2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第1章 獨(dú)立性檢驗(yàn) 第一課時(shí)參考學(xué)案

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1、 2022年高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2教案：第1章 獨(dú)立性檢驗(yàn) 第一課時(shí)參考學(xué)案 自學(xué)目標(biāo) （1）通過對(duì)典型案例的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求列聯(lián)表）的基本思想、方法及初步應(yīng)用； （2）經(jīng)歷由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的過程，體會(huì)其基本方法． 重點(diǎn)、難點(diǎn)：獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法是重點(diǎn)．基本思想的領(lǐng)會(huì)及方法應(yīng)用是難點(diǎn)． 自學(xué)過程 一．問題情境 5月31日是世界無煙日。有關(guān)醫(yī)學(xué)研究表明，許多疾病，例如：心臟病、癌癥、腦血管病、慢性阻塞性肺病等都與吸煙有關(guān)，吸煙已成為繼高血壓之后的第二號(hào)全球殺手。這些疾病與吸煙有關(guān)的結(jié)論是怎樣得出的呢？我們看一下問題： 1． 某醫(yī)療機(jī)構(gòu)為了

2、了解呼吸道疾病與吸煙是否有關(guān)，進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了515個(gè)成年人，其中吸煙者220人，不吸煙者295人．調(diào)查結(jié)果是：吸煙的220人中有37人患呼吸道疾病（簡稱患?。?，183人未患呼吸道疾?。ê喎Q未患?。?；不吸煙的295人中有21人患病，274人未患病． 問題：根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定“患呼吸道疾病與吸煙有關(guān)”？ 二．學(xué)生活動(dòng) 為了研究這個(gè)問題，（1）引導(dǎo)學(xué)生將上述數(shù)據(jù)用下表來表示： 患病 未患病 合計(jì) 吸煙 37 183 220 不吸煙 21 274 295 合計(jì) 58 457 515 （2）估計(jì)吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異： 在吸煙的

3、人中，有的人患病，在不吸煙的人中，有的人患?。? 問題：由上述結(jié)論能否得出患病與吸煙有關(guān)？把握有多大？ 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)： （1）假設(shè)：患病與吸煙沒有關(guān)系． 若將表中“觀測值”用字母表示，則得下表： 患病 未患病 合計(jì) 吸煙 不吸煙 合計(jì) （近似的判斷方法：設(shè)，如果成立，則在吸煙的人中患病的比例與不吸煙的人中患病的比例應(yīng)差不多，由此可得，即，因此，越小，患病與吸煙之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強(qiáng)．） 設(shè)， 在假設(shè)成立的條件下，可以通過求 “吸煙且患病”、“吸煙但未患病”、“不吸煙但患病”、“不吸煙且未患病”的概率

4、（觀測頻率），將各種人群的估計(jì)人數(shù)用表示出來． 例如：“吸煙且患病”的估計(jì)人數(shù)為； “吸煙但未患病” 的估計(jì)人數(shù)為； “不吸煙但患病”的估計(jì)人數(shù)為； “不吸煙且未患病”的估計(jì)人數(shù)為． 如果實(shí)際觀測值與假設(shè)求得的估計(jì)值相差不大，就可以認(rèn)為所給數(shù)據(jù)（觀測值）不能否定假設(shè)．否則，應(yīng)認(rèn)為假設(shè)不能接受，即可作出與假設(shè)相反的結(jié)論． （2）卡方統(tǒng)計(jì)量： 為了消除樣本對(duì)上式的影響，通常用卡方統(tǒng)計(jì)量（χ2）來進(jìn)行估計(jì)． 卡方χ2統(tǒng)計(jì)量公式： χ2 （其中） 由此若成立，即患病與吸煙沒有關(guān)系，則χ2的值應(yīng)該很?。汛胗?jì)算得χ2，統(tǒng)計(jì)學(xué)中有明確的結(jié)論，在成立的情況下，隨機(jī)事件“”

5、發(fā)生的概率約為，即，也就是說，在成立的情況下，對(duì)統(tǒng)計(jì)量χ2進(jìn)行多次觀測，觀測值超過的頻率約為．由此，我們有99%的把握認(rèn)為不成立，即有99%的把握認(rèn)為“患病與吸煙有關(guān)系”． 象以上這種用統(tǒng)計(jì)量研究吸煙與患呼吸道疾病是否有關(guān)等問題的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)． 說明： （1）估計(jì)吸煙者與不吸煙者患病的可能性差異是用頻率估計(jì)概率，利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，觀測數(shù)據(jù)取值越大，效果越好．在實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)均不小于5，近似的效果才可接受． （2）這里所說的“呼吸道疾病與吸煙有關(guān)系”是一種統(tǒng)計(jì)關(guān)系，這種關(guān)系是指“抽煙的人患呼吸道疾病的可能性（風(fēng)險(xiǎn)）更大”，而不是說“抽煙的人一

6、定患呼吸道疾病”． （3）在假設(shè)下統(tǒng)計(jì)量χ2應(yīng)該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理（即統(tǒng)計(jì)量χ2越大，“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的可能性就越大）． 2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟： 一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值：類和類（如吸煙與不吸煙），Ⅱ也有兩類取值：類和類（如患呼吸道疾病與不患呼吸道疾?。?，得到如下表所示： Ⅱ 類 類 合計(jì) Ⅰ 類 類 合計(jì) 推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”的步驟為： 第一步，提出假設(shè)：兩個(gè)分類變量Ⅰ和Ⅱ沒有關(guān)系； 第二步，根據(jù)2×2列聯(lián)表和公式計(jì)算

7、χ2統(tǒng)計(jì)量； 第三步，查對(duì)課本中臨界值表，作出判斷． 3．獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法： 反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立； 獨(dú)立性檢驗(yàn)（假設(shè)檢驗(yàn)）原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1．在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？ 未感冒 感冒 合計(jì) 使用血清 258 242 500 未使用血清 216 284 500 合計(jì) 47

8、4 526 1000 分析：在使用該種血清的人中，有的人患過感冒；在沒有使用該種血清的人中，有的人患過感冒，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患病率相差較大．從直觀上來看，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患感冒的可能性存在差異． 解：提出假設(shè)：感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得 ∵當(dāng)成立時(shí)，的概率約為，∴我們有99%的把握認(rèn)為：該種血清能起到預(yù)防感冒的作用． 例2．為研究不同的給藥方式（口服或注射）和藥的效果（有效與無效）是否有關(guān)，進(jìn)行了相應(yīng)的抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示．根據(jù)所選擇的193個(gè)病人的數(shù)據(jù)，能否作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論？ 有

9、效 無效 合計(jì) 口服 58 40 98 注射 64 31 95 合計(jì) 122 71 193 分析：在口服的病人中，有的人有效；在注射的病人中，有的人有效．從直觀上來看，口服與注射的病人的用藥效果的有效率有一定的差異，能否認(rèn)為用藥效果與用藥方式一定有關(guān)呢？下面用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法加以說明． 解：提出假設(shè)：藥的效果與給藥方式?jīng)]有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得 當(dāng)成立時(shí)，的概率大于，這個(gè)概率比較大，所以根據(jù)目前的調(diào)查數(shù)據(jù)，不能否定假設(shè)，即不能作出藥的效果與給藥方式有關(guān)的結(jié)論． 說明：如果觀測值，那么就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示“Ⅰ與Ⅱ有關(guān)系”，但也不能作出結(jié)論“成立”，即Ⅰ與Ⅱ沒有關(guān)系． 2．練習(xí)：