（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 1 第1講 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案

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1、 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 知識(shí)點(diǎn) 最新考綱 平面向量的幾何 意義及基本概念 理解平面向量及幾何意義，理解零向量、向量的模、單位向量、向量相等、平行向量、向量夾角的概念. 向量的線性運(yùn)算 掌握平面向量加法、減法、數(shù)乘的概念，并理解其幾何意義. 平面向量的基本 定理及坐標(biāo)表示 理解平面向量的基本定理及其意義，會(huì)用平面向量基本定理解決簡(jiǎn)單問題． 掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 掌握平面向量的加法、減法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算. 平面向量的數(shù)量 積及向量的應(yīng)用 理解平面向量數(shù)量積的概念及其幾何意義． 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握數(shù)量積與兩個(gè)向量的夾角之

2、間的關(guān)系． 會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的平行與垂直． 會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題. 復(fù)　數(shù) 了解復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模和復(fù)數(shù)相等的概念． 了解復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算的幾何意義． 理解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算. 第1講　平面向量的概念及線性運(yùn)算 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反

3、向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則(或幾 何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b) 續(xù)　表 向量 運(yùn)算 定義 法則(或幾 何意義) 運(yùn)算律 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λ a|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與 a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ__a； λ(a＋b)＝λ

4、a＋λb 3.兩個(gè)向量共線定理 向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa． [說明]　三點(diǎn)共線的等價(jià)關(guān)系 A，P，B三點(diǎn)共線?＝λ(λ≠0)?＝(1－t)·＋t(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)?＝x＋y(O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段表示向量．(　　) (2)＋＋＝.(　　) (3)若兩個(gè)向量共線，則其方向必定相同或相反．(　　) (4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上

5、．(　　) (5)若a∥b，b∥c，則a∥c.(　　) (6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ [教材衍化] (必修4P108B組T5改編)在平行四邊形ABCD中，若|＋|＝|－|，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：如圖，因?yàn)椋剑?，所以||＝||.由對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形． 答案：矩形 [易錯(cuò)糾偏] (1)對(duì)向量共線定理認(rèn)識(shí)不準(zhǔn)確； (2)向量線性運(yùn)算不熟致錯(cuò)； (3)向量三角不等式認(rèn)識(shí)不清致錯(cuò)． 1．對(duì)于非零向量a，b，

6、“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件． 2．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＝________，λ2＝________． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝. 答案：－　 3．已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，則|a－b|的取值范圍為________． 解析：當(dāng)a與b方向相同

7、時(shí)，|a－b|＝2，當(dāng)a與b方向相反時(shí)，|a－b|＝6，當(dāng)a與b不共線時(shí)，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范圍為[2，6]．此題易忽視a與b方向相同和a與b方向相反兩種情況． 答案：[2，6] 　　　　　　平面向量的有關(guān)概念 給出下列命題： ①若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； 其中真命題的序號(hào)是________． 【解析】?、偈清e(cuò)誤的，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，

8、不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②是錯(cuò)誤的，|a|＝|b|，但a，b方向不確定，所以a，b不一定相等或相反． ③是正確的，因?yàn)椋?，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④是錯(cuò)誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件． 【答案】　③ 平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)． (3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與

9、函數(shù)圖象的移動(dòng)混淆． (4)非零向量a與的關(guān)系：是與a同方向的單位向量．　 　給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③若λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選A.①錯(cuò)誤．兩向量共線要看其方向而不是看起點(diǎn)與終點(diǎn)．②正確．因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小．③錯(cuò)誤．當(dāng)a＝0時(shí)，無論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)

10、，λa＝μb，此時(shí)，a與b可以是任意向量． 　　　　　　平面向量的線性運(yùn)算(高頻考點(diǎn)) 平面向量的線性運(yùn)算包括向量的加、減及數(shù)乘運(yùn)算，是高考考查向量的熱點(diǎn)．常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求參數(shù)的值． 角度一　用已知向量表示未知向量 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么等于(　　) A.－ B.＋ C.＋ D.－ 【解析】　在△CEF中，有＝＋. 因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以＝. 因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)， 所以＝. 所以＝＋＝＋ ＝－，故選D.

