2022-2023學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例講義（含解析）新人教A版選修4-5

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 二 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例講義（含解析）新人教A版選修4-5 1．利用數(shù)學歸納法證明不等式 在不等關(guān)系的證明中，方法多種多樣，其中數(shù)學歸納法是常用的方法之一．在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由n＝k成立，推導n＝k＋1成立時，常常要與其他方法，如比較法、分析法、綜合法、放縮法等結(jié)合進行． 2．歸納—猜想—證明的思想方法 數(shù)學歸納法作為一種重要的證明方法，常常體現(xiàn)在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數(shù)學歸納法證明已有的與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現(xiàn)某些結(jié)論、規(guī)律并用數(shù)學歸納法證明其正

2、確性，形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思想方法． 利用數(shù)學歸納法證明不等式 [例1]　證明不等式1＋＋＋…＋＜2(n∈N＋)． [思路點撥]　 ―→―→ [證明]　(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k∈N＋，k≥1)時不等式成立， 即1＋＋＋…＋＜2， 則當n＝k＋1時，左邊＝1＋＋＋…＋＋＜2＋＝， 現(xiàn)在只需證明＜2成立， 即證2＜2k＋1成立， 兩邊平方并整理，得0＜1，顯然成立， 所以＜2成立． 即1＋＋＋…＋＋＜2成立． 所以當n＝k＋1時，不等式成立． 由(1)(2)可知，對于任意正整數(shù)n，原不等式都成立．

3、 數(shù)學歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時，由n＝k到n＝k＋1時的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”才能使用到n＝k時的假設(shè)，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一． (2)數(shù)學歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程． 1．設(shè)Sn是數(shù)列的前n項和，當n≥2時，比較S2n與的大小，并予以證明． 解：由S22＝1＋＋＋＝＞，S23＝1＋＋＋＋＋…＋＞S22＋＋＋＋＞＋＝，猜想：S2n＞

4、(n≥2)． 下面用數(shù)學歸納法證明． (1)當n＝2時，上面已證不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k∈N＋，k≥2)時，有S2k＞， 則當n＝k＋1時， S2k＋1＝S2k＋＋＋…＋＞＋ ＝＋＝， 即當n＝k＋1時，不等式也成立． 結(jié)合(1)(2)可知，S2n＞(n≥2，n∈N＋)成立． 2．用數(shù)學歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)． 證明：(1)當n＝2時，1＋＝<2－＝，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥2，k∈N＋)時不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－，所以當n＝k＋1時，

5、不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n≥2，n∈N＋時均成立． 3．設(shè)Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，試比較Pn與Qn的大小，并加以證明． 解：(1)當n＝1,2時，Pn＝Qn. (2)當n≥3時，(以下再對x進行分類)． ①若x∈(0，＋∞)，顯然有Pn>Qn. ②若x＝0，則Pn＝Qn. ③若x∈(－1,0)， 則P3－Q3＝x3<0，所以P3

6、2＋ ＝1＋(k＋1)x＋x2＋x3 ＝Qk＋1＋x3

7、 即ak＝，則ak＋1＝f(ak)＝ ＝＝＝. 這說明，n＝k＋1時猜想正確． 由①②知，對于任何n∈N＋，都有an＝. 利用數(shù)學歸納法解決探索型不等式的思路是：觀察—歸納—猜想—證明．即先通過觀察部分項的特點．進行歸納，判斷并猜想出一般結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法進行證明． 4．在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N＋)． (1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4的值，由此猜測{an}，{bn}的通項公式； (2)證明你的結(jié)論． 解：(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnb

8、n＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. (2)用數(shù)學歸納法證明：①當n＝1時，由上知結(jié)論成立． ②假設(shè)當n＝k時，結(jié)論成立． 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當n＝k＋1時，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)． bk＋1＝＝(k＋2)2. 所以當n＝k＋1時， 結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對一切正整數(shù)都成立． 5．判斷是否存在一組常數(shù)a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋

9、…＋22＋12＝an(bn2＋c)對于一切n∈N＋都成立，若存在，求出a，b，c的一組值并證明；若不存在，試說明理由． 解：假設(shè)存在a，b，c使12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)，對于一切n∈N＋都成立． 當n＝1時，a(b＋c)＝1； 當n＝2時，2a(4b＋c)＝6； 當n＝3時，3a(9b＋c)＝19. 由方程組可解得 證明如下： ①當n＝1時，由以上知存在常數(shù)a，b，c使等式成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N＋)時等式成立， 即12＋22＋32＋…＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12 ＝k(2k2＋1)； 當n＝k＋1時， 1

