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1、2022年高考數(shù)學(xué) 考試大綱解讀 專題05 立體幾何(含解析)理
考綱原文
(三) 立體幾何初步
1.空間幾何體
(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).
(2)能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.
(3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式.
(4)會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).
(5)了解球、棱柱、棱錐、
2、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式.
2.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義,并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.
? 公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).
公理2:過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面. 格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為
A. B.
C. D.
【答案】B
【名師點(diǎn)睛】在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí),要從三個(gè)視圖綜合考慮,根據(jù)三視圖的規(guī)則,空間幾
3、何體的可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為實(shí)線,不可見(jiàn)輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí),一般是以正視圖和俯視圖為主,結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解.
考向二 球的組合體
樣題4 (2017新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理科)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示:
由題意可得:,
結(jié)合勾股定理,底面半徑,
4、由圓柱的體積公式,可得圓柱的體積是,故選B.
【名師點(diǎn)睛】(1)求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,利用相應(yīng)體積公式求解;(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.
樣題5 (2017江蘇)如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 .
【答案】
【解析】設(shè)球半徑為,則.故答案為.
【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略:①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解;②若所給定的幾
5、何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.
考向三 空間線面的位置關(guān)系
樣題6 已知α,β是平面,m、n是直線,給出下列命題:
①若m⊥α,m?β,則α⊥β;
②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β;
③如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交;
④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β.
其中命題正確的是__________.
【答案】①④
樣題7 (2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理科)如圖,四邊形為正方形,分別為的中點(diǎn),以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面平面;
(2)求與平面所成
6、角的正弦值.
【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足為H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閥軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H?xyz.
【名師點(diǎn)睛】高考對(duì)空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:①求異面直線所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角;②求直線與平面所成的角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角;③求二面角,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
7、
考向四 空間角和距離
樣題8 (2018新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理科)在長(zhǎng)方體中,,,則異面直線與所成角的余弦值為
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】用一個(gè)與原長(zhǎng)方體相同的長(zhǎng)方體拼到原長(zhǎng)方體的前面,如圖,則,連接,易求得,,則是異面直線與所成的角,
由余弦定理可得.故選C.
【名師點(diǎn)睛】平移法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過(guò)平移直線,把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決,具體步驟如下:
①平移:平移異面直線中的一條或兩條,作出異面直線所成的角;
②認(rèn)定:證明作出的角就是所求異面直線所成的角;
③計(jì)算:求該角的值,常利用解三角形;
④取舍:由異面直線所成的角
8、的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.
樣題9 a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論:
①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成30°角;
②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),AB與b成60°角;
③直線AB與a所成角的最小值為45°;
④直線AB與a所成角的最大值為60°.
其中正確的是________.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))
【答案】②③
【解析】設(shè).由題意,是以AC為軸,BC為底面半徑的圓
9、錐的母線,由,又AC⊥圓錐底面,所以在底面內(nèi)可以過(guò)點(diǎn)B,作,交底面圓于點(diǎn)D,如圖所示,連接DE,則DE⊥BD,,連接AD,等腰中,,當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí),,故,又在中,,過(guò)點(diǎn)B作BF∥DE,交圓C于點(diǎn)F,連接AF,由圓的對(duì)稱性可知,為等邊三角形,,即AB與b成60°角,②正確,①錯(cuò)誤.
由圖可知③正確;很明顯,可以滿足平面ABC⊥直線a,則直線與所成角的最大值為90°,④錯(cuò)誤.故正確的是②③.
【名師點(diǎn)睛】(1)平移直線法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過(guò)平移直線,把異面問(wèn)題化歸為共面問(wèn)題來(lái)解決,具體步驟如下:
①平移:平移異面直線中的一條或兩條,作出異面直線所成的角;
②認(rèn)定:證明作出的角就是所求異面直線所成的角;
③計(jì)算:求該角的值,常利用解三角形;
④取舍:由異面直線所成的角的取值范圍是,可知當(dāng)求出的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角.
(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍.