(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2
《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《(全國(guó)通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版選修2-2(16頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解極值與最值的關(guān)系,并能利用其求參數(shù)的范圍.2.能利用導(dǎo)數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的恒成立問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)最值的基本方法 (1)求導(dǎo)函數(shù):求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x); (2)求極值嫌疑點(diǎn):即f′(x)不存在的點(diǎn)和f′(x)=0的點(diǎn); (3)列表:依極值嫌疑點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間,列出f′(x)與f(x)隨x變化的一覽表; (4)求極值:依(3)的表中所反應(yīng)的相關(guān)信息,求出f(x)的極值點(diǎn)和極值; (5)求區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值; (6)求最值:比較極值嫌疑點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值后,得出函數(shù)f(x
2、)在其定義域內(nèi)的最大值和最小值. 類(lèi)型一 由極值與最值關(guān)系求參數(shù)范圍 例1 若函數(shù)f(x)=3x-x3在區(qū)間(a2-12,a)上有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-1,) B.(-1,4) C.(-1,2] D.(-1,2) 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍 題點(diǎn) 最值存在性問(wèn)題 答案 C 解析 由f′(x)=3-3x2=0,得x=±1. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ -2 ↗ 2 ↘
3、
由此得a2-12<-1
4、f′(1)>0,即-6b<0,且(3-6b)>0,
∴0
5、-2=(3x+2)(x-1),令f′(x)=0,得x=-或x=1,
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,(1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由(1)知,f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],
當(dāng)x=-時(shí),f?=+c為極大值,
因?yàn)閒(2)=2+c,所以f(2)=2+c為最大值.
要使f(x) 6、故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(-∞,-1)∪(2,+∞).
引申探究
若本例中條件不變,“把(2)中對(duì)x∈[-1,2],不等式f(x) 7、)=-x2+ax-3對(duì)一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成立,則a的取值范圍是________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
答案 (-∞,4]
解析 由2xln x≥-x2+ax-3,
得a≤2ln x+x+.
設(shè)h(x)=2ln x++x(x>0).
則h′(x)=,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
∴h(x)min=h(1)=4.
∴a≤4.
(2)設(shè)L為曲線(xiàn)C:y=在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn).
①求L的方程;
②證明:除切點(diǎn) 8、(1,0)之外,曲線(xiàn)C在直線(xiàn)L的下方.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 恒成立中的證明問(wèn)題
①解 設(shè)f(x)=,
則f′(x)=,
所以f′(1)=1,所以L(fǎng)的方程為y=x-1.
②證明 設(shè)g(x)=x-1-f(x),除切點(diǎn)外,曲線(xiàn)C在直線(xiàn)L的下方等價(jià)于?x>0且x≠1,g(x)>0.
g(x)滿(mǎn)足g(1)=0,且g′(x)=1-f′(x)=.
當(dāng)0 9、?x>0且x≠1,g(x)>g(1)=0.
所以除切點(diǎn)外,曲線(xiàn)C在直線(xiàn)L的下方.
1.函數(shù)f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最大值是( )
A.0 B. C. D.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 B
解析 f′(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x),
∴當(dāng)0≤x≤1時(shí),f′(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)1≤x≤4時(shí),f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)max=f(1)=.故選B.
2.函數(shù)f(x)=xln x的最小值為( )
A.e2 B.-e
C.-e-1 D.-
考點(diǎn) 10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 C
解析 ∵f(x)=xln x,定義域是(0,+∞),
∴f′(x)=1+ln x,
令f′(x)>0,解得x>,
令f′(x)<0,解得0 11、=ex-1,
令f′(x)>0,解得x>0,
令f′(x)<0,解得x<0,
故f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故f(x)min=f(0)=1+a,
若f(x)>0恒成立,
則1+a>0,解得a>-1,故選A.
4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,x1,x2是區(qū)間[-1,1]上任意兩個(gè)值,M≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,則M的最小值是________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
答案 4
解析 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
當(dāng)-1≤x<0時(shí),f′(x)>0,f(x) 12、單調(diào)遞增,
當(dāng)0 13、≥-2c2恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立中參數(shù)的取值范圍
解 (1)由f(x)在x=1處取得極值-3-c知f(1)=b-c=-3-c,得b=-3.
