(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的計算 第2課時 導(dǎo)數(shù)的運算法則學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 第2課時 導(dǎo)數(shù)的運算法則 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.理解求導(dǎo)法則的證明過程,能夠綜合運用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 知識點一 和、差的導(dǎo)數(shù) 已知f(x)=x,g(x)=.Q(x)=f(x)+g(x),H(x)=f(x)-g(x) 思考1 f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么? 答案 f′(x)=1,g′(x)=-. 思考2 試求y=Q(x),y=H(x)的導(dǎo)數(shù).并觀察Q′(x),H′(x)與f′(x),g′(x)的關(guān)系. 答案 ∵Δy=(x+Δx)+- =Δx+, ∴=1-. ∴Q′(x)= = =1-. 同理,H′(x)=

2、1+. Q(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)的和.H(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x),g(x)的導(dǎo)數(shù)的差. 梳理 和、差的導(dǎo)數(shù) [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x). 知識點二 積、商的導(dǎo)數(shù) (1)積的導(dǎo)數(shù) ①[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). ②[cf(x)]′=cf′(x). (2)商的導(dǎo)數(shù) ′=(g(x)≠0). (3)注意[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x), ′≠. 1.若f′(x)=2x,則f(x)=x2.( × ) 2.函數(shù)f(x)=xex的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=ex(x+1).( √ ) 3.當(dāng)g(x

3、)≠0時,′=.( √ ) 類型一 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo) 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=3x2+xcos x; (2)y=lg x-; (3)y=(x2+3)(ex+ln x); (4)y=x2+tan x; (5)y=. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 解 (1)y′=6x+cos x+x(cos x)′ =6x+cos x-xsin x. (2)y′=(lg x)′-(x-2)′=+. (3)y′=(x2+3)′(ex+ln x)+(x2+3)(ex+ln x)′ =2x(ex+ln x)+(x2+3) =ex(x2+2x+3)+2xl

4、n x+x+. (4)因為y=x2+, 所以y′=(x2)′+′ =2x+ =2x+. (5)y′= = =. 反思與感悟 (1)先區(qū)分函數(shù)的運算特點,即函數(shù)的和、差、積、商,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)數(shù). (2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù),依次轉(zhuǎn)化為“兩個”函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)計算. 跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=; (2)y=; (3)y=(x+1)(x+3)(x+5). 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 解 (1)∵y=2-3+x-1+, ∴y′=3+-x-2-. (2)方法一 y′= ==. 方法二 ∵y===1-, ∴y

5、′=′=′ = =. (3)方法一 y′=[(x+1)(x+3)]′(x+5)+(x+1)(x+3)(x+5)′=[(x+1)′(x+3)+(x+1)(x+3)′](x+5)+(x+1)(x+3)=(2x+4)(x+5)+(x+1)(x+3)=3x2+18x+23. 方法二 ∵y=(x+1)(x+3)(x+5)=(x2+4x+3)(x+5) =x3+9x2+23x+15, ∴y′=(x3+9x2+23x+15)′=3x2+18x+23. 類型二 導(dǎo)數(shù)公式及運算法則的綜合應(yīng)用 例2 (1)已知函數(shù)f(x)=+2xf′(1),試比較f(e)與f(1)的大小關(guān)系; (2)設(shè)f(

6、x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 解 (1)由題意得f′(x)=+2f′(1), 令x=1,得f′(1)=+2f′(1),即f′(1)=-1. ∴f(x)=-2x. ∴f(e)=-2e=-2e,f(1)=-2, 由f(e)-f(1)=-2e+2<0,得f(e)

7、+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′ =asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x =(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. 又∵f′(x)=xcos x, ∴即 解得a=d=1,b=c=0. 反思與感悟 (1)中確定函數(shù)f(x)的解析式,需要求出f′(1),注意f′(1)是常數(shù). (2)中利用待定系數(shù)法可確定a,b,c,d的值. 完成(1)(2)問的前提是熟練應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的運算法則. 跟蹤訓(xùn)練2 函數(shù)f(x)=+2f′(1)x,則f′(0)=________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則

8、題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 1 解析 對f(x)求導(dǎo),得f′(x)=+2f′(1)=+2f′(1),令x=1,得f′(1)=1,∴f′(0)=1. 例3 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=2x-8. (1)求a,b的值; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=exsin x+f(x),求曲線g(x)在x=0處的切線方程. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 解 (1)因為f(x)=ax2+bx+3(a≠0), 所以f′(x)=2ax+b, 又f′(x)=2x-8,所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知g(x)=exsin