11、 【答案】　D 角度二　求參數(shù)的值 如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________． 【解析】　因?yàn)锳B＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1. 因?yàn)辄c(diǎn)M為AH的中點(diǎn)， 所以＝＝(＋) ＝＝＋， 又＝λ＋μ， 所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝. 【答案】　 向量線性運(yùn)算的解題策略 (1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則． (2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向

12、量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解．　 1．(2020·嘉興質(zhì)檢)已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)M1，M2，M3，…，Mn－1和N1，N2，N3，…，Nn－1分別將線段BC和DC進(jìn)行n等分(n∈N*，n≥2)，如圖，若＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝45，則n＝(　　) A．29 B．30 C．31 D．32 解析：選C.由題圖知，因?yàn)椋剑?，＝＋，…，AMn－1＝＋， ＝＋，＝＋，…，ANn－1＝＋.＝，＝. 所以＋＋…＋AMn－1＋＋＋…＋ANn－1＝· (＋)＝， 所以＝45，解得n＝31.故選C. 2．(2019·高考浙江卷)已知正方

13、形ABCD的邊長為1.當(dāng)每個(gè)λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1時(shí)，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________． 解析：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以當(dāng)時(shí)，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此時(shí)|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，則|λ

14、1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|取得最大值＝2. 答案：0　2 　　　　　　平面向量共線定理的應(yīng)用 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． 【解】　(1)證明：因?yàn)椋絘＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線， 又它們有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線． (2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是兩個(gè)不共線

15、的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1. 　 1．設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，則向量a＝2e1－e2與向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共線的充要條件是(　　) A．λ＝0 B．λ＝－1 C．λ＝－2 D．λ＝－ 解析：選D.因?yàn)閍＝2e1－e2，b＝e1＋λe2，e1，e2不共線， 因?yàn)閍，b共線?b＝a?b＝e1－e2?λ＝－. 2.如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b. (1)試用a，b表示，，； (2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 解

16、：(1)△ABC中，＝a，＝b， 所以＝－＝b－a， ＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b， ＝＋＝－＋＝－a＋b. (2)證明：＝－a＋b， ＝＋＝－＋ ＝－a＋＝－a＋b＝， 所以＝， 所以與共線，且有公共點(diǎn)B， 所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 核心素養(yǎng)系列10　數(shù)學(xué)運(yùn)算——共線定理的推廣與應(yīng)用 [共線定理]　已知，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，設(shè)＝x＋y，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為x＋y＝1. [推廣形式]　如圖所示，直線DE∥AB，C為直線DE上任一點(diǎn)，設(shè)＝x＋y(x，y∈R)． 當(dāng)直線DE不過點(diǎn)P時(shí)，直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F，因?yàn)辄c(diǎn)F在直線AB上，所以由三

17、點(diǎn)共線結(jié)論可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1.由△PAB與△PED相似，知必存在一個(gè)常數(shù)m∈R，使得＝m ，則＝m＝mλ＋mμ. 又＝x＋y(x，y∈R)，所以x＋y＝mλ＋mμ＝m. 以上過程可逆． 因此得到結(jié)論：＝x＋y， 則x＋y＝m(定值)，反之亦成立． (應(yīng)用實(shí)例) 如圖，在正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 【解析】　當(dāng)P在△CDE內(nèi)時(shí)，直線EC是最近的平行線，過D點(diǎn)的平行線是最遠(yuǎn)的，所以α＋β∈＝[3，4]． 【答案】　[3，4] 如圖所示，A，B，C是圓O

