（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何學(xué)案

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1、 第七章 立體幾何 第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖與直觀圖 1．簡(jiǎn)單幾何體 (1)多面體的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 棱柱 棱錐 棱臺(tái) 圖形 底面 互相平行且相等 多邊形 互相平行 側(cè)棱 平行且相等 相交于一點(diǎn)，但不一定相等 延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)側(cè)面 形狀 平行四邊形 三角形 梯形 (2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征 名稱(chēng) 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 圖形 母線(xiàn) 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一點(diǎn) 延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn) 軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 側(cè)面展開(kāi)圖 矩形 扇形 扇環(huán)

2、 2．直觀圖 (1)畫(huà)法：常用斜二測(cè)畫(huà)法． (2)規(guī)則： ①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直． ②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線(xiàn)段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半． 3．三視圖 (1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線(xiàn)． (2)三視圖的畫(huà)法 ①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等． ②畫(huà)法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬；看不到的線(xiàn)

3、畫(huà)虛線(xiàn)． [小題體驗(yàn)] 1．若一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示，其俯視圖為正三角形，則這個(gè)三棱柱的高和底面邊長(zhǎng)分別為(　　) A．2,2　　　　　　　 B．2，2 C．4,2 D．2,4 解析：選D　由三視圖可知，正三棱柱的高為2，底面正三角形的高為2，故底面邊長(zhǎng)為4，故選D. 2．(教材習(xí)題改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD -A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是________，截去的幾何體是______． 答案：五棱柱　三棱柱 1．臺(tái)體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)． 2．空間幾何體不同放置時(shí)其三視

4、圖不一定相同． 3．對(duì)于簡(jiǎn)單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn)，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線(xiàn)的畫(huà)法． [小題糾偏] 1.如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是(　　) A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4 B．A1B1＝1, AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1 解析：選C　根據(jù)棱臺(tái)是由棱錐截成的，可知＝＝，故A，B不正確，C正確；D項(xiàng)中滿(mǎn)足這個(gè)條件的是一個(gè)三棱柱，不是三棱臺(tái)，故D不正確． 2．用一個(gè)平

5、行于水平面的平面去截球，得到如圖所示的幾何體，則它的俯視圖是(　　) 解析：選B　俯視圖中顯然應(yīng)有一個(gè)被遮擋的圓，所以?xún)?nèi)圓是虛線(xiàn)，故選B. 3．(教材習(xí)題改編)利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的 ①三角形的直觀圖一定是三角形； ②正方形的直觀圖一定是菱形； ③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形； ④菱形的直觀圖一定是菱形． 以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________． 解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不一定是菱形，④也錯(cuò)誤． 答案：1 [題組練透] 1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截

6、面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是(　　) A．圓柱　　　　　　　　　 B．圓錐 C．球體 D．圓柱、圓錐、球體的組合體 解析：選C　截面是任意的且都是圓面，則該幾何體為球體． 2．給出下列幾個(gè)命題： ①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn)；②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選B?、俨灰欢ǎ挥羞@兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn)；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延

7、長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等． 3．給出下列命題： ①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形； ②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直； ③在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體． 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線(xiàn)平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的

8、三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形． 答案：②③④ [謹(jǐn)記通法] 解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的3個(gè)技巧 (1)把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，要多觀察實(shí)物，提高空間想象能力； (2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型； (3)通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析． [典例引領(lǐng)] 1．(2018·東北四市聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，則三棱錐P-A1B1A的側(cè)視圖為(　　) 解析：選D　如圖，畫(huà)出原正方體的側(cè)視圖，顯然對(duì)于三棱錐P-A1B1A，B(C)點(diǎn)均消失了，其余各點(diǎn)均在，從而其側(cè)視圖為D.

9、 2．(2018·杭州模擬)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，那么該三棱錐的側(cè)視圖可能為(　　) 解析：選B　由正視圖可看出長(zhǎng)為2的側(cè)棱垂直于底面，側(cè)視圖為直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，另一直角邊為底邊三角形的高.故側(cè)視圖可能為B. [由題悟法] 1．已知幾何體，識(shí)別三視圖的技巧 已知幾何體畫(huà)三視圖時(shí)，可先找出各個(gè)頂點(diǎn)在投影面上的投影，然后再確定線(xiàn)在投影面上的實(shí)虛． 2．已知三視圖，判斷幾何體的技巧 (1)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的三視圖要熟悉． (2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖． (3)遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等

