＋∞，排除選項A；當x＝2時，y＝1－ln 2<1－ln e＝0，排除選項C.故選D. 4．(2019·江西七校第一次聯(lián)考)設f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，如圖表示該函數(shù)在區(qū)間(－2，1]上的圖象，則f(2 018)＋f(2 019)＝(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 解析：選C.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為3的周期函數(shù)，所以f(2 018)＝f(2 0

13、18－673×3)＝f(－1)，f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，由題中圖象知f(－1)＝－1，f(0)＝0，所以f(2 018)＋f(2 019)＝f(－1)＋f(0)＝－1. 5．(2019·濟南市模擬考試)已知函數(shù)f(x)＝cos(2x－)＋＋1，則f(x)的最大值與最小值的和為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選C.由已知得f(x)＝sin 2x＋＋1，因為y＝sin 2x，y＝都為奇函數(shù)，所以不妨設f(x)在x＝a處取得最大值，則根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知，f(x)在x＝－a處取得最小值，故f(a)＋f(－a)＝sin 2a＋＋1＋s

14、in(－2a)＋＋1＝2.選C. 6．已知R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當x<0時，f(x)＝log2(1－x)，則f(f(1))＝________． 解析：因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．當x>0時，－x<0，f(－x)＝log2(1＋x)＝－f(x)，故f(x)＝－log2(1＋x)，f(1)＝－log2(1＋1)＝－1，f(f(1))＝f(－1)＝log22＝1. 答案：1 7．若函數(shù)f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的圖象關于原點對稱，則函數(shù)g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域為________． 解析：由函數(shù)f(x)在[a－4，a]的圖象關于原點對稱

15、，可得a－4＋a＝0，即a＝2，則函數(shù)f(x)＝2x＋b，其定義域為[－2，2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上單調遞減，故值域為[g(－1)，g(－4)]，即. 答案： 8．已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))－1零點的個數(shù)為________． 解析：函數(shù)y＝f(f(x))－1零點的個數(shù)等價于方程f(f(x))＝1實數(shù)根的個數(shù)，令μ＝f(x)，則f(μ)＝1.方程f(μ)＝1有3個實數(shù)根，且μ1＝－，μ2＝0，μ3＝.方程μ1＝f(x)有2個實數(shù)根，方程μ2＝f(x)有2個實數(shù)根，方程μ3＝f(x

16、)有4個實數(shù)根，故函數(shù)y＝f(f(x))－1有8個零點． 答案：8 9．已知函數(shù)f(x)＝ax2－x＋ln x(a>0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線斜率為2，求a的值及在該點處的切線方程； (2)若f(x)是單調函數(shù)，求a的取值范圍． 解：(1)f′(x)＝2ax－1＋， 易知f′(1)＝2a＝2，得a＝1， 則f(1)＝0， 所以所求切線方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)f′(x)＝，x∈(0，＋∞)， 當f(x)是單調遞增函數(shù)時，有f′(x)≥0，即2ax2－x＋1≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，所以2a≥＝－＋， 令＝t

17、，t>0，則2a≥－t2＋t，t∈(0，＋∞)， 則2a≥(－t2＋t)max， 令h(t)＝－t2＋t(t>0)，易知當t＝時，h(t)取得最大值，h(t)max＝，則2a≥，所以a≥； 當f(x)是單調遞減函數(shù)時，有f′(x)≤0，即2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立，因為a>0，所以2ax2－x＋1≤0在x∈(0，＋∞)上恒成立是不可能的． 綜上，a的取值范圍為. 10．(2019·四省八校雙教研聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax－axln x－1(a∈R，a≠0)． (1)討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)當x>1時，求證：>－1. 解：(1)f′(x)＝a－a(

18、ln x＋1)＝－aln x，若a>0，則當x∈(0，1)時，f′(x)>0，當x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減； 若a<0，則當x∈(0，1)時，f′(x)<0，當x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增． (2)證明：要證>－1，即證>e－x，即證1時，x－xln x－1<0，即1時，ln x1，則F′(x)＝ex－單調遞增，所以F′(x)>F′(1)＝e－1>0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以F(x)>F(1)，則F(1)＝e，所以ex－ln x>e>0， 所以ex>ln x，所以ex >ln x>，所以原不等式得證． - 8 -