41、2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，這兩式不能同時(shí)成立，∴ B≠{－2}；
③ 若B＝{－1，－2}，則應(yīng)有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由這兩式得m＝2.
經(jīng)檢驗(yàn)知m＝1和m＝2符合條件．
∴ m的值是1或2.
4. 某校高一年級(jí)舉行語、數(shù)、英三科競(jìng)賽，高一(2)班共有32名 同學(xué)參加三科競(jìng)賽，有16人參加語文競(jìng)賽，有10人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有16人參加英語競(jìng)賽，同時(shí)參加語文和數(shù)
學(xué)競(jìng)賽的有3人，同時(shí)參加語文和英語競(jìng)賽的有3人，沒有人同時(shí)參加全部三科競(jìng)賽，問：同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語競(jìng)賽的有多少人？只參加語文一科競(jìng)賽的有多少人？
解：設(shè)所有參加
42、語文競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用A表示，所有參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用B表示，所有參加英語競(jìng)賽的同學(xué)組成的集合用C表示，設(shè)只參加語文競(jìng)賽的有x人，只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有y人，只參加英語競(jìng)賽的有z人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語競(jìng)賽的有m人．根據(jù)題意，可作出如圖所示Venn圖，
則有
解得
答：同時(shí)參加數(shù)學(xué)和英語競(jìng)賽的有4人，只參加語文一科競(jìng)賽的有10人．
1. 集合的運(yùn)算結(jié)果仍然是集合．進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)應(yīng)當(dāng)注意：
(1) 勿忘對(duì)空集情形的討論；
(2) 勿忘集合中元素的互異性；
(3) 對(duì)于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算，勿忘A必須是全集的子集；
(4) 已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)或參數(shù)范圍時(shí)，關(guān)鍵是將
43、兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系．解決這類問題常常需要合理利用數(shù)軸、Venn圖化抽象為直觀．還要注意“回代檢驗(yàn)”，從而對(duì)所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍．
2. 在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”
(1) 意義化：首先明確集合的元素的意義，它是怎樣類型的對(duì)象(數(shù)集、點(diǎn)集，圖形等)？是表示函數(shù)的定義域、值域，還是表示方程或不等式的解集？
(2) 具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)形式．
(3) 直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來，從而借助數(shù)形結(jié)合思想解決
44、問題．
[備課札記]
第3課時(shí) 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(文)、(理)6～8頁)
了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義；理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的含義；了解全稱量詞與存在量詞的意義；了解含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義．
① 會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系.
② 會(huì)判斷必要條件、充分條件與充要條件.
③ 能用“或”“且”“非”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容(真值表不作要求).
④ 能用全稱量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容.
⑤ 能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．
45、
1. 寫出命題“若a＝0，則ab＝0”的逆否命題：________________________________________________________________________.
答案：若ab≠0，則a≠0
2. 原命題“設(shè)a，b，c∈R，若ac2>bc2，則a>b”的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有________個(gè)．
答案：1
3. (改編題)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的____________條件．
答案：充分不必要
解析：a＝3時(shí)，A＝{1，3}，顯然A?B.但A?B時(shí)，a＝2或3.所以a＝3是A?B的充分
46、不必要條件．
4. (改編題)函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1 對(duì)稱的充要條件是____________．
答案：m＝－2
解析：已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則m＝－2；反之也成立．所以函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱的充要條件是m＝－2.
5. (改編題)已知命題p：?x∈R，x2＋x－1＜0，則綈p為__________．
答案：?x∈R，x2＋x－1≥0
解析：含有存在量詞的命題的否定，需將存在量詞改為全稱量詞，并將結(jié)論否定，即綈p：?x∈R，x2＋x－1≥0.
1. 四種命題及其關(guān)系
(1) 四種命題
47、
① 如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題互為逆命題；
② 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，這個(gè)命題叫做原命題的否命題；
③ 如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，那么這兩個(gè)命題互為逆否命題，這個(gè)命題叫做原命題的逆否命題．
命題
表述形式
原命題
若p，則q
逆命題
若q，則p
否命題
若非p，則非q
逆否命題
若非q，則非p
(2) 四種命題間的逆否關(guān)系
(3) 四種命題的真假關(guān)系
兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
48、兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．
2. 充分條件與必要條件
(1) 如果p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件．
(2) 如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充要條件，記作p?q.
(3) 如果p?q，q__p，那么稱p是q的充分不必要條件．
(4) 如果q?p，p__q，那么稱p是q的必要不充分條件．
(5) 如果p?/ q，且q?/ p，那么稱p是q的既不充分也不必要條件．
3. 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
(1) “或”“且”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞．
① 或：兩個(gè)簡(jiǎn)單命題至少一個(gè)成立.
② 且：兩個(gè)簡(jiǎn)單命題都成立.
