9、(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或與選項(xiàng)C符合．故選C.
求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)(高頻考點(diǎn))
線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)問(wèn)題是每年高考的熱點(diǎn)，屬必考內(nèi)容，題型多為選擇題和填空題，難度適中，屬中檔題．主要命題角度有：
(1)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)；
(2)已知線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)求參數(shù)值(范圍)；
(3)求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)．
角度一 求線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)
(2019·高考浙江卷)若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．10 D．12
【解析】 作出可行域如圖中陰影部
10、分所示，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線z＝3x＋2y過(guò)點(diǎn)(2，2)時(shí)，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故選C.
【答案】 C
角度二 已知線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)求參數(shù)值(范圍)
(2020·嘉興市高考模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，若ax＋y的最大值為10，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
【解析】 畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示(陰影部分)：
由，
解得A(3，4)，
令z＝ax＋y，因?yàn)閦的最大值為10，
所以直線在y軸上的截距的最大值為10，即直線過(guò)(0，10)，
所以z＝ax＋y與可行域有交點(diǎn)，
當(dāng)a＞0時(shí)，
直線經(jīng)過(guò)A時(shí)z取得最大
11、值．即ax＋y＝10，將A(3，4)代入得，
3a＋4＝10，解得a＝2，當(dāng)a≤0時(shí)，直線經(jīng)過(guò)A時(shí)z取得最大值，即ax＋y＝10，將A(3，4)代入得，3a＋4＝10，解得a＝2，與a≤0矛盾，綜上a＝2.
【答案】 C
角度三 求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值(范圍)
若平面區(qū)域夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，當(dāng)兩條平行直線間的距離最小時(shí)，兩平行直線分別過(guò)點(diǎn)A與B，又兩平行直線的斜率為1，直線AB的斜率為－1，所以線段AB的長(zhǎng)度
12、就是過(guò)A、B兩點(diǎn)的平行直線間的距離，易得|AB|＝，即兩條平行直線間的距離的最小值是，故選B.
【答案】 B
(1)利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的步驟
①畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域；
②將目標(biāo)函數(shù)視為動(dòng)直線，并將其平移經(jīng)過(guò)可行域，找到最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；
③將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)，求出最大值或最小值．
常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：
(ⅰ)截距型：形如z＝ax＋by；(ⅱ)距離型：形如z＝；(ⅲ)斜率型：形如z＝.
(2)含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題
參數(shù)的位置可能在目標(biāo)函數(shù)中，也可能在約束條件中，求解步驟為：①注意對(duì)參數(shù)取值的討論、將各種情況下的可行域畫(huà)出來(lái)；②在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解．
13、
[提醒] 求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，易弄錯(cuò)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義而求錯(cuò)．如x2＋y2是距離的平方，易忽視平方而求錯(cuò)．
1．(2020·溫州七校聯(lián)考)實(shí)數(shù)x，y滿足，使z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，則z1＝ax＋y＋1的最小值為( )
A．0 B．－2
C．1 D．－1
解析：選A.畫(huà)出不等式組所表示的可行域如圖中陰影所示，因?yàn)閦＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有2個(gè)，所以－a＝1，a＝－1，所以當(dāng)x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1時(shí)，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0，故選A.
2．(2020·溫州市高考模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足，則y的最
14、大值為_(kāi)_______，的取值范圍是________．
解析：作出不等式組，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分)：
可知A的縱坐標(biāo)取得最大值2.
設(shè)z＝，則z的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D(－2，－1)的斜率，由圖象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，則z的最大為＝，最小為＝，即≤z≤，
則z＝的取值范圍是.
答案：2
3．(2020·紹興一中高三期中)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z＝abx＋y(a＞0，b＞0)的最大值為35，則a＋b的最小值為_(kāi)_______．
解析：滿足約束條件
的區(qū)域是一個(gè)四邊形，如圖所示四個(gè)頂點(diǎn)分別是(0，0)，(0，1)，，(2，3)，由圖易得目標(biāo)
15、函數(shù)在(2，3)取最大值35，即35＝2ab＋3，所以ab＝16，
所以a＋b≥2＝8，當(dāng)a＝b＝4時(shí)等號(hào)成立，
所以a＋b的最小值為8.
