(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.2 導(dǎo)數(shù)的計算 第3課時 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 第3課時 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解復(fù)合函數(shù)的概念,掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的公式、法則進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(僅限于形如f(ax+b)的導(dǎo)數(shù)). 知識點 復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則 已知函數(shù)y=ln(2x+5),y=sin(x+2). 思考 這兩個函數(shù)有什么共同特征? 答案 函數(shù)y=ln(2x+5),y=sin(x+2)都是由兩個基本函數(shù)復(fù)合而成的. 梳理 復(fù)合函數(shù)的概念 一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)

2、,記作y=f(g(x)). 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=y(tǒng)u′·ux′,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積. 1.函數(shù)y=e-x的導(dǎo)數(shù)為y′=e-x.( × ) 2.函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=cos x.( × ) 3.函數(shù)y=cos(3x+1)由函數(shù)y=cos u,u=3x+1復(fù)合而成.( √ ) 類型一 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=; (2)y=log2(2x+1); (3)y=ecos x+1; (4)y=s

3、in2. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 (1)y=, 設(shè)y=,u=1-2x2, 則y′=()′(1-2x2)′=·(-4x) =-·(-4x)=2x. (2)設(shè)y=log2u,u=2x+1, 則yx′=y(tǒng)u′·ux′==. (3)設(shè)y=eu,u=cos x+1, 則yx′=y(tǒng)u′·ux′=eu·(-sin x) =-ecos x+1sin x. (4)y= 對于t=cos, 設(shè)u=4x+, 則t=cos u,tu′ux′=-4sin u=-4sin. ∴y′=2sin. 反思與感悟 (1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟 (2)求復(fù)合函數(shù)

4、的導(dǎo)數(shù)的注意點:①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);②求導(dǎo)時分清是對哪個變量求導(dǎo);③計算結(jié)果盡量簡潔. 跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(x2-4)2;(2)y=ln(6x+4); (3)y=103x-2;(4)y=; (5)y=sin;(6)y=cos2x. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 (1)y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x =4x3-16x. (2)y′=·(6x+4)′=. (3)y′=(103x-2ln 10)·(3x-2)′=3×103x-2ln 10. (4)y′=·(2x-1)′= . (5)y′=

5、cos·′=3cos. (6)y′=2cos x·(cos x)′=-2cos x·sin x=-sin 2x. 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=; (2)y=x; (3)y=xcossin. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 (1)∵(ln 3x)′=×(3x)′=, ∴y′= ==. (2)y′=(x)′ =x′+x()′ =+ =. (3)∵y=xcossin =x(-sin 2x)cos 2x=-xsin 4x, ∴y′=′ =-sin 4x-cos 4x·4 =-sin 4x-2xcos 4x. 反思與感悟 (1)

6、在對函數(shù)求導(dǎo)時,應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式,對不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù),可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價變形,以達(dá)到化異求同、化繁為簡的目的. (2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程,直接運(yùn)用公式,由外及內(nèi)逐層求導(dǎo). 跟蹤訓(xùn)練2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=sin3x+sin x3; (2)y=xln(1+2x). 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 解 (1)y′=(sin3x+sin x3)′=(sin3x)′+(sin x3)′ =3sin2xcos x+cos x3·3x2 =3sin2xcos

7、 x+3x2cos x3. (2)y′=x′ln(1+2x)+x[ln(1+2x)]′ =ln(1+2x)+. 類型二 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 例3 設(shè)f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b為常數(shù)),曲線y=f(x)與直線y=x在(0,0)點相切,求a,b的值. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解 由曲線y=f(x)過(0,0)點, 可得ln 1+1+b=0,故b=-1. 由f(x)=ln(x+1)++ax+b, 得f′(x)=++a, 則f′(0)=1++a=+a, 即為曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率. 由題

8、意,得+a=,故a=0. 反思與感悟 復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題,正確的求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時注意所給點是不是切點,挖掘題目隱含條件,求出參數(shù),解決已知經(jīng)過一定點的切線問題,尋求切點是解決問題的關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練3 曲線y=esin x在點(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解 由y=esin x, 得y′=(esin x)′=cos xesin x, 即=1, 則切線方程為y-1=x-0,即x-y+1=0. 若直線l與切線平行,可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0. 兩平行線間的距離

9、d==,得c=3或c=-1. 故直線l的方程為x-y+3=0或x-y-1=0. 1.函數(shù)y=(ex+e-x)的導(dǎo)數(shù)是(  ) A.(ex-e-x) B.(ex+e-x) C.ex-e-x D.ex+e-x 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 A 解析 y′=′=(ex-e-x). 2.函數(shù)y=x2cos的導(dǎo)數(shù)為(  ) A.y′=2xcos-x2sin B.y′=2xcos-2x2sin C.y′=x2cos-2xsin D.y′=2xcos+2x2sin 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 B 解析 y

10、′=(x2)′cos+x2′ =2xcos+x2′ =2xcos-2x2sin. 3.已知函數(shù)f(x)=ln(3x-1),則f′(1)=________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案  解析 ∵f′(x)=·(3x-1)′=,∴f′(1)=. 4.函數(shù)y=2cos2x在x=處的切線斜率為________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析 由函數(shù)y=2cos2x=1+cos 2x, 得y′=(1+cos 2x)′=-2sin 2x, 所以函數(shù)在x=處的切線斜率為-2sin=-1. 5.曲線

11、y=在點(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 e2 解析 y′=, 切線的斜率k=e2, 則切線方程為y-e2=(x-4), 令x=0,得y=-e2, 令y=0,得x=2, ∴切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為×2×|-e2|=e2. 求簡單復(fù)合函數(shù)f(ax+b)的導(dǎo)數(shù) 實質(zhì)是運(yùn)用整體思想,先把簡單復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)y=f(u),u=ax+b的形式,然后再對y=f(u)與u=ax+b分別求導(dǎo),并把所得結(jié)果相乘.靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為y=f(u),u=ax+b的形式是關(guān)鍵.