③ 非：對(duì)一個(gè)命題的否定．
49、
(2) 用聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∧q，讀作“p且q”．
(3) 用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)命題p和命題q，記作p∨q，讀作“p或q”．
(4) 一個(gè)命題p的否定記作綈p，讀作“非p”或“p的否定”．
(5) 命題p∧q，p∨q，綈p的真假判斷
p∧q中p，q有一假為假，p∨q中p，q有一真為真，p與非p必定是一真一假．
4. 全稱量詞與存在量詞
(1) 全稱量詞與全稱命題
短語“所有”“任意”“每一個(gè)”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，并用符號(hào)“?x”表示“對(duì)任意x”．
含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題．
全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，都有p(x)成立”可用符號(hào)
50、簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)，讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”．
(2) 存在量詞與存在性命題
短語“有一個(gè)”“有些”“存在一個(gè)”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，并用符號(hào)“?x”表示“存在x”．
含有存在量詞的命題，叫做存在性命題．
存在性命題“M中存在一個(gè)x，使p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為?x∈M，p(x)，讀作“存在一個(gè)x屬于M，使p(x)成立”．
5. 含有一個(gè)量詞的命題的否定
命題
命題的否定
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
?x∈M，p(x)
?x∈M，綈p(x)
[備課札記]
51、
, 1 四種命題及其相互關(guān)系)
, 1) (1) 命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為______________；
(2) (2018·溧陽中學(xué)摸底)命題“?x<0，有x2>0”的否定是________________．
(3) 命題“若x2＋x－m＝0沒有實(shí)根，則m≤0”是________命題．(選填“真”或“假”)
答案：(1) 若a≤b，則2a≤2b－1 (2) ?x<0，有x2≤0 (3) 真
解析：(3) 很可能許多同學(xué)會(huì)認(rèn)為它是假命題(原因m＝0時(shí)顯然方程有
52、根)，其實(shí)不然，由x2＋x－m＝0沒有實(shí)根可推得m<－，而是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命題為真．其實(shí)，用逆否命題很容易判斷它是真命題．
【精要點(diǎn)評(píng)】 本題考查了命題間的關(guān)系，由原命題寫出其否命題、逆否命題．原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假．
變式訓(xùn)練
下列命題中不是真命題的是__________．(填序號(hào))
① “若ab＝0，則a＝0或b＝0”的逆命題；
② “若x2＋y2≠0，則x, y不全為零”的否命題；
③ “?x∈R，使x2＋1>3x”的否定；
④ “若m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題．
答案：③
解析：①中命題的逆
53、命題為若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題，故①正確；②中命題的否命題為若x2＋y2＝0，則x，y全為零，為真命題，故②正確；③中命題的否定為?x∈R，使x2－3x＋1≤0 ，因?yàn)棣ぃ?－3)2－4＝5>0，故③錯(cuò)誤；④中命題x2＋x－m＝0有實(shí)根?Δ＝1＋4m≥0?m≥－?若m>0，則x2＋x－m＝0有實(shí)根為真命題?其逆否命題也為真命題，故④正確．故填③.
命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆否命題是____________________________________．
答案：若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)
解析：由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x，y不都
54、是偶數(shù)”，“x＋y是偶數(shù)”的否定表達(dá)是“x＋y不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”., 2 充分條件和必要條件)
●典型示例
, 2) 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【思維導(dǎo)圖】 對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)→將條件間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系→利用集合間的關(guān)系列出關(guān)于m的不等式→求出實(shí)數(shù)m的范圍
【規(guī)范解答】 解： 化簡(jiǎn)集合A，由y＝x2－x＋1配方得y＝＋.
∵ x∈，∴ ymin＝，ymax＝2.∴ y∈.∴ A＝.
化簡(jiǎn)集合B，由x＋m2
55、≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵ 命題p是命題q的充分條件，∴ A?B.∴ 1－m2≤，解得m≥或m≤－.
∴ 實(shí)數(shù)m的取值范圍是∪.
【精要點(diǎn)評(píng)】 本例涉及參數(shù)問題，直接解決較為困難，先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜、生疏的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問題來解決．一般地，在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問題中，常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來考慮，這是破解此類問題的關(guān)鍵．
●總結(jié)歸納
充要關(guān)系的幾種判斷方法
(1) 定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假．
(2) 等價(jià)法：即利用A?B與綈B?綈A；B?A與綈A?綈B；A?B與綈B?綈A的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定
56、形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．
(3) 利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A?B，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若A＝B，則p是q的充要條件．
●題組練透
1. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解”的______________(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．
答案：充分不必要
解析：x2＋x＋m＝0有實(shí)數(shù)解等價(jià)于Δ＝1－4m≥0，即m≤.
2. 已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是____________．
答案：
57、(2，＋∞)
解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要條件，所以k＞2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2，＋∞)．
3. 設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝__________．
答案：3或4
解析：已知方程有根，由判別式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐個(gè)分析，當(dāng)n＝1，2時(shí)，方程沒有整數(shù)根；而當(dāng)n＝3時(shí)，方程有整數(shù)根1，3；當(dāng)n＝4時(shí)，方程有整數(shù)根2.