答案：8
線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)_______元．
【
16、解析】 由題意，設(shè)產(chǎn)品A生產(chǎn)x件，產(chǎn)品B生產(chǎn)y件，利潤(rùn)z＝2 100x＋900y，線性約束條件為
作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
又由x∈N，y∈N，可知取得最大值時(shí)的最優(yōu)解為(60，100)，
所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．
【答案】 216 000
利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的步驟
(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，主要變量有哪些．由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多，為了了解題目中量與量之間的關(guān)系，可以借助表格或圖形；
(2)設(shè)元：設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用的(或關(guān)聯(lián)較多的)量為未知量x，y，
17、并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)；
(3)作圖：準(zhǔn)確作圖，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解)；
(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)；
(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋．
某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車(chē)安排900名客人旅行，A，B兩種車(chē)輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車(chē)總數(shù)不超過(guò)21輛，且B型車(chē)不多于A型車(chē)7輛，則租金最少為( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：選C.設(shè)旅行社租用A型客車(chē)x輛，B型客車(chē)y輛，租金為z，則約束條件為
目標(biāo)函數(shù)為z＝
18、1 600x＋2 400y.畫(huà)出可行域(圖中所示陰影中的整點(diǎn)部分)，可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)N(5，12)時(shí)，有最小值z(mì)min＝36 800(元)．
[基礎(chǔ)題組練]
1．二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為( )
A．18 B．24
C．36 D．12
解析：選C.不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，
四邊形ABCD是平行四邊形，由圖中數(shù)據(jù)可知其面積S＝(4＋2)×6＝36.
2．設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為( )
A. B．1
C. D．3
解析：選D.作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由z
19、＝x＋y得y＝－x＋z，作出直線y＝－x，平移使之經(jīng)過(guò)可行域，觀察可知，最優(yōu)解在B(0，3)處取得，故zmax＝0＋3＝3，選項(xiàng)D符合．
3．(2020·浙江名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則2x－y( )
A．有最小值，無(wú)最大值 B．有最大值，無(wú)最小值
C．有最小值，也有最大值 D．無(wú)最小值，也無(wú)最大值
解析：選A.作出不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示．
設(shè)2x－y＝z，則y＝2x－z，z表示直線在y軸上的截距的相反數(shù)．
平移直線y＝2x－z，可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)z取得最小值，z沒(méi)有最大值．故選A.
4．(2020·臺(tái)州高三質(zhì)檢)已知不等式組表示的平面區(qū)域
20、的面積為2，則的最小值為( )
A. B.
C．2 D．4
解析：選B.畫(huà)出不等式組所表示的區(qū)域(陰影部分)，由區(qū)域面積為2，可得m＝0.而＝1＋，表示可行域內(nèi)任意一點(diǎn)與點(diǎn)(－1，－1)連線的斜率，所以的最小值為＝，所以的最小值為.
5．(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)變量x，y滿足約束條件且不等式x＋2y≤14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[8，10] B．[8，9]
C．[6，9] D．[6，10]
解析：選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a≥8，否則可行域無(wú)意義．由圖可知x＋2y在點(diǎn)(6，a－6)處取得最大值2a－
21、6，由2a－6≤14得，a≤10，故選A.
6．(2020·溫州適應(yīng)性測(cè)試)在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界)，若目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：選A.易知a≠0，那么目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－x＋z.要使目標(biāo)函數(shù)z＝x＋ay取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則－＝kAC＝1，則a＝－1，故＝，其幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)M(－1，0)的連線的斜率，可知＝kMC＝，故選A.
7．若x，y滿足約束條件則z＝－x＋y的最小值是________．
解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△
22、ABC及其內(nèi)部，其中A(1，1)，B，C(0，4)．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最小值．
所以zmin＝－1＋1＝0.
答案：0
8．(2020·杭州中學(xué)高三期中)已知點(diǎn)A(3，)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(x，y)滿足，則滿足條件的點(diǎn)P所形成的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______，在方向上投影的最大值為_(kāi)_______．
解析：由已知得到平面區(qū)域如圖，P所在區(qū)域即為陰影部分，由得到C(－2，0)，B(1，)，所以其面積為×2×＝.
令在方向上投影為z＝＝＝x＋y，所以y＝－x＋2z，過(guò)點(diǎn)B時(shí)z最大，
所以，在方向上投影的最大值為＋＝.
答案：
9．給定區(qū)域D：令點(diǎn)集T＝{(
23、x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定________條不同的直線．
解析：畫(huà)出平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示．
作出z＝x＋y的基本直線l0：x＋y＝0.經(jīng)平移可知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y在點(diǎn)
A(0，1)處取得最小值，在線段BC處取得最大值，而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值時(shí)的整點(diǎn)坐標(biāo)，在取最大值時(shí)線段BC上共有5個(gè)整點(diǎn)，分別為(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故T中的點(diǎn)共確定6條不同的直線．
答案：6
10．(2020·溫州市高考實(shí)戰(zhàn)模擬)若變量x，y滿足約束條件，則z＝2x·的最
24、大值為_(kāi)_______．
解析：作出不等式組
表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．又z＝2x·＝2x－y，令u＝x－y，則直線u＝x－y在點(diǎn)(4，0)處u取得最大值，此時(shí)z取得最大值且zmax＝24－0＝16.
