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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第三講 空間向量與立體幾何能力訓練 理
1.(2018·高考全國卷Ⅰ)如圖,四邊形ABCD為正方形,E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點,以DF為折痕把△DFC折起,使點C到達點P的位置,且PE⊥BF.
(1)證明:平面PEF⊥平面ABFD;
(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.
解析:(1)證明:由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF?平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)如圖,作PH⊥EF,垂足為H.
由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H為坐標原點,的方向為y軸正方向,||為單位長,建立
2、如圖所示的空間直角坐標系H-xyz.
由(1)可得,DE⊥PE.
又DP=2,DE=1,
所以PE=.
又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF.
所以PH=,EH=.
則H(0,0,0),P,D,
=,=.
又為平面ABFD的法向量,
設(shè)DP與平面ABFD所成角為θ,
則sin θ===.
所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.
2.(2018·長春模擬)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.
(1)證明:PB∥平面ACE;
(2)設(shè)PA=1,∠ABC=60?,三棱錐E-ACD的體積為,求二面角D-AE-C的余弦值.
3、
解析:(1)證明:連接BD交AC于點O,連接OE(圖略).
在△PBD中,PE=DE,BO=DO,所以PB∥OE.
又OE?平面ACE,PB?平面ACE,所以PB∥平面ACE.
(2)由題易知VP-ABCD=2VP-ACD=4VE-ACD=,設(shè)菱形ABCD的邊長為a,
則VP-ABCD=S?ABCD·PA=×(2×a2)×1=,則a=.
取BC的中點為M,連接AM,則AM⊥AD.
以點A為坐標原點,分別以,,的方向為x軸,y 軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,0),E(0,,),C(,,0),=(0,,),=(,,0),
設(shè)n1=(x,y,
4、z)為平面AEC的法向量,則即取x=1,則n1=(1,-,3)為平面AEC的一個法向量.
又易知平面AED的一個法向量為n2=(1,0,0),
所以cos〈n1,n2〉===,
由圖易知二面角D-AE-C為銳二面角,
所以二面角D-AE-C的余弦值為.
3.(2018·高考全國卷Ⅱ)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點.
(1)證明:PO⊥平面ABC;
(2)若點M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.
解析:(1)證明:因為PA=PC=AC=4,O為AC的中點,
所以O(shè)P⊥AC,且O
5、P=2.
如圖,連接OB.
因為AB=BC=AC,
所以△ABC為等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.
由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.
由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O,得PO⊥平面ABC.
(2)如圖,以O(shè)為坐標原點,的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系O-xyz.
由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).
取平面PAC的一個法向量=(2,0,0).
設(shè)M(a,2-a,0)(0≤a≤2),則=(a,4-a,0).
設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z).
由·n=
6、0,·n=0得
可取y=a,得平面PAM的一個法向量為n=((a-4),a,-a),
所以cos 〈,n〉=.
由已知可得|cos〈,n〉|=cos 30°=,
所以=,
解得a=-4(舍去)或a=.
所以n=.
又=(0,2,-2),所以cos〈,n〉=.
所以PC與平面PAM所成角的正弦值為.
4.(2018·青島模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BCA=45?,AP=AD=AC=2,E為PA的中點.
(1)設(shè)平面PAB∩平面PCD=l,求證:CD∥l;
(2)求二面角B-CE-D的余弦值.
解析:(1)證明:在四
7、邊形ABCD中,∵AC⊥AD,AD=AC=2,
∴∠ACD=45?,∵∠BCA=45?,∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=90?,即DC⊥BC.
又AB⊥BC,∴AB∥CD.
∵AB?平面PAB,CD?平面PAB,
∴CD∥平面PAB.
∵CD?平面PCD,平面PAB∩平面PCD=l,
∴CD∥l.
(2)∵PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,
∴以A為原點,以AD所在的直線為x軸,AC所在的直線為y軸,AP所在的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則P(0,0,2),E(0,0,1),D(2,0,0),C(0,2,0),B(-1,1,0),
設(shè)平面DCE的法向量為n1=(x1,y1,z1),=(0,-2,1),=(-2,0,1),
由得,
令x1=1,則y1=1,z1=2,∴n1=(1,1,2)是平面DCE的一個法向量.
設(shè)平面BCE的法向量為n2=(x2,y2,z2),
=(1,1,0),=(0,-2,1),
由得,令x2=1,則y2=-1,z2=-2,∴n2=(1,-1,-2)是平面BCE的一個法向量.
則cos〈n1,n2〉===-,
又二面角B-CE-D為鈍角,∴二面角B-CE-D的余弦值為-.