4. 若命題p：?x∈R，使x2＋ax＋1＜0，則綈p：__________________．
答案：?x∈R，使x2＋ax＋1≥0
解析：存在性命題的
58、否定需要將存在量詞?改為全稱量詞?，并且將命題的結(jié)論進(jìn)行否定．所以命題“?x∈R，使x2＋ax＋1＜0”的否定是“?x∈R，使x2＋ax＋1≥0”．
, 3 邏輯聯(lián)結(jié)詞)
, 3) 已知p：?x∈R，mx2＋1≤0，q：?x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．
答案：[2，＋∞)
解析：依題意知，p，q均為假命題．當(dāng)p是假命題時(shí)，mx2＋1>0恒成立，則有m≥0；當(dāng)q是假命題時(shí)，則有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均為假命題得即m≥2.
變式訓(xùn)練
已知命題p：“?x∈[0
59、，1]，a≥ex”；命題q：“?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命題“p∧q”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：[e，4]
解析：若命題“p∧q”是真命題，那么命題p，q都是真命題．由?x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
已知命題p：|x2－x|≥6，q：x∈Z，若“p∧q”與“綈q”都是假命題，求x的值．
解：∵ 綈q假，∴ q真．又p∧q假，∴ p假．
∴ 即∴
∴ x＝－1，0，1，2.
, 4 全稱命題與存在性命題)
, 4
60、) 已知命題p：“?x∈R，?m∈R，使4x－2x＋1＋m＝0”．若命題綈p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案：(－∞，1]
解析：命題綈p是假命題，即命題p是真命題，由4x－2x＋1＋m＝0得m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以當(dāng)x∈R時(shí)f(x)≤1，因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤1.
若命題“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案：[－4，0]
解析：“?x∈R，有x2－mx－m<0”是假命題，則“?x∈R，有x2－mx－m≥0”是真命題，即Δ＝m2
61、＋4m≤0，∴ －4≤m≤0.
1. 已知命題p：?x∈R，使ax2＋2x＋1<0.當(dāng)綈p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：{a|a≥1}
解析：綈p：?x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命題為真命題，則即a≥1，從而所求a的取值范圍是{a|a≥1}．
2. (2016·全國Ⅰ卷)命題“?x∈R，2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
答案：[－2，2]
解析：因題中的命題為假命題，則它的否定“?x∈R，2x2－3ax＋9≥0”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，因此只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－
62、2≤a≤2.
3. (2018·衡水中學(xué)周測(cè))設(shè)p：≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
答案：
解析：因?yàn)閜：≤x<1，q：a2x；命題q：?x∈(－∞，0)，3x>2x，則下列命題為真命題的是________．(填序號(hào))
① p∧q；② p∧(綈q)；③ (綈p)∧q；④ (綈p)∧(綈q)．
答案：②
解析：?x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命題p為真命題；?x∈(－∞，0)，3x<2x
63、，所以命題q為假命題，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)為假命題，p∧(綈q)為真命題，填②.
點(diǎn)睛：若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判斷即可．
5. (2017·溧陽中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)＝＋ex，則x1＋x2>0是f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案：充要
解析：當(dāng)x>0時(shí)， y＝＝1－，易知y＝在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又y＝是奇函數(shù)，∴ 函數(shù)f
64、(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．
先證充分性：
∵ x1＋x2>0，∴ x1>－x2，又f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，∴ f(x1)>f(－x2)，同理：f(x2)>f(－x1)，故f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)．充分性證畢．
再證必要性：
記g(x)＝f(x)－f(－x)，由f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，可知f(－x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，∴ g(x)＝f(x)－f(－x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．
由f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)，可得f(x1)－f(－x1)>f(－x2)－f(x2)，
65、即g(x1)>g(－x2)，
∴ x1>－x2，x1＋x2>0.必要性證畢．
1. “b＝c＝0”是“二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)”的________條件．
答案：充分不必要
解析：若b＝c＝0，則二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c＝ax2經(jīng)過原點(diǎn)；若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c過原點(diǎn)，則c＝0.
2. 已知命題p：x2－5x＋6≥0；命題q：0
66、足條件的實(shí)數(shù)x的范圍是(－∞，0]∪[4，＋∞)．
3. (2018·濟(jì)南一中期初)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要條件是0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
答案：[3，8)
解析：因?yàn)閜(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是3≤m<8.
1. 在判斷四個(gè)命題間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性與等價(jià)性，判斷四種命題真假的關(guān)鍵是熟悉四種命題的概念與互為逆否命題是等價(jià)的，即“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”，而互逆命題、互否命題是不等價(jià)的，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，通常可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假；而判斷一個(gè)命題為假命題只需舉出反例即可．
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點(diǎn)過關(guān) 第一章 集合與常用邏輯用語學(xué)案