9、x+x2-8x+3, 所以g′(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以g′(0)=e0sin 0+e0cos 0+2×0-8=-7. 又g(0)=3, 所以g(x)在x=0處的切線方程為y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0. 反思與感悟 (1)此類問題往往涉及切點、切點處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個主要元素.其他的條件可以進行轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系. (2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準(zhǔn)確. (3)分清已知點是否在曲線上,若不在曲線上,則要設(shè)出切點,這是解題時的易錯點. 跟蹤訓(xùn)練3 (1)設(shè)曲線y=在點

10、處的切線與直線x+ay+1=0垂直,則a=________. (2)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 (1)1 (2)4 解析 (1)∵y′==, 當(dāng)x=時,y′==1. 又直線x+ay+1=0的斜率是-, ∴-=-1,即a=1. (2)∵曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知g′(1)=2. 又∵f(x)=g(x)+x2, ∴f′(x)=

11、g′(x)+2x,即f′(1)=g′(1)+2=4, ∴y=f(x)在點(1,f(1))處切線的斜率為4. 1.設(shè)函數(shù)y=-2exsin x,則y′等于(  ) A.-2excos x B.-2exsin x C.2exsin x D.-2ex(sin x+cos x) 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案 D 解析 y′=-2(exsin x+excos x)=-2ex(sin x+cos x). 2.曲線y=-在點M處的切線的斜率為(  ) A.- B. C.- D. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 B

12、 解析 y′==,故=, ∴曲線在點M處的切線的斜率為. 3.若函數(shù)f(x)=?f′(-1)x2-2x+3,則f′(-1)的值為(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 因為f(x)=?f′(-1)x2-2x+3, 所以f′(x)=f′(-1)x-2. 所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2, 所以f′(-1)=-1. 4.已知f(x)=,若f′(x0)+f(x0)=0,則x0=________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案  解析 因為f′(x)= =(

13、x≠0). 所以由f′(x0)+f(x0)=0,得+=0. 解得x0=. 5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過點P(2,-5),且該曲線在點P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是______. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析 y=ax2+的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax-, 直線7x+2y+3=0的斜率為-. 由題意得解得 則a+b=-3. 1.導(dǎo)數(shù)的求法 對于函數(shù)求導(dǎo),一般要遵循先化簡,再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時,不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用.首先,在化簡時,

14、要注意化簡的等價性,避免不必要的運算失誤;其次,利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,一定要將函數(shù)化為基本初等函數(shù)中的某一個,再套用公式求導(dǎo)數(shù). 2.和與差的運算法則可以推廣 [f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′=f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn). 3.積、商的求導(dǎo)法則 (1)若c為常數(shù),則[cf(x)]′=cf′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x), ′=(g(x)≠0); (3)當(dāng)f(x)=1時,有′=-(g(x)≠0). 一、選擇題 1.下列運算中正確的是(  ) A.(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(

15、x)′ B.(sin x-2x2)′=(sin x)′-2′(x2)′ C.′= D.(cos x·sin x)′=(sin x)′cos x+(cos x)′cos x 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案 A 解析 A項中,(ax2+bx+c)′=a(x2)′+b(x)′正確; B項中,(sin x-2x2)′=(sin x)′-2(x2)′錯誤; C項中,′=錯誤; D項中,(cos x·sin x)′=(cos x)′sin x+cos x(sin x)′錯誤. 2.若函數(shù)y=(a>0)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為0,那么x0等于(  ) A.a(chǎn) B.±

16、a C.-a D.a(chǎn)2 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案 B 解析 y′=′==, 由x-a2=0,得x0=±a. 3.若函數(shù)f(x)=exsin x,則此函數(shù)圖象在點(4,f(4))處的切線的傾斜角為(  ) A. B.0 C.鈍角 D.銳角 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 C 解析 ∵f′(x)=exsin x+excos x, ∴f′(4)=e4(sin 4+cos 4). ∵π<4<π,∴sin 4<0,cos 4<0,∴f′(4)<0. 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得,切線的傾斜角為鈍角. 4.若f(x)=x2-

17、2x-4ln x,則f′(x)>0的解集為(  ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案 C 解析 ∵f(x)=x2-2x-4ln x, ∴f′(x)=2x-2->0, 整理得>0, 解得-12. 又x>0,∴x>2. 5.函數(shù)f(x)=xcos x-sin x的導(dǎo)函數(shù)是(  ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.既不是奇函數(shù),又不是偶函數(shù) 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 f′(x)