10、”的原則． [提醒]　對(duì)于簡(jiǎn)單組合體的三視圖，應(yīng)注意它們的交線(xiàn)的位置，區(qū)分好實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)的不同． [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體．它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘 (方蓋)．其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線(xiàn)．當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是(　　) 解析：選B　根據(jù)直觀圖以及圖中的輔助四邊形分析可知，當(dāng)正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，俯視圖為B，故選B. 2．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該

11、幾何體的直觀圖可以是(　　) 解析：選D　由俯視圖是圓環(huán)可排除A、B、C，進(jìn)一步將已知三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng)D. [典例引領(lǐng)] (2018·杭州模擬)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線(xiàn)為x軸，則由斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______． 解析：畫(huà)出等腰梯形ABCD的實(shí)際圖形及直觀圖A′B′C′D′如圖所示，因?yàn)镺E＝＝1， 所以O(shè)′E′＝，E′F′＝. 所以直觀圖A′B′C′D′的面積為 S′＝×(1＋3)×＝. 答案： [由題悟法] 原圖與直觀圖中的“三變”與“三不變” (1)“

12、三變” (2)“三不變” [即時(shí)應(yīng)用] 如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是(　　) A．正方形　　　　　　 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四邊形 解析：選C　如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝＝＝6 cm， ∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形． 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是(　　) 解析：選D　幾何體的正視圖和側(cè)視圖完

13、全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長(zhǎng)度相等，只有等邊三角形不可能． 2．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．棱柱的兩個(gè)底面是全等的正多邊形 B．平行于棱柱側(cè)棱的截面是矩形 C．{直棱柱}?{正棱柱} D．{正四面體}?{正三棱錐} 解析：選D　因?yàn)檫x項(xiàng)A中兩個(gè)底面全等，但不一定是正多邊形；選項(xiàng)B中一般的棱柱不能保證側(cè)棱與底面垂直，即截面是平行四邊形，但不一定是矩形；選項(xiàng)C中{正棱柱}?{直棱柱}，故A、B、C都錯(cuò)；選項(xiàng)D中，正四面體是各條棱均相等的正三棱錐，故正確． 3．某幾何體的三視圖如圖所示，那么這個(gè)幾何體是(　　) A．三棱錐　　　　　　 B．四棱錐 C．四棱臺(tái) D．三

14、棱臺(tái) 解析：選A　因?yàn)檎晥D和側(cè)視圖都為三角形，可知幾何體為錐體，又因?yàn)楦┮晥D為三角形，故該幾何體為三棱錐． 4.在如圖所示的直觀圖中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長(zhǎng)為2 cm，則在直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO的形狀為_(kāi)_______，面積為_(kāi)_______cm2. 解析：由斜二測(cè)畫(huà)法的特點(diǎn)知該平面圖形是一個(gè)長(zhǎng)為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2. 答案：矩形　8 5.已知某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是矩形，俯視圖是正方形，在該幾何體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的幾何體的形狀給出下列命題：①矩形；②有三個(gè)

15、面為直角三角形，有一個(gè)面為等腰三角形的四面體；③兩個(gè)面都是等腰直角三角形的四面體．其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體是正四棱柱，作出其直觀圖，ABCD-A1B1C1D1，如圖，當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B1，B，C，C1時(shí)，可知①正確；當(dāng)選擇的4個(gè)點(diǎn)是B，A，B1，C時(shí)，可知②正確；易知③不正確． 答案：①② 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．(2018·臺(tái)州模擬)一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖不可能為(　　) A．正方形 B．圓 C．等腰三角形 D．直角梯形 解析：選D　該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，其中一個(gè)側(cè)面為正方形，A可

16、能；該幾何體是一個(gè)橫放的圓柱時(shí)，B可能；該幾何體是橫放的三棱柱時(shí)，C可能，只有D不可能． 2．如圖所示是水平放置三角形的直觀圖，點(diǎn)D是△ABC的BC邊中點(diǎn)，AB，BC分別與y′軸、x′軸平行，則三條線(xiàn)段AB，AD，AC中(　　) A．最長(zhǎng)的是AB，最短的是AC B．最長(zhǎng)的是AC，最短的是AB C．最長(zhǎng)的是AB，最短的是AD D．最長(zhǎng)的是AC，最短的是AD 解析：選B　由條件知，原平面圖形中AB⊥BC，從而AB＜AD＜AC. 3．(2018·沈陽(yáng)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)凸多面體的三視圖(兩個(gè)矩形，一個(gè)直角三角形)，則這個(gè)幾何體可能為(　　

