六年級《速算與巧算》教（學(xué)）案--第三講

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1、 . . 秋季vip學(xué)科優(yōu)化教案 第 3 講 教學(xué)部主管： 時間：2016年 月 日 輔導(dǎo)科目 奧數(shù) 就讀年級 六 教師 嵐 課 題 《速算與巧算》 授課時間 2016.10.7 備課時間 2016.9.30 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握速算與巧算的方法，提高學(xué)生的計(jì)算能力和思維能力； 2、選用合理、靈活的計(jì)算方法，簡便運(yùn)算過程，化繁為簡，化難為易，使計(jì)算又快又準(zhǔn)確。 3、理解提公因式即分配律的

2、逆運(yùn)算 4、掌握“裂項(xiàng)”計(jì)算技巧 重、難點(diǎn) 1、計(jì)算方法的選擇 2、計(jì)算仔細(xì)程度 3、裂項(xiàng)計(jì)算技巧的應(yīng)用 教學(xué)容 ㈠承上啟下 知識回顧 l 運(yùn)算律回顧： 加法交換律：a+b=b+a 乘法交換律：a×b=b×a 加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c） 乘法結(jié)合律：a×b×c=a×(b×c) 減法的性質(zhì)：a－b－c=a－(b+c) 乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c 除法的性質(zhì)：a÷b÷c=a÷(b×c) l 提取公因數(shù)：這個方法等同于課所學(xué)的乘法分配律的逆運(yùn)算。一般情況下，用提取公因數(shù)

3、法解決的題目有兩個特征。 一、要有“公因數(shù)”（共同的因數(shù)），如果是“疑似”公因數(shù)（例如38和3.8或者38和19）我們可以借助下面幾個方法對它進(jìn)行加工。 ①a×b=(a×10)×(b÷10) ②×c=×a ③a×b×c=a×(b×c) 二、 要有互補(bǔ)數(shù)。 l 裂項(xiàng)的計(jì)算技巧： ㈡緊扣考點(diǎn) 專題講解 l 知識點(diǎn)一：提公因數(shù)法 題型一、直接提?。? 例1：計(jì)算3×101-6.3 [思路導(dǎo)航]把算式補(bǔ)充完整，6.3×101-6.3×1，學(xué)生就很容易看出兩個乘法算式中有相同的因數(shù)6.3。省略“1”的寫法，同學(xué)要看的出。 [解答]

4、原式=6.3×（101-1） =6.3×100 =630 [隨堂練習(xí)]13+86×0.25+0.625×86+86×0.125 例2：計(jì)算7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 [思路導(dǎo)航]觀察整個算式的過程中，你有沒有發(fā)現(xiàn)局部的公因數(shù)呢？將局部進(jìn)行提取公數(shù)計(jì)算，看看會發(fā)生什么事情？ [解答]原式=7.816×（1.45+1.69）+3.14×2.184 =7.816×3.14+3.14×2.184 （這里是不是可以繼續(xù)提取公因數(shù)了呢） =3.14×（7.816

5、+2.184） =3.14×10 =31.4 總結(jié)：在加減乘除混合運(yùn)算中，先觀察有無公因數(shù)。如果沒有，有無局部的公因數(shù)，有局部公因數(shù)的題目往往可以進(jìn)行二次提取。 [隨堂練習(xí)]計(jì)算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5 [變式訓(xùn)練]計(jì)算8.1×1.3－8÷1.3＋1.9×1.3+11.9÷1.3 l 題型二、有疑似公因數(shù)，變化后再提?。? 例3：36.1×6.8+486×0.32 [思路導(dǎo)航]此題直接計(jì)算不是好方法。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這道題一定可以提取公因數(shù)?？墒牵驍?shù)在哪呢？這里就需要我們構(gòu)造！此題

6、中6.8和0.32是不是可以變成“補(bǔ)數(shù)”呢？ [解答]原式=36.1×6.8+48.6×3.2 =36.1×6.8+（36.1+12.5）×3.2 =36.1×（6.8+3.2）+12.5×3.2 =361×12.5×8×0.4 =361+40 =401 總結(jié)：當(dāng)題中出現(xiàn)“補(bǔ)數(shù)”或某些數(shù)可以化為“補(bǔ)數(shù)”時，要注意去湊公因數(shù)。 [隨堂練習(xí)]計(jì)算3×25+37.9×6 [變式訓(xùn)練]計(jì)算20.11×13+201.1×5.5+2011×0.3