12、 一、選擇題 1.下列函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)的是(  ) A.y=-x3-+1 B.y=cos C.y= D.y=(2x+3)4 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 復(fù)合函數(shù)的判斷 答案 A 解析 A中的函數(shù)是一個多項式函數(shù),B中的函數(shù)可看作函數(shù)u=x+,y=cos u的復(fù)合函數(shù),C中的函數(shù)可看作函數(shù)u=ln x,y=的復(fù)合函數(shù),D中的函數(shù)可看作函數(shù)u=2x+3,y=u4的復(fù)合函數(shù),故選A. 2.函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 D 解析 y′

13、=[(x+1)2]′(x-1)+(x+1)2(x-1)′ =2(x+1)(x-1)+(x+1)2 =3x2+2x-1, 所以y′|x=1=4. 3.設(shè)函數(shù)f(x)=(1-2x3)10,則f′(1)等于(  ) A.0 B.60 C.-1 D.-60 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 B 解析 f′(x)=10(1-2x3)9(-6x2) 所以f′(1)=10(1-2)9(-6)=60. 4.函數(shù)y=xln(2x+5)的導(dǎo)數(shù)為(  ) A.ln(2x+5)- B.ln(2x+5)+ C.2xln(2x+5) D. 考點 簡單復(fù)

14、合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 B 解析 y′=[xln(2x+5)]′ =x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′ =ln(2x+5)+x··(2x+5)′ =ln(2x+5)+. 5.設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a等于(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 y′=a-,由題意得=2,即a-1=2, 所以a=3. 6.曲線y=e-2x+1在點(0,2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(  ) A.

15、 B. C. D.1 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 A 解析 ∵=-2e-2×0=-2,∴曲線在點(0,2)處的切線方程為y=-2x+2. 由得x=y(tǒng)=, ∴A, 則圍成的三角形的面積為××1=. 7.已知點P在曲線y=上,α為曲線在點P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是(  ) A. B. C. D. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 D 解析 y′== =. ∵ex+≥2, ∴ex++2≥4, ∴y′∈[-1,0),即tan α∈[-1,0), ∴α∈.

16、 二、填空題 8.函數(shù)y=sin 2xcos 3x的導(dǎo)數(shù)是________________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x 解析 ∵y=sin 2xcos 3x, ∴y′=(sin 2x)′cos 3x+sin 2x(cos 3x)′ =2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 9.曲線y=xex-1在點(1,1)處切線的斜率為________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 2 解析 y′=ex-1+xex-1=(x+1)ex-1,

17、 故曲線在點(1,1)處的切線斜率為(1+1)e1-1=2. 10.若y=f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,則a=________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 答案 1 解析 令u=2x+a, 則yx′=y(tǒng)u′·ux′=(u2)′(2x+a)′=4(2x+a), 則f′(2)=4(2×2+a)=20,∴a=1. 11.若曲線y=e-x上點P處的切線平行于直線2x+y+1=0,則點P的坐標(biāo)是________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 (-ln 2,2) 解析 設(shè)P(x0,), ==-2,

18、得x0=-ln 2, ∴P(-ln 2,2). 12.已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 2 解析 設(shè)切點坐標(biāo)是(x0,x0+1), 依題意有 由此得x0=-1,a=2. 三、解答題 13.曲線y=e2xcos 3x在點(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解 由y′=(e2xcos 3x)′ =(e2x)′cos 3x+e2x(cos 3x)′ =2e2xcos 3

19、x+e2x(-3sin 3x) =e2x(2cos 3x-3sin 3x), 得=2. 則切線方程為y-1=2(x-0), 即2x-y+1=0. 若直線l與切線平行,可設(shè)直線l的方程為 2x-y+c=0, 兩平行線間的距離d==,得c=6或c=-4. 故直線l的方程為2x-y+6=0或2x-y-4=0. 四、探究與拓展 14.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程是________. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 答案 2x-y=0 解析 設(shè)x>0,則-x<0,f(-x

20、)=ex-1+x. 因為f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=ex-1+x,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=2,即所求的切線方程為y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 15.求曲線y=ln(2x-1)上的點到直線l:2x-y+3=0的最短距離. 考點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 題點 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 解 作出直線l:2x-y+3=0和曲線y=ln(2x-1)的圖象(圖略)可知它們無公共點,所以平移直線l,當(dāng)l與曲線相切時,切點到直線l的距離就是曲線上的點到直線l的最短距離,y′=(2x-1)′=. 設(shè)切點為P(x0,y0), 所以=2,所以x0=1, 所以y0=ln(2×1-1)=0,P(1,0). 所以曲線y=ln(2x-1)上的點到直線l:2x-y+3=0的最短距離為P(1,0)到直線l:2x-y+3=0的距離, 最短距離d===. 12

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