17、) A．三棱臺(tái) B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱錐 解析：選B　根據(jù)三視圖的法則：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等，可得幾何體如圖所示，這是一個(gè)三棱柱． 4.(2018·溫州第八高中質(zhì)檢)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1，正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖面積為(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．2 C．2 D. 解析：選B　由題可得，該幾何體的側(cè)視圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，其底邊長(zhǎng)是底面正三角形的高，高為2，所以側(cè)視圖的面積為S＝2. 5．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P-ABCD的四個(gè)側(cè)面中面積最

18、大的是(　　) A．3 B．2 C．6 D．8 解析：選C　四棱錐如圖所示，取AD的中點(diǎn)N，BC的中點(diǎn)M，連接PM，PN，則PM＝3，PN＝，S△PAD＝×4×＝2， S△PAB＝S△PDC＝×2×3＝3， S△PBC＝×4×3＝6. 所以四個(gè)側(cè)面中面積最大的是6. 6.(2018·臺(tái)州模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為棱BB1的中點(diǎn)，若用過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為(　　) 解析：選C　取DD1的中點(diǎn)F，連接AF，F(xiàn)C1，則過(guò)點(diǎn)A，E，C1的平面即為面AEC1F，所以剩余幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C.

19、 7．設(shè)有以下四個(gè)命題： ①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體； ②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體； ③直四棱柱是直平行六面體； ④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)． 其中真命題的序號(hào)是________． 解析：命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，故命題②是錯(cuò)誤的；因?yàn)橹彼睦庵牡酌娌灰欢ㄊ瞧叫兴倪呅?，故命題③是錯(cuò)誤的；命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的． 答案：①④ 8．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線(xiàn)長(zhǎng)為12 cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______cm. 解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作

20、AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C. 在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)． ∴AB＝＝13(cm)． 答案：13 9．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，圖①、圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖． 從圖②可知，A′B′＝AB＝2， O′C′＝OC＝， C′D′＝O′C′sin 45°＝×＝. 所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝. 答案： 10．已知正三棱錐V -ABC的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖如圖所示． (1)畫(huà)出該三棱錐的直觀圖； (2)求出側(cè)視圖的面積． 解

21、：(1)直觀圖如圖所示． (2)根據(jù)三視圖間的關(guān)系可得BC＝2， ∴側(cè)視圖中VA＝ ＝2， ∴S△VBC＝×2×2＝6. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．用若干塊相同的小正方體搭成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖如圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數(shù)是(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 解析：選C　畫(huà)出直觀圖，共六塊． 2．(2018·湖南東部六校聯(lián)考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的四個(gè)面的面積中，最大的面積是(　　) A．4 B．8 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)該三棱錐為P-ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，則由三視圖

22、可知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，故PB＝PC＝4，所以S△ABC＝×4×2＝4，S△PAB＝S△PAC＝×4×4＝8，S△PBC＝×4×＝4，故四個(gè)面中面積最大的為S△PBC＝4，選C. 3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，下圖為該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖，它們是腰長(zhǎng)為6 cm 的全等的等腰直角三角形． (1)根據(jù)圖中所給的正視圖、側(cè)視圖，畫(huà)出相應(yīng)的俯視圖，并求出該俯視圖的面積； (2)求PA. 解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內(nèi)含對(duì)角線(xiàn))邊長(zhǎng)為6 cm的正方形，如圖，其面積為36 cm2. (2)由側(cè)視圖可求得PD＝＝＝6. 由正視圖可知A

23、D＝6， 且AD⊥PD， 所以在Rt△APD中， PA＝＝ ＝6 cm. 第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積 1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開(kāi)圖 側(cè)面積公式 S圓柱側(cè)＝2πrl S圓錐側(cè)＝πrl S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l 2．空間幾何體的表面積與體積公式 名稱(chēng) 幾何體　　 表面積 體積 柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側(cè)＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側(cè)＋S底 V＝Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4

24、πR2 V＝πR3 [小題體驗(yàn)] 1．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．20π　　　 B．24π　　　　 C．28π　　　　 D．32π 解析：選C　由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π. 2．(教材習(xí)題改編)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______． 解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊

25、為2，高為的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝×3＝3. 答案：3 3．若球O的表面積為4π，則該球的體積為_(kāi)_______． 解析：由題可得，設(shè)該球的半徑為r，則其表面積為S＝4πr2＝4π，解得r＝1.所以其體積為V＝πr3＝π. 答案：π 1．求組合體的表面積時(shí)，組合體的銜接部分的面積問(wèn)題易出錯(cuò)． 2．由三視圖計(jì)算幾何體的表面積與體積時(shí)，由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)易導(dǎo)致失誤． 3．易混側(cè)面積與表面積的概念． [小題糾偏] 1．(教材習(xí)題改編)圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱體積之比為_(kāi)__

