山東省德州市2022年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí) 重點(diǎn)題型訓(xùn)練 大題加練（一）

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1、山東省德州市2022年中考數(shù)學(xué)同步復(fù)習(xí) 重點(diǎn)題型訓(xùn)練 大題加練（一） 1．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題： 如圖1，AC，BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，則線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？ 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的思路： 如圖2，延長(zhǎng)CB到E，使BE＝CD，連接AE，證得△ABE≌△ADC，從而容易證明△ACE是等邊三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD. 小亮展示了另一種正確的思路： 如圖3，將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使AB與AD重合，從而容易證明△ACF是等邊三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.

2、 在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： (1)小穎提出：如圖4，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小穎提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明； (2)小華提出：如圖5，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改為“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝30°”，其他條件不變，那么線段BC，CD，AC三者之間有何等量關(guān)系？針對(duì)小華提出的問(wèn)題，請(qǐng)你寫(xiě)出結(jié)論，并給出證明． 2．【問(wèn)題情境】 在△A

3、BC中，BA＝BC，∠ABC＝α(0°＜α＜180°)，點(diǎn)P為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，連接AP，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ，旋轉(zhuǎn)角為α)，連接CQ. 【特例分析】 (1)當(dāng)α＝90°，點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)P作PF∥AC交直線AB于點(diǎn)F，如圖1，易得圖中與△APF全等的一個(gè)三角形是________，∠ACQ＝________°； 【拓展探究】 (2)當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上，AB∶AC＝m∶n時(shí)，如圖2，試求線段BP與CQ的比值； 【問(wèn)題解決】 (3)當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CQ的長(zhǎng)． 參考答

4、案 1．解：(1)BC＋CD＝AC. 證明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E，使DE＝BC，連接AE. ∵∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝90°. ∵∠ACB＝∠ACD＝45°，∴∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴CE＝AC. ∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC， ∴BC＋C

5、D＝AC. (2)BC＋CD＝AC. 證明如下：如圖，延長(zhǎng)CD至E，使DE＝BC. ∵∠ABD＝∠ADB＝30°， ∴AB＝AD，∠BAD＝180°－∠ABD－∠ADB＝120°. ∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠ACB＋∠ACD＝60°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ADC＋∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE. 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴∠ACB＝∠AED＝30°，AC＝AE， ∴∠AEC＝30°. 如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CE于F， ∴CE＝2CF. 在Rt△ACF中，∠ACD＝3

6、0°，CF＝AC·cos∠ACD＝AC， ∴CE＝2CF＝AC. ∵CE＝CD＋DE＝CD＋BC， ∴BC＋CD＝AC. 2．解：(1)△PQC　90 (2)如圖，過(guò)P作PF∥AC，交BA的延長(zhǎng)線于F，則＝. 又∵AB＝BC，∴AF＝CP. ∵∠FAP＝∠ABC＋∠APB＝α＋∠APB，∠CPQ＝∠APQ＋∠APB＝α＋∠APB， ∴∠FAP＝∠CPQ. 由旋轉(zhuǎn)可得PA＝PQ， ∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ. ∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP， ∴＝， ∴＝＝＝＝. (3)線段CQ的長(zhǎng)為2或8.理由如下： 如圖，當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)， ∠C

7、PQ＝∠APQ－∠APB＝60°－30°＝30°， ∴∠APC＝∠QPC. 又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC， ∴CQ＝AC. 又∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC－∠APB＝30°， ∴BP＝AB＝BC＝PC＝2， ∴QC＝AC＝BC＝2. 如圖，當(dāng)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AQ. 由旋轉(zhuǎn)可得AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°， ∴△APQ是等邊三角形， ∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP. 又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°， ∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠CPA， ∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ， ∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°， ∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8. 綜上所述，線段CQ的長(zhǎng)為2或8.