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1、2022高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題8 解析幾何 第1講 基礎(chǔ)小題部分增分強化練 理
一、選擇題
1.已知橢圓的中心在原點,離心率e=,且它的一個焦點與拋物線y2=-4x的焦點重合,則此橢圓方程為 ( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
解析:依題意,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),由已知可得拋物線的焦點為(-1,0),所以c=1,又離心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以橢圓方程為+=1,故選A.
答案:A
2.若橢圓+=1(a>b>0)的右焦點F是拋物線y2=4x的焦點,兩曲線的一個交點為P,且|P
2、F|=4,則該橢圓的離心率為 ( )
A. B.
C. D.
解析:設(shè)P(x,y),由題意,得F(1,0),因為|PF|=x+1=4,所以x=3,y2=12,則+=1,且a2-1=b2,解得a2=11+4,即a=+2,則該橢圓的離心率e===.故選A.
答案:A
3.若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ( )
A.+y2=1
B.+y2=1或+=1
C.+=1
D.以上答案都不對
解析:直線與坐標(biāo)軸的交點為(0,1),(-2,0),
由題意知當(dāng)焦點在x軸上時,c=2,b=1,
∴a2=5,所求橢圓的
3、標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.
當(dāng)焦點在y軸上時,b=2,c=1,
∴a2=5,所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
答案:B
4.O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為 ( )
A.2 B.2
C.2 D.4
解析:由題意知,拋物線的焦點F(,0),設(shè)P(xP,yP),結(jié)合拋物線的定義及|PF|=4,可知xP=3,代入拋物線方程求得yP=2,所以S△POF=·|OF|·yP=2.
答案:C
5.已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左,右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為
4、 ( )
A. B.
C. D.2
解析:因為MF1與x軸垂直,所以|MF1|=.又sin∠MF2F1=,所以=,即|MF2|=3|MF1|.由雙曲線的定義得2a=|MF2|-|MF1|=2|MF1|=,所以b2=a2,所以c2=b2+a2=2a2,所以離心率e==.
答案:A
6.(2018·高考北京卷)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點P(cos θ,sin θ)到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)θ,m變化時,d的最大值為 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:由題意可得d=
=
=
=(其中cos φ=,sin φ=),
∵-1≤sin(θ-φ)≤1,
5、
∴≤d≤,=1+,
∴當(dāng)m=0時,d取最大值3,故選C.
答案:C
7.橢圓C:+y2=1(a>0)的左、右焦點分別為F1、F2,P為橢圓上異于端點的任意一點,PF1,PF2的中點分別為M,N.O為坐標(biāo)原點,四邊形OMPN的周長為2,則△PF1F2的周長是 ( )
A.2(+) B.+2
C.+ D.4+2
解析:因為O,M分別為F1F2和PF1的中點,所以O(shè)M∥PF2,且|OM|=|PF2|,同理,ON∥PF1,且|ON|=|PF1|,所以四邊形OMPN為平行四邊形,由題意知,|OM|+|ON|=,故|PF1|+|PF2|=2,即2a=2,a=,由a2=b
6、2+c2知c2=a2-b2=2,c=,所以|F1F2|=2c=2,故△PF1F2的周長為2a+2c=2+2,選A.
答案:A
8.已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點.P為C上一點,且PF⊥x軸.過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為
( )
A. B.
C. D.
解析:如圖所示,由題意得A(-a,0),B(a,0),F(xiàn)(-c,0).
設(shè)E(0,m),由PF∥OE,得=,
則|MF|=.①
又由OE∥MF,得=,
則|MF|=.②
由①
7、②得a-c=(a+c),即a=3c,
∴e==.故選A.
答案:A
9.已知點F是拋物線C:y=ax2(a≠0)的焦點,點A在拋物線C上,則以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是 ( )
A.相離 B.相交
C.相切 D.無法確定
解析:拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y(tǒng)(a≠0),焦點為F(0,).過點A作準(zhǔn)線y=-的垂線,垂足為A1,AA1交x軸于點A2(圖略),根據(jù)拋物線的定義得|AA1|=|AF|.由梯形中位線定理得線段AF的中點到x軸的距離為d=(|OF|+|AA2|)=(+|AA1|-)=|AF|,故以線段AF為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相切,故選C.
8、答案:C
10.(2018·高考天津卷)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
解析:由d1+d2=6,得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3,所以b=3.因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,所以=2,所以=4,所以=4,解得a2=3,所以雙曲線的方程為-=1,故選C.
答案:C
11.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點,離心率為,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點
9、重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點,則|AB|= ( )
A.3 B.6
C.9 D.12
解析:因為e==,y2=8x的焦點為(2,0),所以c=2,a=4,故橢圓方程為+=1,將x=-2代入橢圓方程,解得y=±3,所以|AB|=6.
答案:B
二、填空題
12.若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是________.
解析:由于拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準(zhǔn)線為x=-1,設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),則x+1=10,所以x=9.故M到y(tǒng)軸的距離是9.
答案:9
13.已知拋物線Γ:y2=4x的焦點為F,P是Γ的準(zhǔn)線上一點,Q
10、是直線PF與Γ的一個交點.若=2,則直線PF的方程為________________.
解析:由拋物線y2=4x可得焦點坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,
設(shè)P(-1,yP),Q(xQ,yQ),由=2,
得又因為y=4xQ,
則易知yP=±2,即P(-1,2)或P(-1,-2).當(dāng)P(-1,2)時,直線PF的方程為x+y-=0,當(dāng)P(-1,-2)時,直線PF的方程為x-y-=0,所以直線PF的方程為x+y-=0或x-y-=0.
答案:x+y-=0或x-y-=0
14.(2018·高考浙江卷)已知點P(0,1),橢圓+y2=m(m>1)上兩點A,B滿足=2,則當(dāng)m=______
11、__時,點B橫坐標(biāo)的絕對值最大.
解析:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由=2,得
即x1=-2x2,y1=3-2y2.
因為點A,B在橢圓上,所以
得y2=m+,所以x=m-(3-2y2)2=-m2+m-=-(m-5)2+4≤4,所以當(dāng)m=5時,點B橫坐標(biāo)的絕對值最大,最大值為2.
答案:5
15.(2018·高考全國卷Ⅲ)已知點M(-1,1)和拋物線C:y2=4x,過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,B兩點.若∠AMB=90°,則k=________.
解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則
∴y-y=4(x1-x2),∴k==.
設(shè)AB中點M′(x0,y0),拋物線的焦點為F,分別過點A,B作準(zhǔn)線x=-1的垂線,垂足為A′,B′,
則|MM′|=|AB|=(|AF|+|BF|)
=(|AA′|+|BB′|).
∵M′(x0,y0)為AB中點,
∴M為A′B′的中點,∴MM′平行于x軸,
∴y1+y2=2,∴k=2.
答案:2