26、_____，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之比為_(kāi)_______． 答案：2∶3　1∶1 2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是________． 解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)正四棱柱和一個(gè)棱臺(tái)組成，其表面積S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2×2＋4×6＋×(2＋6)×2×2＝72＋16. 答案：72＋16 [題組練透] 1.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 解析：選B　由三視圖知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長(zhǎng)為＝，所以底面

27、周長(zhǎng)為4＋，側(cè)面積為2×(4＋)＝8＋2，兩底面的面積和為2××1×(1＋2)＝3，所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. 2．(2018·浙江新高考聯(lián)盟高三期初聯(lián)考)如圖是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的表面積等于(　　) A．34＋6　　　　　 B．44＋12 C．34＋6 D．32＋6 解析：選A　由三視圖知幾何體底面是一個(gè)長(zhǎng)為6，寬為2的矩形，高為4的四棱錐，所以該幾何體的表面積為×6×2＋×6×4＋2××2×5＋6×2＝34＋6，故選A. 3．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線(xiàn)是一個(gè)棱錐的三視圖，則該棱錐的表面積為(　　) A．6＋4＋2 B．8＋

28、4 C．6＋6 D．6＋2＋4 解析：選A　由三視圖可知該棱錐為如圖所示的四棱錐P-ABCD，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝×2×2＝2，S△PBC＝×2×2×sin 60°＝2，S四邊形ABCD＝2×2＝4，故該棱錐的表面積為6＋4＋2. [謹(jǐn)記通法] 幾何體的表面積的求法 (1)求表面積問(wèn)題的思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差求得幾何體的表面積．注意銜接部分的處理． [典例引領(lǐng)] 1．(2

29、018·金華高三期末考試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.　　　　　　　　 　 B. C. D. 解析：選D　由三視圖可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，其直觀圖如圖所示．底面ABCD的面積為2×2＝4，高PO＝，故該幾何體的體積V＝×4×＝. 2．(2018·寧波十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________，表面積等于________． 解析：如圖，由三視圖可知該幾何體是底面半徑為2，高為3的圓柱的一半，故該幾何體的體積為×π×22×3＝6π， 表面積為2××π×22＋4×3＋π×2×3＝10π＋

30、12. 答案：6π　12＋10π [由題悟法] 有關(guān)幾何體體積的類(lèi)型及解題策略 常見(jiàn)類(lèi)型 解題策略 球的體積問(wèn)題 直接利用球的體積公式求解，在實(shí)際問(wèn)題中要根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形確定球的半徑 錐體、柱體的體積問(wèn)題 根據(jù)題設(shè)條件求出所給幾何體的底面積和高，直接套用公式求解 以三視圖為載體的幾何體體積問(wèn)題 將三視圖還原為幾何體，利用空間幾何體的體積公式求解 不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題 常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解 [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·西安質(zhì)檢)某幾何體的

31、三視圖如圖所示，該幾何體的體積為(　　) A. B． C. D．3 解析：選A　根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是下部為直三棱柱，上部為三棱錐的組合體，如圖所示．則該幾何體的體積是V幾何體＝V三棱柱＋V三棱錐＝×2×1×1＋××2×1×1＝. 2．(2018·杭州高級(jí)中學(xué)模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．1 B． C. D. 解析：選C　由題可得，該幾何體是一個(gè)四棱錐，底面是上下底邊分別為1和2，高為1的直角梯形，又四棱錐的高為1.所以該幾何體的體積為V＝××(1＋2)×1×1＝. 3.(2018·溫州高三一模

32、)如圖，一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的正視圖與側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其俯視圖的輪廓為正方形，則該幾何體的體積為_(kāi)_______，表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，還原三視圖為正四棱錐，易得正四棱錐的高為，底面積為1，體積V＝×1×＝；易得正四棱錐側(cè)面的高為＝1，所以表面積S＝4××1×1＋1＝3. 答案：　3 [鎖定考向] 與球相關(guān)的切、接問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)，也是考生的難點(diǎn)、易失分點(diǎn)，命題角度多變． 常見(jiàn)的命題角度有： (1)球與柱體的切、接問(wèn)題； (2)球與錐體的切、接問(wèn)題．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：球與柱體的切、接問(wèn)題 1．已知直三棱柱ABC-A1