又f′(x)=4ax3ln x+ax4·+4bx3
=x3(4aln x+a+4b),
由f′(1)=0,得a+4b=0,a=-4b=12.
(2)由(1)知f′(x)=48x3ln x(x>0).
令f′(x)=0,得x=1.
當(dāng)0 14、,單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).
(3)由(2)知f(1)=-3-c既是極小值,也是(0,+∞)內(nèi)的最小值,要使f(x)≥-2c2(x>0)恒成立,只需-3-c≥-2c2,即2c2-c-3≥0.
從而(2c-3)(c+1)≥0,解得c≥或c≤-1.
故實(shí)數(shù)c的取值范圍為(-∞,-1]∪.
1.若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)存在最值,則極值點(diǎn)必落在已知區(qū)間內(nèi).
2.已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍:一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題求解;若不能分離,則構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=x3-px2-qx的圖象與x軸切于(1, 15、0)點(diǎn),則f(x)在[-1,1]上的最大值、最小值分別為( )
A.0,-4 B.,-4
C.,0 D.2,0
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 B
解析 由題意得
即得
則f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1,
令f′(x)=0得x=1或x=,
由f?=,f(-1)=-4,f(1)=0,
∴f(x)max=,f(x)min=-4.
2.已知a,b為正實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值為4,則f(x)在[-1,0]上的最小值為( )
A.0 B.
C.-2 D.2
16、考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 A
解析 因?yàn)閍,b為正實(shí)數(shù),
所以f(x)=ax3+bx+2是增函數(shù),
函數(shù)f(x)=ax3+bx+2在[0,1]上的最大值f(1)=a+b+2=4,a+b=2.
在[-1,0]上的最小值為f(-1)=-(a+b)+2=0.
3.若關(guān)于x的不等式x3-3x+3+a≤0恒成立,其中-2≤x≤3,則實(shí)數(shù)a的最大值為( )
A.1 B.-1
C.-5 D.-21
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 D
解析 若關(guān)于x的不等式x3-3x+3+a≤ 17、0恒成立,
則a≤-x3+3x-3在[-2,3]上恒成立,
令f(x)=-x3+3x-3,x∈[-2,3],
則f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1),
令f′(x)>0,解得-1 18、 D.(e+1,+∞)
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 A
解析 當(dāng)x∈(0,3)時(shí),關(guān)于x的不等式ex-x-2mx>0恒成立,
即為2m+1<在(0,3)上的最小值,
令f(x)=,則f′(x)=,
當(dāng)0 19、.(-3,0) D.[-3,0]
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
答案 D
解析 ∵f(x)=-x3-3x2+1,
∴f′(x)=-3x2-6x,
令f′(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,
解得x=0或x=-3.
當(dāng)x>0時(shí),f(x) 20、>f(-3)=1,
又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值為1,
∴a的取值范圍為[-3,0].
6.關(guān)于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的命題:
①f(x)>0的解集是{x|0 21、
f′(x)=(2-2x)ex+(2x-x2)ex=(2-x2)ex,
令f′(x)=0,得x=-或x=.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
所以f(-)是極小值,f()是極大值,②正確.
③由圖象(圖略)知f()為最大值,無(wú)最小值,③錯(cuò)誤.
7.若函數(shù)f(x)=x3-3x在(a,6-a2)上有最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-,-1) B.(-,-1]
C.(-,-2) D.(-,-2 22、]
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 最值存在性問(wèn)題
答案 D
解析 由題意知f(x)=x3-3x,
所以f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
當(dāng)x<-1或x>1時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)-1 23、案 [-4,-2]
解析 f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,得x=.
由題意得∈[-2,-1],故m∈[-4,-2].
9.已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若函數(shù)f(x)=ex的圖象始終在函數(shù)g(x)=x-a圖象的上方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 (-1,+∞)
解析 由題意知f(x)-g(x)=ex-x+a>0,對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,
令h(x)=ex-x+a,則h(x)min>0,
∵h(yuǎn)′(x)=ex-1,
令h′(x)=0得x=0,
當(dāng)x<0時(shí),h′(x)<0,則h(x) 24、在(-∞,0)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,則h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x=0時(shí),h(x)取得極小值,即最小值為h(0)=1+a,
∴1+a>0,即a>-1.
