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1、2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題一 解析幾何 第2講 圓錐曲線的綜合問題練習(xí) 理
一、選擇題
1.已知雙曲線-=1(b>0)的離心率等于b,則該雙曲線的焦距為( )
A.2 B.2
C.6 D.8
解析:設(shè)雙曲線的焦距為2c.由已知得=b,
又c2=4+b2,解得c=4,則該雙曲線的焦距為8.
答案:D
2.雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x,則雙曲線C的離心率是( )
A. B.
C.2 D.
解析:由雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=2x,可得=2,∴e===.故選A.
答案:A
2、
3.(2018·合肥質(zhì)檢)若雙曲線C1:-=1與C2:-=1(a>0,b>0)的漸近線相同,且雙曲線C2的焦距為4,則b=( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:C1的漸近線為y=±2x,
即=2.
又∵2c=4,c=2.
由c2=a2+b2得,
∴20=b2+b2,b=4.
答案:B
4.已知拋物線y2=6x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn),且在第一象限,PA⊥l,垂足為A,|PA|=2,則直線AF的傾斜角為( )
A. B.
C. D.
解析:由拋物線方程得F.
∵|PF|=|PA|=2,
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2-=.
∵P在拋物
3、線上,且在第一象限,
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為,
∴AF的斜率為=-,
∴AF的傾斜角為,故選D.
答案:D
5.已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線y=k(x-2)與此拋物線相交于P,Q兩點(diǎn),則+=( )
A. B.1
C.2 D.4
解析:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可知,|FP|=x1+2,|FQ|=x2+2,則+=+=,聯(lián)立直線與拋物線方程消去y,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===.
答案:A
6.若對(duì)任意k∈R,直線y-kx-1=0與橢圓+=1恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(1
4、,2] B.[1,2)
C.[1,2)∪(2,+∞) D.[1,+∞)
解析:聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去y得(2k2+m)x2+4kx+2-2m=0,因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn),所以Δ=16k2-4(2k2+m)(2-2m)≥0,即2k2+m-1≥0恒成立,因?yàn)閗∈R,所以k2≥0,則m-1≥0,所以m≥1,又m≠2,所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,2)∪(2,+∞).
答案:C
7.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A,B是拋物線上橫坐標(biāo)不相等的兩點(diǎn).若AB的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)是(4,0),則|AB|的最大值為( )
A.2 B.4
C.6 D.10
解析:因?yàn)镕(1,0
5、),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(4,0),由|MA|2=|MB|2得(4-x1)2+y=(4-x2)2+y?、?,又y=4x1,y=4x2,代入①中并展開得16-8x1+x+y=16-8x2+x+y,即x-x=4x1-4x2,得x1+x2=4,所以|AB|≤|AF|+|BF|=+=6,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|max=6,故選C.
答案:C
8.(2018·長(zhǎng)沙模擬)P是雙曲線C:-y2=1右支上一點(diǎn),直線l是雙曲線C的一條漸近線,P在l上的射影為Q,F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn),則|PF1|+|PQ|的最小值為( )
A.1 B.2+
C.4+ D
6、.2+1
解析:設(shè)F2是雙曲線C的右焦點(diǎn),因?yàn)閨PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|,顯然當(dāng)F2,P,Q三點(diǎn)共線且P在F2,Q之間時(shí),|PF2|+|PQ|最小,且最小值為F2到l的距離.易知l的方程為y=或y=-,F(xiàn)2(,0),求得F2到l的距離為1,故|PF1|+|PQ|的最小值為2+1.選D.
答案:D
9.過橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A且斜率為k的直線交橢圓C于另一點(diǎn)B,且點(diǎn)B在x軸上的射影恰好為右焦點(diǎn)F.若<k<,則橢圓C的離心率的取值范圍是( )
A.(,) B.(,1)
C.(,) D.(0,)
解析:由題圖可
7、知,|AF|=a+c,|BF|=,于是k=.又<k<,所以<<,化簡(jiǎn)可得<<,從而可得<e<,選C.
答案:C
10.已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若·<0,則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析:由題意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨設(shè)F1(-,0),F(xiàn)2(,0),所以=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),所以·=x-3+y=3y-1<0,所以-
8、,則|PQ|+|PN|的最小值為( )
A.3 B.4
C.5 D.+1
解析:由拋物線方程y2=4x,可得拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),又N(1,0),∴N與F重合.過圓(x-3)2+(y-1)2=1的圓心M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MH,交圓于Q,交拋物線于P,則|PQ|+|PN|的最小值等于|MH|-1=3.故選A.
答案:A
12.(2018·南昌調(diào)研)已知圓O1:(x-2)2+y2=16與圓O2:x2+y2=r2(0e2),則e1+2e2的最小值是( )
A.
9、 B.
C. D.
解析:①當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1、O2都相內(nèi)切時(shí),|MO2|+|MO1|=4-r=2a,∴e1=.
②當(dāng)動(dòng)圓M與圓O1相內(nèi)切,與圓O2相外切時(shí),
|MO1|+|MO2|=4+r=2a′,
∴e2=,
∴e1+2e2=+=,
令12-r=t(10
10、有≥,∴e==≥=2,∴所求雙曲線離心率的取值范圍是e≥2.
答案:[2,+∞)
14.(2018·懷化模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,若橢圓上存在點(diǎn)P,使得∠F1PF2=120°,則橢圓的離心率的取值范圍是________.
