《2022高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程真題押題精練 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程真題押題精練 理(4頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、2022高考數(shù)學大二輪復習 專題10 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程真題押題精練 理
1. (2018·高考全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.
解析:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.
由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.
2、記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.
由于點B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當l1與C2只有一個公共點時,點A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.
經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;
當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
當l2與C2只有一個公共點時,點A到l2所在直線的距離為2,所以=2,故k=0或k=.
經檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;
當k=時,l2與C2沒有公共點.
綜上,所
3、求C1的方程為y=-|x|+2.
2.(2018·高考全國卷Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中,⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),過點(0,-)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A,B兩點.
(1)求α的取值范圍;
(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.
解析:(1)⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1.
當α=時,l與⊙O交于兩點.
當α≠時,記tan α=k,則l的方程為y=kx-.l與⊙O交于兩點當且僅當<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.
綜上,α的取值范圍是.
(2)l的參數(shù)方程為
.
設A,B,P對應的參數(shù)分別為tA,tB,tP,
則tP=,且tA,tB滿足t2-2tsi
4、n α+1=0.
于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.
又點P的坐標(x,y)滿足
所以點P的軌跡的參數(shù)方程是
.
3.(2017·高考全國卷Ⅲ)在直角坐標系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù)).設l1與l2的交點為P,當k變化時,P的軌跡為曲線C.
(1)寫出C的普通方程;
(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,設l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M為l3與C的交點,求M的極徑.
解析:(1)消去參數(shù)t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去參數(shù)m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
設P(x
5、,y),由題設得消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程為x2-y2=4(y≠0).
(2)C的極坐標方程為ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
聯(lián)立
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,從而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,
所以交點M的極徑為.
1.已知橢圓C:(φ為參數(shù)),A,B是橢圓C上的動點,且滿足OA⊥OB(O為坐標原點).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,點D的極坐標為(4,).
(1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程;
6、(2)利用橢圓C的極坐標方程證明+為定值,并求△AOB面積的最大值.
解析:(1)點D的直角坐標為(2,2).
由題意可設點A的坐標為(2cos α,sin α),
則AD的中點M的坐標為(1+cos α,+sin α),
所以點M的軌跡E的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),
消去α可得E的普通方程為(x-1)2+4(y-)2=1.
(2)證明:橢圓C的普通方程為+y2=1,化為極坐標方程得ρ2+3ρ2sin2θ=4,變形得ρ= .
由OA⊥OB,不妨設A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),
所以+=+=+==(定值).
所以△AOB的面積S=ρ1ρ2
==
= .
易知當sin 2
7、θ=0時,△AOB的面積取得最大值1.
2.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ=4sin(θ-).
(1)求圓C的直角坐標方程;
(2)若P(x,y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ-)的公共點,求x+y的取值范圍.
解析:(1)因為圓C的極坐標方程為ρ=4sin(θ-),
所以ρ2=4ρsin(θ-)=4ρ(sin θ-cos θ).
又ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以x2+y2=2y-2x,
故圓C的直角坐標方程為x2+y2+2x-2y=0.
(2)設z=x+y.由圓C的方程x2+y2+2x-2y=0,得(x+1)2+(y-)2=4,
所以圓C的圓心是(-1,),半徑是2.
將代入z=x+y,得z=-t,
又直線l過C(-1,),圓C的半徑是2,
所以|t|≤2,解得-2≤t≤2,
所以-2≤-t≤2,即-2≤z≤2.
故x+y的取值范圍是[-2,2].