10、2＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12 ＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2 ＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 ＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2 ＝(k＋1)(2k2＋4k＋3) ＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1]． 即n＝k＋1時，等式成立． 因此存在a＝，b＝2，c＝1使等式對一切n∈N＋都成立． 1．下列四個判斷中，正確的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)，當n＝1時恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)，當n＝1時恒為1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)，當n＝1時恒為

11、1＋＋ D．設(shè)f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，則f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析：選C　選項A中，n＝1時，式子應(yīng)為1＋k；選項B中，n＝1時，式子應(yīng)為1；選項D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ －. 2．用數(shù)學歸納法證明“2n＞n2＋1對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取(　　) A．2　　　　　　　　 B．3 C．5 D．6 解析：選C　令n0分別取2,3,4,5,6，依次驗證即得． 3．某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N＋)時該命題成立，那么可推得當n＝k＋1時該命題也成立．現(xiàn)已知當n＝5時該命題不成立，那么可推得(　　) A．當n＝6

12、時該命題不成立 B．當n＝6時該命題成立 C．當n＝4時該命題不成立 D．當n＝4時該命題成立 解析：選C　如果n＝4時命題成立，那么由題設(shè)，n＝5時命題也成立．上面的判斷作為一個命題，那么它的逆否命題是如果n＝5時命題不成立，那么n＝4時命題也不成立．原命題成立，它的逆否命題一定成立． 4．設(shè)n為正整數(shù)，f(n)＝1＋＋＋…＋，計算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，觀察上述記錄，可推測出一般結(jié)論(　　) A．f(2n)＞ 　　　　　　 B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不對 解析：選C　f(2)＝，f(4)＝f(22)＞2＝，

13、f(8)＝f(23)＞，f(16)＝f(24)＞，f(32)＝f(25)＞，所以f(2n)≥. 5．證明<1＋＋＋…＋1)，當n＝2時，要證明的式子為________． 解析：當n＝2時，要證明的式子為 2<1＋＋＋<3. 答案：2<1＋＋＋<3 6．用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋＞－.假設(shè)n＝k時不等式成立，則當n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標不等式是__________________． 解析：假設(shè)n＝k時，不等式成立，即＋＋…＋＞－，則當n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋＋＞－＋，下面只需證明－＋＞－即可． 答案：－＋＞－ 7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用數(shù)學歸

14、納法證明f(2n)>時，f(2k＋1)－f(2k)＝______________. 解析：f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋， f(2k)＝1＋＋＋…＋，所以 f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋. 答案：＋＋…＋ 8．用數(shù)學歸納法證明，對任意n∈N＋，有 (1＋2＋…＋n)≥n2. 證明：(1)當n＝1時，左邊＝右邊，不等式成立． 當n＝2時，左邊＝(1＋2)＝>22，不等式成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥2)時不等式成立， 即(1＋2＋…＋k)≥k2. 則當n＝k＋1時，有 左邊＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]＋ ＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)

15、·＋(k＋1)×＋1≥k2＋＋1＋(k＋1). ∵當k≥2時，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) ∴左邊≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2. 這就是說當n＝k＋1時，不等成立． 由(1)(2)可知當n≥1時，不等式成立． 9．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an＞0，n∈N＋. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式； (2)證明通項公式的正確性． 解：(1)當n＝1時， 由已知得a1＝＋－1， 即a＋2a1－2＝0. ∴a1＝－1(a1＞0)． 當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1， 將a1＝－1代入并整理得a＋2a

16、2－2＝0. ∴a2＝－(a2＞0)． 同理可得a3＝－. 猜想an＝－(n∈N＋)． (2)證明：①由(1)知，當n＝1時，通項公式成立． ②假設(shè)當n＝k(k∈N＋)時，通項公式成立， 即ak＝－. 由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－， 將ak＝－代入上式，整理得 a＋2ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝－， 即n＝k＋1時通項公式成立． 由①②可知對所有n∈N＋，an＝－都成立． 10．設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3…. (1)當a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式； (2)當a≥3時，證明對所有的n≥1，有an≥n＋2. 解：(1)由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3， 由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4， 由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5. 由此猜想an的一個通項公式： an＝n＋1(n≥1)． (2)證明：用數(shù)學歸納法證明． ①當n＝1，a1≥3＝1＋2，不等式成立． ②假設(shè)當n＝k時不等式成立， 即ak≥k＋2，那么，當n＝k＋1時． ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1≥k＋3， 也就是說，當n＝k＋1時， ak＋1≥(k＋1)＋2. 根據(jù)①和②，對于所有n≥1，有an≥n＋2.