18、=(xcos x)′-(sin x)′ =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 令F(x)=-xsin x,x∈R, 則F(-x)=xsin(-x)=-xsin x=F(x), ∴f′(x)是偶函數(shù). 6.設(shè)曲線y=在點(3,2)處的切線與直線ax+y+1=0垂直,則a等于(  ) A.2 B. C.- D.-2 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 ∵y==1+, ∴y′=-,∴=-. ∴-a×=-1,即a=-2. 7.在下面的四個圖象中,其中一個圖象是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)

19、的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則f(-1)等于(  ) A. B.- C. D.-或 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 B 解析 ∵f′(x)=x2+2ax+(a2-1), ∴導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象開口向上, 故其圖象必為③. 由圖象特征知f′(0)=0,且對稱軸-a>0, ∴a=-1,則f(-1)=--1+1=-,故選B. 二、填空題 8.設(shè)f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1,若h(x)=,則h′(5)=________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 答案  解析 由題意知f(5)

20、=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(5)=1, ∵h′(x)=, ∴h′(5)= ==. 9.已知某運動著的物體的運動方程為s(t)=+2t2(位移單位:m,時間單位:s),則t=1 s時物體的瞬時速度為________ m/s. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 5 解析 因為s(t)=+2t2=-+2t2 =-+2t2, 所以s′(t)=-+2·+4t, 所以s′(1)=-1+2+4=5, 即物體在t=1 s時的瞬時速度為5 m/s. 10.已知函數(shù)f(x)=f′cos x+sin x,則f?的值為________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運

21、算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 1 解析 ∵f′(x)=-f′sin x+cos x, ∴f′=-f′×+, 得f′=-1. ∴f(x)=(-1)cos x+sin x, ∴f?=1. 11.已知函數(shù)f(x)=xln x,若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為______________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 x-y-1=0 解析 ∵點(0,-1)不在曲線f(x)=xln x上, ∴設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln x,∴ 解得x0=1,y0=0. ∴切點坐標(biāo)

22、為(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直線l的方程為y=x-1,即x-y-1=0. 12.已知曲線y=x+ln x在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=________. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 8 解析 由y=x+ln x,得y′=1+, 得曲線在點(1,1)處的切線的斜率為k==2, 所以切線方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1. 此切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切, 消去y,得ax2+ax+2=0, 所以a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8. 三、解答題 13.偶函數(shù)f

23、(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P(0,1),且在x=1處的切線方程為y=x-2,求f(x)的解析式. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 解 ∵f(x)的圖象過點P(0,1),∴e=1. 又∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)=f(x). 故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e. ∴b=0,d=0.∴f(x)=ax4+cx2+1. ∵函數(shù)f(x)在x=1處的切線方程為y=x-2, ∴切點坐標(biāo)為(1,-1). ∴a+c+1=-1. ∵f′(x)|x=1=4a+2c,∴4a+2c=1. ∴a=,c=-. ∴函數(shù)f

24、(x)的解析式為f(x)=x4-x2+1. 四、探究與拓展 14.在等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)·(x-a2)…(x-a8),則f′(0)等于(  ) A.26 B.29 C.215 D.212 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 ∵f′(x)=x′(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a1)′(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)′ =(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x(x-a2)…(x-a8)+…+x(x-a1)(x-a2)…(x-a7),

25、 ∴f′(0)=a1·a2·…·a8=(a1a8)4=84=212. 15.設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0. (1)求f(x)的解析式; (2)證明:曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值. 考點 導(dǎo)數(shù)的運算法則 題點 導(dǎo)數(shù)運算法則的綜合應(yīng)用 解 (1)由7x-4y-12=0,得y=x-3. 當(dāng)x=2時,y=,∴f(2)=,① 又f′(x)=a+,∴f′(2)=,② 由①②得解得 故f(x)=x-. (2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點,由y′=1+知,曲線在點P(x0,y0)處的切線方程為 y-y0=(x-x0), 即y-=(x-x0). 令x=0,得y=-,從而得切線與直線x=0的交點坐標(biāo)為. 令y=x,得y=x=2x0,從而切線與直線y=x的交點坐標(biāo)為(2x0,2x0). 所以點P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為|2x0|=6. 故曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6. 15

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