2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第57講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系檢測

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元 解析幾何 第57講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系檢測 1．圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點(diǎn)的充要條件是(C) A．k∈(－，) B．k∈(－∞，－)∪(，＋∞) C．k∈(－，) D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞) 　　 因?yàn)橹本€方程的一般式為kx－y＋2＝0， 由d＝>1，得k∈(－，)． 2．在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為(B) A. 5 B．10 C. 15 D．20 最長弦為圓的直徑2，最短弦為垂直于過(0,1)點(diǎn)和圓心的直徑的弦，圓心(

2、1,3)與點(diǎn)(0,1)的距離為＝，所以最短弦長為2＝2. 所以四邊形ABCD的面積為×2××2＝10. 3．(2015·重慶卷)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸．過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝(C) A．2 B．4 C．6 D．2 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，所以圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上， 所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)． 所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2， 所以|AB|2＝40－4＝36，所以|AB|

3、＝6. 4．(2016·山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(B) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 (方法一)由得兩交點(diǎn)為 (0,0)，(－a，a)． 因?yàn)閳AM截直線所得線段的長度為2， 所以＝2.又a>0，所以a＝2. 所以圓M的方程為x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圓心M(0,2)，半徑r1＝2. 又圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心N(1,1)，半徑r2＝1， 所以|MN|＝＝. 因?yàn)閞1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|M

4、N|<3，所以兩圓相交． (方法二)因?yàn)閤2＋y2－2ay＝0(a>0)?x2＋(y－a)2＝a2(a>0)， 所以M(0，a)，r1＝a.依題意，有＝，解得a＝2. 以下同方法一． 5．將圓x2＋y2＝1沿x軸正向平移1個單位后得到圓C，則圓C的方程是　(x－1)2＋y2＝1　，若過點(diǎn)(3,0)的直線l和圓C相切，則直線l的斜率為　±　. 將圓x2＋y2＝1沿x軸正向平移1個單位，將方程中x換為x－1，得到圓C的方程為(x－1)2＋y2＝1，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)， 由d＝＝1得k＝±. 6．(2016·新課標(biāo)卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于

5、A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝　4　. 如圖所示， 因?yàn)橹本€AB的方程為x－y＋6＝0， 所以kAB＝，所以∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中，因?yàn)閨OB|＝2，所以|OD|＝2. 取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OH⊥AB， 所以O(shè)H為直角梯形ABDC的中位線， 所以|OC|＝|OD|，所以|CD|＝2|OD|＝2×2＝4. 7．(2017·新課標(biāo)卷Ⅲ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)．當(dāng)m變化時，解答下列問題： (1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由．

6、 (2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值． (1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況．理由如下： 設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2.又點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為·＝－， 所以不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況． (2)證明：BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，可得BC的中垂線方程為y－＝x2(x－)． 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯(lián)立 又x＋mx2－2＝0，可得 所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(－，－)，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2?。?，

7、即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值． 8．直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是(B) A．[－，0] B．[－，] C．[－，] D．[－，0] 因?yàn)閳A心(2,3)到直線y＝kx＋3的距離d＝， 所以|MN|＝2＝2≥2， 解得3k2≤1，即k∈[－，]． 9．若兩圓C1：x2＋y2＝1，C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則實(shí)數(shù)a＝　±2或0　. 當(dāng)兩圓外切時，C1C2＝＝5＋1， 所以a＝±2； 當(dāng)兩圓內(nèi)切時，C1C2＝＝5－1，所以a＝0. 所以a＝±2或0. 10

8、．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． (1)由題意知，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得C(3,2)， 于是切線的斜率必存在． 設(shè)過A(0,3)的圓C的切線的方程為y＝kx＋3. 由題意，得＝1，解得k＝0或k＝－. 故所求切線的方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，則C(a,2(a－2))， 所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|＝2|MO|， 所以＝2. 化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4. 所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，半徑為2的圓上． 由題意知，點(diǎn)M(x，y)在圓C上， 所以圓C與圓D有公共點(diǎn)， 則|2－1|≤|CD|≤|2＋1|，即1≤≤3， 解得0≤a≤. 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為[0，]．