33、B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A.　　　　　　 B．2 C. D．3 解析：選C　如圖，由球心作平面ABC的垂線(xiàn)，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 2.如圖，已知球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為(　　) A.π　　　　　　　 B. C. D.π 解析：選C　平面ACD1截球O的截面為△ACD1的內(nèi)切圓．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以?xún)?nèi)切圓的半徑r＝×tan 30°

34、＝， 所以S＝πr2＝π×＝π. 角度二：球與錐體的切、接問(wèn)題 3．(2018·紹興質(zhì)檢)四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　) A．6 B．5 C. D. 解析：選D　過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面ABCD于點(diǎn)H.由題知，四棱錐P-ABCD是正四棱錐，內(nèi)切球的球心O應(yīng)在四棱錐的高PH上．過(guò)正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖，其中PE，PF是斜高，M為球面與側(cè)面的一個(gè)切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，易知Rt△PMO∽R(shí)t△PHF，所以＝，即＝，解得h＝. 4．(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知三棱錐S -A

35、BC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S -ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點(diǎn)O為SC的中點(diǎn)， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設(shè)球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS -ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO ＝××AO， 即9＝××R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.

36、 答案：36π [通法在握] 解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題求解，其解題的思維流程是： [演練沖關(guān)] 1．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(　　) A．20π B. C．5π D. 解析：選D　由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1，其高h(yuǎn)＝1，∴球半徑為R＝＝＝，∴該球的體積V＝πR3＝×3π＝. 2．(2018·鎮(zhèn)海期中)一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正四面體紙盒內(nèi)放一個(gè)正方體，若正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體體積的最大值為_(kāi)_______． 解析：由

37、題可得，要使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則只需該正方體在正四面體的內(nèi)接球內(nèi)即可．因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為6，所以其底面正三角形的高為3，正四面體的高為2，則該正四面體的內(nèi)球的半徑為，設(shè)該正方體的邊長(zhǎng)為a，要滿(mǎn)足條件，則a≤，即a≤.所以正方體的最大體積為V＝a3≤2. 答案：2 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．(2018·浙江名校聯(lián)考)“某幾何體的三視圖完全相同”是“該幾何體為球”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　由題可得，球的三個(gè)視圖都是圓，所以三視圖完全相同；三視圖完全相同的幾何體除了球，還有正

38、方體，所以是必要不充分條件． 2．(2018·長(zhǎng)興中學(xué)適應(yīng)性測(cè)試)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A．64 B．72 C．80 D．112 解析：選C　由題可得，該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體與一個(gè)底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，高為3的四棱錐的組合體，所以其體積為V＝43＋×42×3＝80. 3．如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：選A　由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設(shè)球的

39、半徑為R，則πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為×4πR2＋πR2＝17π.故選A. 4．(2018·嘉興模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，若它的體積是3，則a＝________，該幾何體的表面積為_(kāi)_______． 解析：由題可得，該幾何體是一個(gè)水平放置的三棱柱，其底面是一個(gè)底邊長(zhǎng)為2、高為a的等腰三角形，高為3.因?yàn)槠潴w積為3，所以V＝×2a×3＝3a＝3，解得a＝.所以該幾何體的表面積為S＝2××2×＋2×3×3＝2＋18. 答案：　2＋18 5．(2018·麗水模擬)若三棱錐P-ABC的最長(zhǎng)的棱PA＝2，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是___

40、_____，表面積是________． 解析：如圖，根據(jù)題意，可把該三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則該三棱錐的外接球即該長(zhǎng)方體的外接球，易得外接球的半徑R＝PA＝1，所以該三棱錐的外接球的體積V＝×π×13＝π，表面積S＝4πR2＝4π. 答案：π　4π 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為(　　) A．7　　　　　　　　　　　 B．6 C．5 D．3 解析：選A　設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r. 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7. 2．一個(gè)六棱錐的體積為2

41、，其底面是邊長(zhǎng)為2的正六邊形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為(　　) A．6 B．8 C．12 D．24 解析：選C　由題意可知該六棱錐為正六棱錐，正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′. 由題意，得×6××22×h＝2， ∴h＝1， ∴斜高h(yuǎn)′＝＝2， ∴S側(cè)＝6××2×2＝12.故選C. 3．(2018·溫州十校聯(lián)考)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸，可得這個(gè)幾何體的體積是(　　) A．4 B. C．8 D. 解析：選B　由題可得，該幾何體是一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的四棱錐，所以其體積為V＝×4×2×2＝. 4．(2018·蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)

