山東省濱州市2022中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題

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1、山東省濱州市2022中考數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用習(xí)題 1．(xx·衡陽中考)如圖，已知直線y＝－2x＋4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A，B，拋物線過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D. (1)若拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對稱軸交AB于點(diǎn)N. ①求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)； ②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由； (2)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時，是否存在這樣的拋物線，使得以B，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

2、 2．(xx·棗莊中考)如圖1，已知二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)，連接AB，AC. (1)請直接寫出二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的解析式； (2)判斷△ABC的形狀，并說明理由； (3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點(diǎn)N的坐標(biāo)； (4)如圖2，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)B，C重合)，過點(diǎn)N作NM∥AC，交AB于點(diǎn)M，當(dāng)△AMN面積最大時，求此時點(diǎn)N的坐標(biāo)． 圖1 圖2 3.(xx·隨州中考)如圖1，拋物線C1：y＝ax2－2

3、ax＋c(a＜0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC＝3OA，拋物線C1的頂點(diǎn)為G. (1)求出拋物線C1的解析式，并寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)； (2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個單位，得到拋物線C2，設(shè)C2與x軸的交點(diǎn)為A′，B′，頂點(diǎn)為G′，當(dāng)△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值； (3)在(2)的條件下，如圖3，設(shè)點(diǎn)M為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2于P，Q兩點(diǎn)，試探究在直線y＝－1上是否存在點(diǎn)N，使得以P，Q，N為頂點(diǎn)的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)：若不存在，請說

4、明理由． 4．(xx·江西中考)小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時，經(jīng)歷了如下過程： 求解體驗(yàn)： (1)已知拋物線y＝－x2＋bx－3經(jīng)過點(diǎn)(－1，0)，則b＝________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為________，該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0，1)成中心對稱的拋物線表達(dá)式是________． 抽象感悟： 我們定義：對于拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以y軸上的點(diǎn)M(0，m)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對稱的拋物線y′，則我們又稱拋物線y′為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心． (2)已知拋物線y＝－x2－2x＋5關(guān)于點(diǎn)(0，m)的衍生拋物線為y′，若這兩條拋物線有交點(diǎn)

5、，求m的取值范圍． 問題解決： (3)已知拋物線y＝ax2＋2ax－b(a≠0)． ①若拋物線y的衍生拋物線為y′＝bx2－2bx＋a2(b≠0)，兩拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)； ②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)(0，k＋12)的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)(0，k＋22)的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)(0，k＋n2)的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…(n為正整數(shù))．求AnAn＋1的長(用含n的式子表示)． 參考答案 1．解：(1)①如圖， ∵y＝－2x2＋2x＋4＝－2(x－)2＋， ∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，

6、)． 當(dāng)x＝時，y＝－2×＋4＝3， 則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(，3)． ②不存在．理由如下： MN＝－3＝. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，－2m＋4)，則D(m，－2m2＋2m＋4)， ∴PD＝－2m2＋2m＋4－(－2m＋4)＝－2m2＋4m. ∵PD∥MN， 當(dāng)PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形， 即－2m2＋4m＝，解得m1＝(舍去)，m2＝， 此時P點(diǎn)坐標(biāo)為(，1)． ∵PN＝＝，∴PN≠M(fèi)N， ∴平行四邊形MNPD不為菱形， ∴不存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形． (2)存在． 如圖， OB＝4，OA＝2，則AB＝＝2. 當(dāng)x＝1時，y＝－2x＋4＝2，則P

7、(1，2)， ∴PB＝＝. 設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋4， 把A(2，0)代入得4a＋2b＋4＝0，解得b＝－2a－2， ∴拋物線的解析式為y＝ax2－2(a＋1)x＋4. 當(dāng)x＝1時，y＝ax2－2(a＋1)x＋4＝a－2a－2＋4＝2－a，則D(1，2－a)， ∴PD＝2－a－2＝－a. ∵DC∥OB，∴∠DPB＝∠OBA， ∴當(dāng)＝時，△PDB∽△BOA，即＝， 解得a＝－2， 此時拋物線的解析式為y＝－2x2＋2x＋4； 當(dāng)＝時，△PDB∽△BAO，即＝， 解得a＝－， 此時拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4. 綜上所述，滿足條件的拋物線的解析式為