18、上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外一點(diǎn)D，若＝m＋n，則m＋n的取值范圍是________． 【解析】　由點(diǎn)D是圓O外的一點(diǎn)，可設(shè)＝λ(λ＞1)，則＝＋＝＋λ＝λ＋(1－λ).因?yàn)镃，O，D三點(diǎn)共線，令＝－μ(μ＞1)，所以＝ －－·(λ＞1，μ＞1)．因?yàn)椋絤＋n，所以m＝－，n＝－，則m＋n＝－－＝－∈(－1，0)． 【答案】　(－1，0) 如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝，C為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，若＝x＋y，則x＋3y的取值范圍是________． 【解析】　＝x＋3y，如圖，作＝，則考慮以向量，為基底．顯然，當(dāng)C在A點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過m＝1的平行線，當(dāng)C在B點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過m

19、＝3的平行線，這兩條線分別是最近與最遠(yuǎn)的平行線，所以x＋3y的取值范圍是[1，3]． 【答案】　[1，3] [基礎(chǔ)題組練] 1．下列各式中不能化簡(jiǎn)為的是(　　) A.＋(＋)　 　　 B．(＋)＋(－) C.－＋ D.＋－ 解析：選D.＋(＋)＝＋＋＝＋＝；(＋)＋(－)＝(＋)＋(－)＝＋＝；－＋＝＋＝； ＋－＝－， 顯然由－得不出， 所以不能化簡(jiǎn)為的式子是D. 2．設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是(　　) A．a(chǎn)與λa的方向相反 B．a(chǎn)與λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|a 解析：選B.對(duì)于A，

20、當(dāng)λ>0時(shí)，a與λa的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，a與λa的方向相反；B正確；對(duì)于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定；對(duì)于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大?。? 3．(2020·浙江省新高考學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試)設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB外，||＝6，|＋|＝|－|，則||＝(　　) A．12　　　　　　　　　　 B．6 C．3 D. 解析：選C.因?yàn)閨＋|＝2||，|－|＝||，所以2||＝||＝6， 所以||＝3，故選C. 4．已知a，b是任意的兩個(gè)向量，則下列關(guān)系式中不恒成立的是(　　)

21、 A．|a|＋|b|≥|a－b| B．|a·b|≤|a|·|b| C．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 D．(a－b)3＝a3－3a2·b＋3a·b2－b3 解析：選D.由三角形的三邊關(guān)系和向量的幾何意義，得|a|＋|b|≥|a－b|，所以A正確； 因?yàn)閨a·b|＝|a||b||cos a，b|，又|cos a，b|≤1， 所以|a·b|≤|a||b|恒成立，B正確； 由向量數(shù)量積的運(yùn)算，得(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，C正確；根據(jù)排除法，故選D. 5．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的(　　) A．充分不必要

22、條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q， 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a與b同向共線， 即a＝λb，且λ＞0，故q p. 所以p是q的充分不必要條件，故選A. 6．(2020·溫州市普通高中模考)已知A，B，C是圓O上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)D，若＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，則λ＋μ的取值范圍是(　　) A．(0，1) B．(1，＋∞) C．(1， ] D．(0， ) 解析：選B.由題意可得＝k＝k

23、λ＋kμ(0＜k＜1)，又A，D，B三點(diǎn)共線，所以kλ＋kμ＝1，則λ＋μ＝＞1，即λ＋μ的取值范圍是(1，＋∞)，選項(xiàng)B正確． 7．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且＝a，＝b，則＝________，＝________(用a，b表示)． 解析：如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 8．(2020·溫州質(zhì)檢)如圖所示，在△ABC中，BO為邊AC上的中線，＝2，設(shè)∥，若＝＋λ(λ∈R)，則λ的值為 ________． 解析：因?yàn)椋?，所以＝＋＝＋，又∥，可設(shè)＝m，從而＝＋＝＋＋＝＋.因?yàn)椋剑?，所以＝，λ?＋＝. 答案： 9．若||