42、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為(　　) A.π B. C．3π D．3 解析：選A　由題意得，該幾何體為四棱錐，且該四棱錐的外接球即為棱長(zhǎng)為1的正方體的外接球，其半徑為，故體積為π3＝π，故選A. 5．(2018·寧波十校聯(lián)考)如圖，某多面體的三視圖中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的外輪廓分別為直角三角形、直角梯形和直角三角形，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為(　　) A．2 B. C．2 D. 解析：選C　由題可得，該幾何體是水平放置的四棱錐，其底面是一個(gè)直角梯形．所以其最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)

43、度為＝2. 6．(2018·衢州調(diào)研)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是________；表面積是________． 解析：該幾何體是一個(gè)三棱錐，其高為2，其底面是一個(gè)等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為，所以其體積為V＝××()2×2＝，表面積為S＝×2×＋×()2＋×2×2＋××＝3＋＋. 答案：　3＋＋ 7．(2018·杭州模擬)已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝3，BC＝2，則棱錐O-ABCD的體積為_(kāi)_______． 解析：依題意得，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱錐O-ABCD的高等于＝， 所以棱錐O-ABCD的體積等

44、于×3×2×＝. 答案： 8.已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是________． 解析：由正視圖知三棱錐的形狀如圖所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，設(shè)O為BD的中點(diǎn)，連接OA，OC，則OA⊥BD，OC⊥BD，結(jié)合正視圖可知AO⊥平面BCD. 又OC＝＝1， ∴V三棱錐A-BCD＝××1＝. 答案： 9．(2018·武漢調(diào)研)已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，且該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)_______． 解析：如圖，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，設(shè)球的半徑為R，因

45、為底面邊長(zhǎng)為2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面積S＝4πR2＝25π. 答案：25π 10.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積． 解：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1．(2018·廣西質(zhì)檢)高為4的直三棱柱被削去一

46、部分后得到一個(gè)幾何體，它的直觀圖和三視圖中的側(cè)視圖、俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由側(cè)視圖、俯視圖知該幾何體是高為2、底面積為×2×(2＋4)＝6的四棱錐，其體積為4.易知直三棱柱的體積為8，則該幾何體的體積與原直三棱柱的體積的比值為，故選C. 2．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，若四面體PAEF的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是(　　) A．6π B．12π

47、 C．18π D．9π 解析：選C　因?yàn)椤螦PE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體(PA，PE，PF是從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱)，則四面體和補(bǔ)全的長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)其半徑為R，由題意知2R＝＝3，故該球的表面積S＝4πR2＝4π2＝18π. 3．已知A，B，C是球O的球面上三點(diǎn)，且AB＝AC＝3，BC＝3，D為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，球心O到平面ABC的距離為球半徑的一半，求三棱錐D -ABC體積的最大值． 解：如圖，在△ABC中， ∵AB＝AC＝3，BC＝3， ∴由余弦定理可得 cos A＝＝－， ∴sin A＝. 設(shè)△ABC外接圓O′

48、的半徑為r， 則＝2r，得r＝3. 設(shè)球的半徑為R，連接OO′，BO′，OB，則R2＝2＋32，解得R＝2. 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離為R時(shí)，三棱錐D -ABC的體積最大， ∵S△ABC＝×3×3×＝， ∴三棱錐D -ABC體積的最大值為××3＝. 第三節(jié)空間點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系 1．平面的基本性質(zhì) (1)公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)． (2)公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． (3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)． 2．空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系 (1

49、)空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系 (2)異面直線(xiàn)所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)． ②范圍：. (3)公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行． (4)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)． 3．空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系 (1)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況． (2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． [小題體驗(yàn)] 1．下列說(shuō)法正確的是(　　) A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線(xiàn)

50、 B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面 C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面 D．若a，b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，則a與b異面 答案：D 2．(教材習(xí)題改編)設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a，b表示兩條直線(xiàn)，α，β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確的命題是________． ①P∈a，P∈α?a?α；②a∩b＝P，b?β?a?β；③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. 答案：③④ 1．異面直線(xiàn)易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線(xiàn)不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線(xiàn)既不平行，也不相交． 2．直線(xiàn)與平面的