解析:由題意可得,橢圓的上頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形中,頂角大于等于120°,所以底角小于等于30°,則≥, 即e≥,又e<1,所以橢圓的離心率的取值范圍是[,1).
答案:[,1)
15.(2018·合肥質(zhì)檢)如圖,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓+=1的離心率e=,F(xiàn),A分別是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和頂點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),則·的最大值為___
11、_____.
解析:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0).由題意知a=2,
∵e==,c=1,∴b2=a2-c2=3.
故所求橢圓方程為+=1.
∴-2≤x0≤2,-≤y0≤.
∵F(-1,0),A(2,0),=(-1-x0,-y0),
=(2-x0,-y0),
∴·=x-x0-2+y=x-x0+1
=(x0-2)2.
即當(dāng)x0=-2時(shí),·取得最大值4.
答案:4
B組 大題規(guī)范練
1.已知P是拋物線E:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),P到直線x-y+4=0的距離為d1,P到E的準(zhǔn)線的距離為d2,且d1+d2的最小值為3.
(1)求拋物線E的方程;
(2)直線l1:y=k1
12、(x-1)交E于點(diǎn)A,B,直線l2:y=k2(x-1)交E于點(diǎn)C,D,線段AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,若k1k2=-2,直線MN的斜率為k,求證:直線l:kx-y-kk1-kk2=0恒過定點(diǎn).
解析:(1)拋物線E的焦點(diǎn)為F,由拋物線的定義可得d2=|PF|,
則d1+d2=d1+|PF|,
其最小值為點(diǎn)F到直線x-y+4=0的距離,
∴=3,解得p=4或p=-20(舍去),
∴拋物線E的方程為y2=8x.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由可得kx2-(2k+8)x+k=0,
則x1+x2=,所以y1+y2=k1(x1-1)+k1(x2-1)=k1(x1+x2)-
13、2k1=-2k1==,
∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為,
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,
∴直線MN的斜率k==-,則k(k1+k2)=-2,
∴直線l的方程kx-y-kk1-kk2=0可化為y=kx-k(k1+k2),即y=kx+2.
令x=0,可得y=2,
∴直線l恒過定點(diǎn)(0,2).
2.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左焦點(diǎn)為F(-1,0),過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在y軸上,是否存在定點(diǎn)E,使·恒為定值?若存在,求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值;若不存在,說明理由.
解析:(1)由已知可得解得a2=2,b2=
14、1,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
(2)設(shè)過點(diǎn)D(0,2)且斜率為k的直線l的方程為y=kx+2,
由消去y整理得(1+2k2)x2+8kx+6=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-.
y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)=k(x1+x2)+4=.
設(shè)存在點(diǎn)E(0,m),則=(-x1,m-y1),
=(-x2,m-y2),
所以·=x1x2+m2-m(y1+y2)+y1y2=+m2-m·-=.
要使得·=t(t為常數(shù)),
只需=t,從而(
15、2m2-2-2t)k2+m2-4m+10-t=0,
即解得m=,從而t=,
故存在定點(diǎn)E,使·恒為定值.
3.已知M為橢圓C:+=1上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為D,點(diǎn)P滿足=.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)若A,B兩點(diǎn)分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),F(xiàn)為橢圓C的左焦點(diǎn),直線PB與橢圓C交于點(diǎn)Q,直線QF,PA的斜率分別為kQF,kPA,求的取值范圍.
解析:(1)設(shè)P(x,y),M(m,n),依題意知D(m,0),且y≠0.
由=,得(m-x,-y)=(0,-n),
則有?
又M(m,n)為橢圓C:+=1上的點(diǎn),
∴+=1,即x2+y2=25,
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡
16、E的方程為x2+y2=25(y≠0).
(2)依題意知A(-5,0),B(5,0),F(xiàn)(-4,0),設(shè)Q(x0,y0),
∵線段AB為圓E的直徑,
∴AP⊥BP,設(shè)直線PB的斜率為kPB,
則kPA=-,
==-kQFkPB=-kQFkQB=-·=-=-===,
∵點(diǎn)P不同于A,B兩點(diǎn)且直線QF的斜率存在,
∴-5b>0)的離心率e=,頂點(diǎn)為A1,A2,B1,B2,且·=3.
(1)求橢圓C的方程;
(2
17、)P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn),直線B2P交x軸于點(diǎn)Q,直線A1B2交直線A2P于點(diǎn)E.設(shè)直線A2P的斜率為k,直線EQ的斜率為m,試問2m-k是否為定值?并說明理由.
解析:(1)因?yàn)閑=,所以=,
由題意得A1(-a,0),B1(0,-b),B2(0,b),
所以=(a,-b),=(a,b).
又·=3,所以a2-b2=3,所以c=,
所以a=2,b==1,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)2m-k是定值.理由如下:
由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1).
因?yàn)橹本€A2P的斜率為k,所以直線A2P的方程為y=k(x-2),其中k≠±,且k≠0,
聯(lián)立,得消去y,得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.
因?yàn)閤A2=2,所以xP=,所以P,
則直線B2P的方程為y=x+1
=-x+1,
令y=0,得x=,所以Q.
易得直線A1B2的方程為x-2y+2=0,
聯(lián)立,得解得所以E,
所以EQ的斜率m==.
所以2m-k=2·-k=,是定值.