7、2 l 知識點(diǎn)二：計(jì)算三大技巧——裂項(xiàng) 常見的裂項(xiàng)一般是將原來的分?jǐn)?shù)分拆成兩個分?jǐn)?shù)或多個分?jǐn)?shù)的和或差，使拆分后的項(xiàng)可以前后抵消或湊整。這種題目看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但一般無需進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。 一般分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，其中分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)是重要考點(diǎn)。 例4、計(jì)算：166÷41 [思路導(dǎo)航]我們?nèi)绻业揭粋€數(shù)能被41整除，那么想想166中是否包含這樣的一個數(shù)呢？顯然我們要對166進(jìn)行拆分。將它拆分成164+2，剛好164能被41整除。（拆分可以看成簡單的裂項(xiàng)） [解答]原式=（166+2）÷41 =164÷41+÷41

8、 =4+2 =4 [隨堂練習(xí)]54÷17 [變式訓(xùn)練]1998÷1998 思考：公式推導(dǎo)： 同學(xué)們都知道，在計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法時，兩個分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分化成同分母分?jǐn)?shù)后再計(jì)算? 例如：×=，這里分母3、4是相鄰的兩個自然數(shù)，公分母正好是它們的乘積，把這個例題推廣到一般情況，就有一個很有用的等式： = = 即或者 下面利用這個等式，巧妙地計(jì)算一些分?jǐn)?shù)求和的問題 l 知識點(diǎn)二：計(jì)算技巧之“裂項(xiàng)” 一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)——“裂差”型運(yùn)算 題型一：當(dāng)分母上是兩個數(shù)乘積的形式，分子可以表

9、示分母上這兩個數(shù)的差，則可以進(jìn)行裂項(xiàng)。 例5：計(jì)算+++……+ [思路導(dǎo)航]分母是相鄰兩數(shù)之和，那么我們可以運(yùn)用上面所推導(dǎo)的公式進(jìn)行拆分 [解答]原式= [隨堂練習(xí)]計(jì)算 [變式訓(xùn)練]計(jì)算 （提示：每個分?jǐn)?shù)的分子為1，分母是3的兩個自然數(shù)的乘積，因此可將每個分?jǐn)?shù)拆成兩個分?jǐn)?shù)的差，結(jié)果擴(kuò)大三倍，那么我們將這個差縮小三倍才能作恒等變形。） 總結(jié)：將分拆成兩個數(shù)的差時，不要忘記乘以，這樣才是恒等變形。 題型二：當(dāng)分母上是幾個數(shù)的乘積形式，分子可以表示為頭尾兩個因數(shù)的差，則可以進(jìn)行裂項(xiàng)。 思考：公式推導(dǎo)：例如將進(jìn)行恒等變形。 分母6和

10、12 分解質(zhì)因式之后為（2,3）和（2,2,3）那么我們可以將它重新組合成三個相鄰數(shù)相乘，此時分母擴(kuò)大了2倍，要想分?jǐn)?shù)的大小不變，則分子也要擴(kuò)大兩倍。 因此 則有公式： 例6：計(jì)算 [思路導(dǎo)航]我們已經(jīng)學(xué)會了將分?jǐn)?shù)為兩個數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個分?jǐn)?shù)相減的形式，同樣的道理我們也可以將分母為三個數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個分?jǐn)?shù)之差，且同樣使得一些分?jǐn)?shù)相抵消，從而達(dá)到簡便計(jì)算的效果。 分母是連續(xù)的三個自然數(shù)相乘，且第一個數(shù)與第二個數(shù)相差2，而分子是1，必須將分子變?yōu)?才能裂項(xiàng)，分子變?yōu)?，要使分?jǐn)?shù)大小不變，分?jǐn)?shù)值必須乘以。 [解答]原式= =

11、 = = [隨堂練習(xí)] 例7：計(jì)算（逆向運(yùn)用題型） [思路導(dǎo)航]對于多個不同分?jǐn)?shù)單位相加的計(jì)算題，我們一般試著把分母轉(zhuǎn)化成兩數(shù)相乘的形式，然后嘗試用裂項(xiàng)法來解決。要注意整個過程中都是形式變化而值不變。 [解答]原式= =1- =1- = [隨堂練習(xí)] 二、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)——“裂和”型運(yùn)算 當(dāng)分母上是兩個數(shù)的乘積的形式，分子可表示為分母上這兩個乘積的和，則可以進(jìn)行裂和。 例如： 例：計(jì)算 ㈢高分秘訣 總結(jié)練習(xí) 1、計(jì)算 2、計(jì)算53.5×35.5+53.5×43.2+78.5×46.5 3、計(jì)算36×1.09+1.2×67.3 4、計(jì)算 ㈣挑戰(zhàn)自己 拓展提高 計(jì)算： 10 / 10