51、位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線(xiàn)在面內(nèi)”． 3．不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，一定不能丟掉“不共線(xiàn)”條件． [小題糾偏] 1．(2018·江西七校聯(lián)考)已知直線(xiàn)a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線(xiàn)b和c，則直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系是(　　) A．相交或平行　　　　　 B．相交或異面 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 解析：選D　依題意，直線(xiàn)b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面． 2．若直線(xiàn)a⊥b，且直線(xiàn)a∥平面α，則直線(xiàn)b與平面α的位置關(guān)系是(　　) A．b?α B．b∥α C．b?α或b∥α D．b與α相交或b?α或b∥α 解析：選D

52、　b與α相交或b?α或b∥α都可以． 3．(教材習(xí)題改編)下列命題： ①經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：選D?、僦腥羧c(diǎn)在一條直線(xiàn)上，則不能確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定四個(gè)平面；④中這三個(gè)公共點(diǎn)可以在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上．故錯(cuò)誤的是①③④，正確的是②.所以正確命題的個(gè)數(shù)為1. [典例引領(lǐng)] 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，A

53、A1的中點(diǎn)．求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)． 證明：(1)如圖，連接EF，A1B，CD1. ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)， ∴EF∥A1B. 又A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面． (2)∵EF∥CD1，EF

54、平面法：先確定一個(gè)平面，再證有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)在此平面內(nèi)； (2)輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線(xiàn)確定平面α，再證其余點(diǎn)、線(xiàn)確定平面β，最后證明平面α，β重合． 2．證明多線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的2個(gè)步驟 (1)先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)； (2)再證交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上．證交點(diǎn)在第三條直線(xiàn)上時(shí)，第三條直線(xiàn)應(yīng)為前兩條直線(xiàn)所在平面的交線(xiàn)，可以利用公理3證明．如“本例”中第(2)問(wèn)． [即時(shí)應(yīng)用] 　 如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線(xiàn)AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點(diǎn)E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線(xiàn)． 證明：因?yàn)锳B∥CD， 所以AB，CD確定一個(gè)平面β. 又因?yàn)锳B∩α

55、＝E，AB?β， 所以E∈α，E∈β，即E為平面α與β的一個(gè)公共點(diǎn)． 同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點(diǎn)， 因?yàn)閮蓚€(gè)平面有公共點(diǎn)，它們有且只有一條通過(guò)公共點(diǎn)的公共直線(xiàn)，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)必定共線(xiàn)． [典例引領(lǐng)] 如圖，在正方體ABCD -A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)， 有以下四個(gè)結(jié)論： ①直線(xiàn)AM與CC1是相交直線(xiàn)； ②直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn)； ③直線(xiàn)BN與MB1是異面直線(xiàn)； ④直線(xiàn)AM與DD1是異面直線(xiàn)． 其中正確的結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_______． 解析：直線(xiàn)AM與CC1是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)AM與BN也是異面直線(xiàn)，所以①②錯(cuò)誤

56、．點(diǎn)B，B1，N在平面BB1C1C中，點(diǎn)M在此平面外，所以BN，MB1是異面直線(xiàn)．同理AM，DD1也是異面直線(xiàn)． 答案：③④ [由題悟法] [即時(shí)應(yīng)用] 1．上面例題中正方體ABCD-A1B1C1D1的棱所在直線(xiàn)中與直線(xiàn)AB是異面直線(xiàn)的有________條． 解析：與AB異面的有4條：CC1，DD1，A1D1，B1C1. 答案：4 2．在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形的是________．(填上所有正確答案的序號(hào)) 解析：圖①中，直線(xiàn)GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此直線(xiàn)GH與MN

57、異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面．所以在圖②④中，GH與MN異面． 答案：②④ [典例引領(lǐng)] (2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線(xiàn)AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　 如圖所示，將直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接AD1，B1D1，則AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)AB1與BC1所成的角．因?yàn)?/p>

58、∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝. 在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2， 所以B1D1＝＝， 所以cos∠B1AD1＝＝. [由題悟法] 1．用平移法求異面直線(xiàn)所成的角的3步驟 (1)一作：即據(jù)定義作平行線(xiàn)，作出異面直線(xiàn)所成的角； (2)二證：即證明作出的角是異面直線(xiàn)所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． 2．有關(guān)平移的3種技巧 求異面直線(xiàn)所成的角的方法為平移法，平移的方法一般有3種類(lèi)型： (1)利用圖

59、形中已有的平行線(xiàn)平移； (2)利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移； (3)補(bǔ)形平移．計(jì)算異面直線(xiàn)所成的角通常放在三角形中進(jìn)行． [即時(shí)應(yīng)用] 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中， (1)求AC與A1D所成角的大?。? (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。? 解：(1)連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°. (2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C