8、y＝－2x2＋2x＋4或y＝－x2＋3x＋4. 2．解：(1)y＝－x2＋x＋4. 提示：∵二次函數(shù)y＝ax2＋x＋c的圖象與y軸交于點(diǎn)A(0，4)，與x軸交于點(diǎn)B，C，點(diǎn)C坐標(biāo)為(8，0)， ∴解得 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋x＋4. (2)△ABC是直角三角形．理由如下： 令y＝0，則－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝8，x2＝－2， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)． 在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20， 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80. 又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋8

9、0＝102＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． (3)∵A(0，4)，C(8，0)，∴AC＝＝4. ①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N，此時N的坐標(biāo)為(－8，0)； ②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點(diǎn)N，此時N的坐標(biāo)為(8－4，0)或(8＋4，0)； ③作AC的垂直平分線，交x軸于點(diǎn)N，此時N的坐標(biāo)為(3，0)． 綜上所述，若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動，當(dāng)以點(diǎn)A，N，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)． (4)設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n，0)，則BN＝n＋2. 如圖，過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D， ∴M

10、D∥OA，∴△BMD∽△BAO， ∴＝. ∵M(jìn)N∥AC，∴＝，∴＝. ∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)． ∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD ＝(n＋2)×4－×(n＋2)2 ＝－(n－3)2＋5， 當(dāng)n＝3時，S△AMN最大， ∴當(dāng)△AMN面積最大時，N點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)． 3．解：(1)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∴OA＝1. ∵OC＝3OA，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)． 將A，C點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2－2ax＋c得 解得 ∴拋物線C1的解析式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，4)．

11、 (2)設(shè)拋物線C2的解析式為y＝－x2＋2x＋3－k， 即y＝－(x－1)2＋4－k. 如圖，過點(diǎn)G′作G′D⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)B′D＝m. ∵△A′B′G′為等邊三角形， ∴G′D＝B′D＝m， 則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(m＋1，0)，點(diǎn)G′的坐標(biāo)為(1，m)． 將點(diǎn)B′，G′的坐標(biāo)代入y＝－(x－1)2＋4－k得 解得(舍)或 ∴k＝1. (3)存在． M1(，0)，N1(，－1)；M2(，0)，N2(1，－1)；M3(4，0)，N3(10，－1)；M4(4，0)，N4(－2，－1)． 4．解：(1)－4　(－2，1)　y＝x2－4x＋5 (2)∵拋物線y＝－x2－2x

12、＋5＝－(x＋1)2＋6，① ∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，6)． 拋物線上取點(diǎn)(0，5)， ∴點(diǎn)(－1，6)和(0，5)關(guān)于點(diǎn)(0，m)的對稱點(diǎn)為(1，2m－6)和(0，2m－5)， 設(shè)衍生拋物線為y′＝a(x－1)2＋2m－6， ∴2m－5＝a＋2m－6， ∴a＝1， ∴衍生拋物線y′＝(x－1)2＋2m－6＝x2－2x＋2m－5.② 聯(lián)立①②得x2－2x＋2m－5＝－x2－2x＋5， 整理得2x2＝10－2m. ∵這兩條拋物線有交點(diǎn)， ∴10－2m≥0，∴m≤5. (3)①拋物線y＝ax2＋2ax－b＝a(x＋1)2－a－b， ∴此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－a－

13、b)． ∵拋物線y的衍生拋物線為y′＝bx2－2bx＋a2＝b(x－1)2＋a2－b， ∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，a2－b)． ∵兩個拋物線有兩個交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)， ∴ ∴a＝0(舍)或a＝3，∴b＝－3， ∴拋物線y的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，0)，拋物線y的衍生拋物線y′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，12)， ∴衍生中心的坐標(biāo)為(0，6)． ②拋物線y＝ax2＋2ax－b的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－a－b)． ∵點(diǎn)(－1，－a－b)關(guān)于點(diǎn)(0，k＋n2)的對稱點(diǎn)為(1，a＋b＋2k＋2n2)， ∴拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)An為(1，a＋b＋2k＋2n2)． 同理An＋1(1，a＋b＋2k＋2(n＋1)2)， ∴AnAn＋1＝a＋b＋2k＋2(n＋1)2－(a＋b＋2k＋2n2)＝4n＋2.