10.已知函數(shù)f(x)=ax3-3x+1,且對(duì)任意x∈(0,1],f(x)≥0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
答案 [4,+∞)
解析 當(dāng)x∈(0,1]時(shí),不等式ax3-3x+1≥0可化為a≥.
設(shè)g(x)=,x∈(0,1],
則g′(x)==-.
令g′(x)=0,得x=.
當(dāng)x變化時(shí),g 25、′(x),g(x)的變化情況如下表:
x
g′(x)
+
0
-
g(x)
↗
極大值
↘
因此g(x)的最大值等于極大值g=4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4,+∞).
11.已知函數(shù)f(x)=ax-ln x,g(x)=ex-ax,其中a為正實(shí)數(shù),若f(x)在(1,+∞)上無(wú)最小值,且g(x)在(1,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 最值存在性問(wèn)題
答案 [1,e]
解析 ∵f(x)=ax-ln x(x>0),
∴f′(x)=a-=,
若f(x)在(1,+∞)上無(wú)最小值,
26、則f(x)在(1,+∞)上單調(diào),
∴f′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
或f′(x)≤0在(1,+∞)上恒成立,
∴a≥或a≤,而函數(shù)y=在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y取得最大值1,
∴a≥1或a≤0,而a為正實(shí)數(shù),故a≥1,①
又∵g(x)=ex-ax,∴g′(x)=ex-a,
∵函數(shù)g(x)=ex-ax在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴g′(x)=ex-a≥0在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
∴a≤(ex)min在區(qū)間(1,+∞)上恒成立.
而ex>e,∴a≤e.②
綜合①②,a∈[1,e].
三、解答題
12.已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+b 27、x+c(a,b,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,試求a,b的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,6]時(shí),f(x)<2|c|恒成立,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
解 (1)f′(x)=3x2-2ax+b,
∵函數(shù)f(x)在x=-1和x=3處取得極值,
∴-1,3是方程3x2-2ax+b=0的兩根.
∴∴
(2)由(1)知f(x)=x3-3x2-9x+c,
令f′(x)=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
28、
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
而f(-1)=c+5,f(3)=c-27,f(-2)=c-2,
f(6)=c+54,
∴當(dāng)x∈[-2,6]時(shí),f(x)的最大值為c+54,
要使f(x)<2|c|恒成立,只需c+54<2|c|.
當(dāng)c≥0時(shí),c+54<2c,∴c>54;
當(dāng)c<0時(shí),c+54<-2c,∴c<-18.
故實(shí)數(shù)c的取值范圍是(-∞,-18)∪(54,+∞).
13.已知函數(shù)f(x)=,若當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)≥恒成立,求a的取值 29、范圍.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求恒成立問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍
解 f′(x)=
=.
當(dāng)a=0時(shí),令f′(x)=0,得x=1.
在(0,1)上,有f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在(1,2)上,有f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.
又f(0)=0,f(2)=,故函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=0,結(jié)論不成立.
當(dāng)a≠0時(shí),令f′(x)=0,得x1=1,x2=1-.
若a<0,則f(0)=a<0,結(jié)論不成立.
若00,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;在(1,2)上,有f′(x)<0,函數(shù)f(x 30、)單調(diào)遞減.
只需得到
所以≤a≤1.
若a>1,則0<1-<1,函數(shù)在x=1-處有極小值,
只需得到
因?yàn)?a-1>1,<1,所以a>1.
綜上所述,a的取值范圍是a≥.
四、探究與拓展
14.設(shè)直線(xiàn)x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=ln x的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小時(shí)t的值為( )
A.1 B. C. D.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 D
解析 由題意畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示,
由圖可以看出|MN|=y(tǒng)=t2-ln t(t>0).
y′=2t-==.
當(dāng)0 31、調(diào)遞減;
當(dāng)t>時(shí),y′>0,可知y在上單調(diào)遞增.
故當(dāng)t=時(shí),|MN|有極小值也是最小值.
15.已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
解 (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
若a>0,則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0.
所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無(wú)最大值;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=處取得極大值且為最大值,最大值為f?=ln+a=-ln a+a-1.
因此f?>2a-2等價(jià)于ln a+a-1<0.
令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0.
于是,當(dāng)01時(shí),g(a)>0.
因此,a的取值范圍是(0,1).
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