60、1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°. 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．“點(diǎn)P在直線(xiàn)m上，m在平面α內(nèi)”可表示為(　　) A．P∈m，m∈α　　　　　　 B．P∈m，m?α C．P?m，m∈α D．P?m，m?α 解析：選B　點(diǎn)在直線(xiàn)上用“∈”，直線(xiàn)在平面上用“?”，故選B. 2．(2018·平陽(yáng)期末)已知a，b是異面直線(xiàn)，直線(xiàn)c∥直線(xiàn)a，那么c與b(　　) A．一定是異面直線(xiàn) B．一定是相交直線(xiàn) C．不可能是平行直線(xiàn) D．不可能是

61、相交直線(xiàn) 解析：選C　由平行直線(xiàn)公理可知，若c∥b，則a∥b，與a，b是異面直線(xiàn)矛盾．所以c與b不可能是平行直線(xiàn)． 3．空間四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為6和8，所成的角為45°，連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是(　　) A．6 B．12 C．12 D．24 解析：選A　如圖，已知空間四邊形ABCD，設(shè)對(duì)角線(xiàn)AC＝6，BD＝8，易證四邊形EFGH為平行四邊形，∠EFG或∠FGH為AC與BD所成的45°角，故S四邊形EFGH＝3×4·sin 45°＝6，故選A. 4.如圖所示，平行六面體ABCD -A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱有________條；

62、與AB異面的棱有________條． 解析：依題意，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行有棱AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合條件的有5條．與AB異面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4條． 答案：5　4 5.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AN，CM所成的角的余弦值是________． 解析：如圖所示，連接DN，取線(xiàn)段DN的中點(diǎn)K，連接MK，CK. ∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)， ∴MK∥AN， ∴∠KMC為異面直線(xiàn)AN，CM所成的角． ∵

63、AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N為BC的中點(diǎn)， 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2， ∴MK＝. 在Rt△CKN中，CK＝ ＝. 在△CKM中，由余弦定理，得 cos∠KMC＝＝. 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線(xiàn)AC和BD不相交，則甲是乙成立的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線(xiàn)AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線(xiàn)AC和BD不相交，若直線(xiàn)AC和BD平

64、行時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件． 2．(2018·寧波模擬)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．MN與CC1垂直 B．MN與AC垂直 C．MN與BD平行 D．MN與A1B1平行 解析：選D　如圖，連接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正確；因?yàn)镃C1⊥平面ABCD，所以CC1⊥BD， 所以MN與CC1垂直，故A正確； 因?yàn)锳C⊥BD，MN∥BD， 所以MN與AC垂直，故B正確； 因?yàn)锳1B1與BD異面，MN∥BD， 所以MN與A1B1不可能平行，故D錯(cuò)誤．

65、3．下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線(xiàn)上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合； ②兩條直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　根據(jù)公理2，可判斷①是真命題；兩條異面直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面，故②是假命題；在空間，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)不一定共面(如墻角)，故③是假命題；根據(jù)平面的性質(zhì)可知④是真命題．綜上，真命題的個(gè)數(shù)為2. 4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為棱D1C1的中點(diǎn)．設(shè)AM與平面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則(　

66、　) A．三點(diǎn)D1，O，B共線(xiàn)，且OB＝2OD1 B．三點(diǎn)D1，O，B不共線(xiàn)，且OB＝2OD1 C．三點(diǎn)D1，O，B共線(xiàn)，且OB＝OD1 D．三點(diǎn)D1，O，B不共線(xiàn)，且OB＝OD1 解析：選A　連接A1M與B1D1交于點(diǎn)H，連接OH.因?yàn)椤鱉D1H與△A1B1H相似，所以＝＝＝.因?yàn)镺H∥A1A，所以＝＝，所以O(shè)H＝AA1，所以O(shè)H＝B1B，且OH∥BB1，所以由三角形相似可知，D1，O，B三點(diǎn)共線(xiàn)，且OB＝2OD1. 5．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1D1，A1C1的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE和CF所成的角的余弦值為(　　) A. B． C. D. 解析：選C　如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，連接CM，MF，EF.則MF綊AE，所以∠CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角．在△CFM中，MF＝CM＝a，CF＝a，根據(jù)余弦定理可得cos∠CFM＝，所以可得異面直線(xiàn)AE與CF所成的角的余弦值為.故選C. 6．如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線(xiàn)段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)為_(kāi)_______