河南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 圖形的變化微專項(xiàng)

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1、河南省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 圖形的變化微專項(xiàng) 常見 模型 結(jié)構(gòu)示例 應(yīng)用的原理 處理方法 基本思路 轉(zhuǎn)化原則 軸 對(duì) 稱 最 值 模 型 如圖,定點(diǎn)A,B在定直線l的同側(cè),在定直線l上找一動(dòng)點(diǎn)P,使PA+PB的值最小. 兩點(diǎn)之間,線段最短. 作任意一定點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),然后連接對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,得出PA+PB的最小值. ①盡量減少變量,向定點(diǎn)、定線段、定圖形“靠攏”; ②使用同一變量表達(dá)所求目標(biāo). 如圖,定點(diǎn)A,B在定直線l的異側(cè),在定直線l上找一點(diǎn)P,使|PA-PB|的值最大. 三角形的三邊關(guān)系 作任意

2、一定點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),然后作過該對(duì)稱點(diǎn)和另一定點(diǎn)的直線,交直線l于點(diǎn)P,根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊,可得|PA-PB|的最大值. 折 疊 求 最 值 模 型 如圖,點(diǎn)N為定點(diǎn),點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn),折疊圖形后. ①求A'B的最小值; ②求點(diǎn)A'到BC距離的最小值. ①平面內(nèi)的點(diǎn)與圓上距離最大和最小的點(diǎn)均在該點(diǎn)與圓心連線所在的直線上; ②垂線段最短. 以點(diǎn)N為圓心、AN的長為半徑作圓.①連接BN交☉N于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A'與該交點(diǎn)重合時(shí),A'B取最小值; ②過點(diǎn)N作BC的垂線,交☉N于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)A'與該交點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)A'到BC的距離最小. 突破點(diǎn)2折疊求最值模型

3、 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上,且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),將△CEF沿直線EF翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)P處,則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值為　　　　. ? 思路分析　在該問題中,先找到定點(diǎn)F,再以點(diǎn)F為圓心、CF的長為半徑作圓,則點(diǎn)P在該圓上運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)P到AB距離的最小值,即是求☉F上的點(diǎn)到AB的最小距離,過點(diǎn)F作AB的垂線,交☉F于一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P與該點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)P到AB的距離最小,據(jù)此求解即可. 1.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長等于BP+EP最小值的是(　　)

4、　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BC　　　　 B.CE C.AD　 　 D.AC 2.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)△CDE的周長最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為　　　　.? (第2題)　　(第3題) 3.如圖,∠AOB=45°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn),PO=5,點(diǎn)Q,R分別是OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),則△PQR周長的最小值為　　　　.? 4.如圖,菱形ABCD的邊長為2,∠DAB=60°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),則△PBE周長的最小值為　　　　.? (第4題)　　　(第5題) 5.如圖,在平

5、面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(1,5),B(3,-1),點(diǎn)M在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)AM-BM的值最大時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　　　.? 6.在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2-2x經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,-3),點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)|AD-CD|的值最大時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為　　　　.? 7.如圖,在邊長為2的菱形ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A'MN,連接A'C,則A'C的最小值為　　　　.? (第7題)　　(第8題)　　 8.如圖,CD是☉O的直徑,CD=4,∠ACD=20°,點(diǎn)B為弧AD 的中點(diǎn),點(diǎn)P是直徑C

6、D 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PA+PB的最小值為　　　　. ? 9.如圖,拋物線y=-x2+x-2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為D,在y軸上是否存在一點(diǎn)S,使得SD-SB的值最大?若存在,求出點(diǎn)S的坐標(biāo),并求出SD-SB的最大值;若不存在,請(qǐng)說明理由. 參考答案 高分突破微專項(xiàng)3　路徑長最值問題 例1　(,)　如圖,作點(diǎn)N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N',連接N'M交OA于點(diǎn)P,此時(shí)PM+PN的值最小.∵OA垂直平分NN',∠AOB=30°,∴ON=ON',∠N'ON=2∠AON=60°,∴△NON'是等邊三角形.∵點(diǎn)M是ON的中點(diǎn),點(diǎn)N(3,0),∴N