答案：16
11．(2020·杭州市高三模擬)若實(shí)數(shù)x，y滿足.
求：(1)x的取值范圍；
(2)|x|＋|y|的取值范圍．
解：(1)由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示，
由圖可知，0≤x≤1.
(2)當(dāng)x≥0，y≥0時(shí)，
z＝|x|＋|y|＝x＋y過(guò)(1，)時(shí)有最大值為，
過(guò)O(0，0)時(shí)有最小值0；
當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，
z＝|x|＋|y|＝x－y
25、過(guò)(1，－1)時(shí)有最大值為2，
過(guò)O(0，0)時(shí)有最小值0.
所以|x|＋|y|的取值范圍是[0，2]．
12．若x，y滿足約束條件
(1)求目標(biāo)函數(shù)z＝x－y＋的最值；
(2)若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，求a的取值范圍．
解：(1)作出可行域如圖中陰影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．
平移初始直線x－y＋＝0，過(guò)A(3，4)時(shí)z取最小值－2，過(guò)C(1，0)時(shí)z取最大值1.
所以z的最大值為1，最小值為－2.
(2)直線ax＋2y＝z僅在點(diǎn)(1，0)處取得最小值，由圖象可知－1<－<2，
解得－4
26、(－4，2)．
[綜合題組練]
1．(2020·浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟高三聯(lián)考)已知變量x，y滿足約束條件，若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A．[－，]
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
解析：選D.作出約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域(如圖中陰影部分)，令z＝－2x＋y，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4，－1)時(shí)，z取得最大值，即zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.
所以m2≥7，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－]∪[，＋∞)，故選D.
2．(2020·溫州校級(jí)月考)已知二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸.若M與圓(x
27、－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A. B．(1，5)
C. D．(1，5]
解析：選C.如圖所示(陰影部分)，若使以(4，1)為圓心的圓與平面區(qū)域M至少有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形，當(dāng)圓與直線x－y－2＝0相切時(shí)，恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a＝＝，當(dāng)圓的半徑增大到恰好過(guò)點(diǎn)C(2，2)時(shí)，圓與平面區(qū)域M至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a＝5，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是
28、____________．
解析：作出可行域，如圖所示(陰影部分)，則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y在點(diǎn)(1，0)處取得最大值1，在點(diǎn)(－1，1)處取得最小值－3，所以a＝1，b＝－3，從而可知方程x2－kx＋1＝0在區(qū)間(－3，1)上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．
令f(x)＝x2－kx＋1，則?－＜k＜－2.
答案：
4．設(shè)a＞0，集合A＝，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤a2}．若“點(diǎn)P(x，y)∈A”是“點(diǎn)P(x，y)∈B”的必要不充分條件，則a的取值范圍是____________．
解析：由題意知BA，從而得到圓面的半徑≤圓心到相應(yīng)直線的距離，即
解得0＜a≤.
答案：
29、0＜a≤
5．甲、乙兩工廠根據(jù)賽事組委會(huì)要求為獲獎(jiǎng)?wù)哂喿瞿彻に嚻纷鳛楠?jiǎng)品，其中一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品3件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品6件；制作一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)所用原料完全相同，但工藝不同，故價(jià)格有所差異．甲廠收費(fèi)便宜，但原料有限，最多只能制作4件獎(jiǎng)品，乙廠原料充足，但收費(fèi)較貴，其具體收費(fèi)如下表所示，求組委會(huì)訂做該工藝品的費(fèi)用總和最低為多少元．
解：設(shè)甲廠生產(chǎn)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品x件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品y件，x，y∈N，
則乙廠生產(chǎn)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品(3－x)件，二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品(6－y)件．
則x，y滿足設(shè)費(fèi)用為z元，則z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域
30、如圖中陰影部分(包括邊界)所示．
由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z最?。?
由解得即A(3，1)，故組委會(huì)訂做該工藝品的費(fèi)用總和最低為zmin＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．
6．已知正數(shù)a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c，求的取值范圍．
解：條件5c－3a≤b≤4c－a，cln b≥a＋cln c可化為：
設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則題目轉(zhuǎn)化為：
已知x，y滿足求的取值范圍．
求目標(biāo)函數(shù)z＝＝的取值范圍．作出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分)，過(guò)原點(diǎn)作y＝ex的切線，切線方程為y＝ex，切點(diǎn)P(1，e)在區(qū)域內(nèi)．故當(dāng)直線y＝zx過(guò)點(diǎn)P(1，e)時(shí)，zmin＝e；當(dāng)直線y＝zx過(guò)點(diǎn)C時(shí)，zmax＝7，故∈[e，7]．
18
（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 3 第3講 二元一次不等式（組）及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)案
