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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測
1．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到該拋物線的焦點的距離是(B)
A．4 B．6
C．8 D．12
因為y2＝8x的焦點F(2,0)，準線x＝－2，
由P到y(tǒng)軸的距離為4知，P到準線的距離為6，
由拋物線的定義知P到焦點F的距離為6.
2．(2013·新課標卷Ⅰ)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4，則△POF的面積為(C)
A．2 B．2
C．2 D．4
設P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4，
所以x0＝3，所以y＝4x0＝4×
2、3＝24，
所以|y0|＝2，因為F(，0)，
所以S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.
3．如果P1，P2，…，Pn是拋物線C：y2＝4x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，…，xn，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若x1＋x2＋…＋xn＝10，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(A)
A．n＋10 B．n＋20
C．2n＋10 D．2n＋20
由拋物線的定義可知|PiF|＝xi＋＝xi＋1，
所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝10＋n.
4．(2016·新課標卷Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k>0)與
3、C交于點P，PF⊥x軸，則k＝(D)
A. B．1
C. D．2
因為y2＝4x，所以F(1,0)．又因為曲線y＝(k>0)與C交于點P，PF⊥x軸，所以P(1,2)．將點P(1,2)的坐標代入y＝(k>0)得k＝2.故選D.
5．(2018·廣東七校聯(lián)考)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，若|AF|＝3，則|BF|＝ .
設A，B的橫坐標分別為xA，xB，
由拋物線的定義可知|AF|＝xA＋＝xA＋1＝3，
所以xA＝2，
又AB是拋物線的焦點弦，xA，xB滿足xA·xB＝＝1，
所以xB＝，所以|BF|＝xB＋＝＋1＝.
6．(2016·
4、湖南省六校聯(lián)考)若以雙曲線－＝1(b>0)的左、右焦點F1，F(xiàn)2和點M(1，)為頂點的三角形為直角三角形，則y2＝4bx的焦點坐標為 (1,0) .
顯然點M(1，)為直角頂點，
所以|OM|＝＝|F1F2|＝c，所以b＝1.
故拋物線為y2＝4x，其焦點為(1,0)．
7．已知斜率為1的直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點．
(1)求直線l的方程(用p表示)；
(2)若設A(x1，y1)，B(x2，y2)，求證：|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若|AB|＝4，求拋物線方程．
(1)因為拋物線的焦點F的坐標為(，0)，
又因為直
5、線l的斜率為1，
所以直線l的方程為：y＝x－.
(2)證明：過點A，B分別作準線的垂線AA′，BB′，交準線于A′，B′，
則由拋物線的定義得：
|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|
＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3)由|AB|＝4，得x1＋x2＋p＝4，
直線y＝x－與拋物線方程聯(lián)立，
?x2－3px＋＝0，
由韋達定理，得x1＋x2＝3p，代入x1＋x2＋p＝4，
解得p＝1，故拋物線方程為y2＝2x.
8．(2017·新課標卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上
6、，且MN⊥l，則M到直線NF的距離為(C)
A. B．2
C．2 D．3
拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線方程為x＝－1.由直線方程的點斜式可得直線MF的方程為y＝(x－1)．
聯(lián)立得方程組解得或
因為點M在x軸的上方，所以M(3,2)．
因為MN⊥l，所以N(－1,2)．
所以|NF|＝ ＝4，
|MF|＝＝4，
|MN|＝ ＝4.
所以△MNF是邊長為4的等邊三角形．
所以點M到直線NF的距離為2.
9．已知以F為焦點的拋物線y2＝4x上的兩點A，B滿足＝2，則弦AB的中點到拋物線準線的距離為 .
設AB的中點為C，AB的延長線與準線相交于
7、D，
設A，B，C，F(xiàn)在準線上的投影分別為A′，B′，C′，F(xiàn)′，設FB＝t，則AF＝2t，
由拋物線的定義，知AA′＝2t，BB′＝t，
所以BB′為△DA′A的中位線，所以BD＝3t，
由△DF′F∽△DC′C，得＝，
所以＝，解得C′C＝.
10．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；
(2)已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.
①求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)；
②求p的取值范圍．
(1)拋物線C：y2＝2
8、px(p>0)的焦點為(，0)，
由點(，0)在直線l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，
即p＝4.所以拋物線C的方程為y2＝8x.
(2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，線段PQ的中點M(x0，y0)．
因為點P和Q關于直線l對稱，所以直線l垂直平分線段PQ，于是直線PQ的斜率為－1，則可設其方程為y＝－x＋b.
①證明：由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)
因為P和Q是拋物線C上的相異兩點，所以y1≠y2，
從而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化簡得p＋2b>0.
方程(*)的兩根為y1,2＝－p±，
從而y0＝＝－p.
因為M(x0，y0)在直線l上，所以x0＝2－p.
因此，線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)．
②因為M(2－p，－p)在直線y＝－x＋b上，
所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.
由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.
因此，p的取值范圍是(0，)．
2022屆高考數(shù)學總復習 第九單元 解析幾何 第60講 拋物線檢測