7、'M⊥ON,ON=3,OM=ON=,∴PM=OM·tan∠AON=×=,∴P(,).即要使PM+PN的值最小,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,). 例2　　當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PF的長固定不變,即PF=CF=2.故點(diǎn)P在以點(diǎn)F為圓心、以2為半徑的圓上運(yùn)動(dòng).如圖,過點(diǎn)F作FH⊥AB交☉F于點(diǎn)P,垂足為點(diǎn)H,此時(shí)PH最短,則△AFH∽△ABC,∴=.由已知得AF=4,AB=10,∴=,即FH=,∴PH=FH-FP=-2=.故點(diǎn)P到AB距離的最小值為. 強(qiáng)化訓(xùn)練 1.B　∵AB=AC,AD是中線,∴AD⊥BC,∴點(diǎn)B,C關(guān)于直線AD對(duì)稱.連接CE交AD于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),BP+EP的值最小,

8、最小值為CE的長.故選B. 2.(3,)　∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),∴OA=3,OC=4,C(0,4).∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn),∴OD=AD=.如圖,作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F,則AF=AD=,故點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,0).根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),可知直線FC與AB的交點(diǎn)就是使得△CDE的周長最小的點(diǎn)E.利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式為y=-x+4,當(dāng)x=3時(shí),y=,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,). 3.5　如圖,分別作點(diǎn)P關(guān)于OA,OB的對(duì)稱點(diǎn)M,N,連接OM,ON,MN,MN交OA,OB于點(diǎn)Q,R,此時(shí)△PQR周長最小,為MN的長.由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得,OM=ON=OP=5,∠MOA=∠POA,∠NO

9、B=∠POB,則∠MON=2∠AOB=2×45°=90°.在Rt△MON中,MN==5,即△PQR周長的最小值等于5. 4.+1　如圖,連接DE,交AC于點(diǎn)F,連接PD,易得PB=PD,∵PD+PE≥DE,∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí),PD+PE的值最小,且最小值為DE的長,易得DE=,故PB+PE的最小值為,易得BE=1,故△PBE周長的最小值為+1. 5.(,0)　如圖,作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B',連接AB'并延長與x軸交于點(diǎn)N,此時(shí)AN-BN=AN-B'N=AB',MA-MB=MA-MB'≤AB'.∵點(diǎn)B'和點(diǎn)B(3,-1)關(guān)于x軸對(duì)稱,∴B'(3,1).設(shè)直線AB'的解析式為y=k

10、x+b,將A(1,5),B'(3,1)分別代入,得解得故直線AB'的解析式為y=-2x+7,令y=0,解得x=,∴當(dāng)AM-BM的值最大時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,0). 6.(2,-6)　易知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2.如圖,作點(diǎn)C關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)C'(3,-3),作直線AC',與直線x=2交于點(diǎn)D.設(shè)直線AC'的解析式為y=kx+b,將A(4,0),C'(3,-3)分別代入,得解得故直線AC'的解析式為y=3x-12,當(dāng)x=2時(shí),y=-6,故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,-6). 7.-1　易知MA'是定值,且MA'=1,A'C的長度取最小值時(shí),點(diǎn)A'在MC上.過點(diǎn)M作MF⊥DC交CD的延長線

11、于點(diǎn)F,∵在邊長為2的菱形ABCD中,點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),∠A=60°,∴CD=AD=2,DM=AD=1,∠FDM=60°,∴FD=DM·cos 60°=,FM=DM·sin 60°=,∴FC=FD+DC=,∴MC===,∴A'C=MC-MA'=-1.故A'C的最小值為-1. 8.2　如圖,作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)M,則點(diǎn)M在☉O上,連接MB交CD于點(diǎn)P,則此時(shí)PA+PB取最小值,為BM.連接OB,OM.∵∠ACD=20°,點(diǎn)B為弧AD 的中點(diǎn),∴∠BOD=20°,∠DOM=40°,∴∠BOM=60°.∵OB=OM,∴△BOM是等邊三角形,∴BM=OB=CD=2,即PA+PB的最小值為2

12、. 9.如圖,作直線BD交y軸于點(diǎn)S,此時(shí)SD-SB有最大值,最大值等于BD的長. ∵y=-x2+x-2=-(x-)2+, ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,). 將y=0代入y=-x2+x-2, 得-x2+x-2=0,解得x1=1,x2=4, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0). 設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b, 將B(1,0),D(,)分別代入, 得解得 故直線BD的解析式為y=x-, ∴點(diǎn)S的坐標(biāo)為(0,-). 過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E,則BE=,DE=. 在Rt△BDE中,BD===. 故在y軸上存在一點(diǎn)S,使得SD-SB的值最大,最大值為,此時(shí)點(diǎn)S的坐標(biāo)為(0,-).