24、＝8，||＝5，則||的取值范圍是________． 解析：＝－，當(dāng)，同向時(shí)，||＝8－5＝3；當(dāng)，反向時(shí)，||＝8＋5＝13；當(dāng)，不共線時(shí)，3＜||＜13.綜上可知3≤||≤13. 答案：[3，13] 10．(2020·杭州中學(xué)高三月考)已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且5－2－＝0，則△PAC的面積與△ABC的面積之比等于________． 解析：因?yàn)?－2－＝0， 所以＝＋， 延長AP交BC于D，則＝＋＝， 從而可以得到D是BC邊的三等分點(diǎn)，且CD＝CB， 設(shè)點(diǎn)B到邊AC的距離為d，則點(diǎn)P到邊AC的距離為×d＝d， 所以△PAC的面積與△ABC的面積之比為. 答案： 11.

25、在△ABC中，D，E分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示，. 解：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－)＝＋＝a＋b. 12．經(jīng)過△OAB重心G的直線與OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q，設(shè)＝m，＝n，m，n∈R，求＋的值． 解：設(shè)＝a，＝b，則＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b. 由P，G，Q共線得，存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ， 即nb－ma＝λa＋λb， 從而 消去λ，得＋＝3. [綜合題組練] 1．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝2，則△PAB與△PBC的面積的比值是(　　) A.

26、 B. C. D. 解析：選B.因?yàn)椋?，所以＝，又△PAB在邊PA上的高與△PBC在邊PC上的高相等，所以＝＝. 2．(2020·福建省普通高中質(zhì)量檢查)已知D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若＝x＋y，則xy的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由題意，知P，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ使＝λ，所以－＝λ(－)，所以＝－λ＋(λ＋1)，則，所以x＋y＝1且≤x≤，于是xy＝x(1－x)＝－＋，所以當(dāng)x＝時(shí)，xy取得最大值；當(dāng)x＝或x＝時(shí)，xy取得最小值，所以xy的取值范圍為，故選D. 3．(2020·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)如

27、圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB的延長線，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n＝________． 解析：作BG∥AC，則BG∥NC，＝. 因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因?yàn)閨AC|＝n|AN|， 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以＝n－1. 因?yàn)閨AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， 所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2. 答案：2 4.(2020·溫州市四校高三調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足＋＝1，若＝

28、x＋y，則x＋y的最小值為________． 解析：連接MN交AC于點(diǎn)G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所以1＝＋＝， 即MN＝CM·CN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時(shí)MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線．因?yàn)椋絰＋y＝(x＋y)·， 所以由共線定理知，＝(x＋y)， 所以x＋y＝＝， 又因?yàn)閨|max＝5－1＝4， 所以x＋y的最小值為. 答案： 5．如圖，EF是等腰梯形ABCD的中位線，M，N是EF上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若＝a，＝b，＝2. (1)用a，b表示； (2)證明A，M，C三點(diǎn)共線． 解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b， 又E為AD中點(diǎn)

29、， 所以＝＝a＋b， 因?yàn)镋F是梯形的中位線，且＝2， 所以＝(＋)＝＝a， 又M，N是EF的三等分點(diǎn)，所以＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＋a＝a＋b. (2)證明：由(1)知＝＝a， 所以＝＋＝a＋b＝， 又與有公共點(diǎn)M，所以A，M，C三點(diǎn)共線． 6．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n(m，n∈R)．求證：A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是m＋n＝1. 證明：充分性：若m＋n＝1，則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， 所以－＝m(－)， 即＝m， 所以與共線． 又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)B，則A，P，B三點(diǎn)共線． 必要性：若A，P，B三點(diǎn)共線， 則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， 所以－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. 因?yàn)镺，A，B不共線，所以，不共線， 所以所以m＋n＝1. 所以A，P，B三點(diǎn)共線的充要條件是m＋n＝1. 17