指數(shù)函數(shù)教案 (2)

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1、《指數(shù)函數(shù)》教學(xué)教案設(shè)計 一、相關(guān)背景介紹 本課選自高中課程標(biāo)準實驗教科書《數(shù)學(xué)》（必修一）（蘇教版）指數(shù)函數(shù)是高中新引進 的第一個基本初等函數(shù)，因此，先讓學(xué)生了解指數(shù)函數(shù)的實際背景，然后對指數(shù)函數(shù)概念的建立，函數(shù)圖象的繪制及基本性質(zhì)作初步的介紹。課標(biāo)要求理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，初步探索并理解指數(shù)函數(shù)有關(guān)的性質(zhì)。 本節(jié)課屬于新授課，通過引導(dǎo)，組織和探索，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中體會研究具體指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的過程和方法，如具體到一般的過程、數(shù)形結(jié)合的的方法等，使學(xué)生能更深刻理會指數(shù)函數(shù)的意義和基本性質(zhì)。 　　二、本節(jié)課教學(xué)目標(biāo) 1.知識與技能: (

2、1)掌握指數(shù)函數(shù)的概念,并能根據(jù)定義判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù).(2)能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象,并根據(jù)圖象給出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).(3)能根據(jù)單調(diào)性解決基本的比較大小的問題. 2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合指數(shù)的有關(guān)概念來理解指數(shù)函數(shù)概念，并向?qū)W生指出指數(shù)函數(shù)的形式特點，在研究指數(shù)函數(shù)的圖象時，遵循由特殊到一般的研究規(guī)律，要求學(xué)生自己作出特殊的較為簡單的指數(shù)函數(shù)的圖象，然后推廣到一般情況，類比地得到指數(shù)函數(shù)的圖象，并通過觀察圖象，總結(jié)出指數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)追謩e是，的性質(zhì)。 3.情感、態(tài)度、價值觀：使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的抽象性和嚴謹性，培養(yǎng)他們實事求是的科學(xué)態(tài)度，積極參與和勇于探索的精神. 4.重

3、難點：(1)指數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)(2)指數(shù)函數(shù)的描繪及性質(zhì) 三、課堂教學(xué)實錄 一.問題情景 問題1.某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,…,一個這樣的細胞分裂次以后,得到的細胞個數(shù)與有怎樣的關(guān)系. 問題2.有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長的一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,…,剪去次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的關(guān)系. 二.學(xué)生活動 1.思考問題1,2給出與的函數(shù)關(guān)系? 2.觀察得到的函數(shù),與函數(shù)的區(qū)別. 3.觀察函數(shù),與的相同特點. 三.建構(gòu)數(shù)學(xué)（用投影儀，把兩個例子展示到黑板上） [師]:通過問題1,2的分析同學(xué)們得出與之間

4、有怎樣的關(guān)系? [生1]:分裂一次得到2個細胞,分裂兩次得到()個細胞,分裂三次得到(),所以分裂次以后得到的細胞為個,即與之間為. [生2]:第一次剩下繩子的,第二次剩下繩子的(),第三次剩下繩子的 (),那么剪了次以后剩下的繩長為米,所以繩長與之間的關(guān)系為. （學(xué)生說完后在屏幕上展示這兩個式子） [師]:這兩個關(guān)系式能否都構(gòu)成函數(shù)呢? [生]:每一個都有唯一的與之對應(yīng),因此按照函數(shù)的定義這兩個關(guān)系都可以構(gòu)成函數(shù). [師]:（接著把打出來）既然這兩個都是函數(shù),那么同學(xué)們觀察我們得到的這兩個函數(shù),在形式上與函數(shù)有什么區(qū)別.(引導(dǎo)學(xué)生從自變量的位置觀察). [生]:前兩個函數(shù)的自

5、變量都在指數(shù)的位置上,而的自變量在底上. [師]:那么再觀察一下,與函數(shù)有什么相同點? [生]:他們的自變量都在指數(shù)的位置,而且他們的底都是常數(shù). [師]:由此我們可以抽象出一個數(shù)學(xué)模型就是我們今天要講的指數(shù)函數(shù).（在屏幕上給出定義） 定義:一般地,函數(shù) () 叫做指數(shù)函數(shù),它的定義域是. 概念解析1: [師]:同學(xué)們思考一下為什么中規(guī)定?(引導(dǎo)學(xué)生從定義域為的角度考慮).（先把，，顯示出來，學(xué)生每分析一個就顯示出一個結(jié)果） [生]:⑴若,則當(dāng)時, 沒有意義. ⑵若,則當(dāng)取分母為偶數(shù)的分數(shù)時,沒有意義.例如:.

6、 ⑶若,則,這時函數(shù)就為一個常數(shù)1沒有研究的價值了. 所以,我們規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底. [師]:很好,請坐.我們既然知道了底的取值范圍,那么看這樣一個問題: 　問題１．已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，求的取值范圍．（屏幕上給出問題） [生]:由于作為指數(shù)函數(shù)的底因此必須滿足： 　　　即 概念解析２: [師]:我們知道形如（）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)．通過觀察我們發(fā)現(xiàn)： ⑴前沒有系數(shù)，或者說系數(shù)為１．既； ⑵指數(shù)上只有唯一的自變量； ⑶底是一個常數(shù)且必須滿足：． 那么，根據(jù)分析同學(xué)們判斷下列表達式是否為指數(shù)函數(shù)？（在屏幕上給出問題２） 問題2．⑴，⑵，⑶，⑷ ⑸，⑹，⑺，⑻ [生１]

7、:（答）⑴⑶⑷為指數(shù)函數(shù)．⑵⑸⑹⑺⑻不是． [生２]: 我不同意，⑺應(yīng)該是指數(shù)函數(shù)，因為． [師]:很好，我們發(fā)現(xiàn)有些函數(shù)表面上不是指數(shù)函數(shù)，其實經(jīng)過化簡以后就變成了指數(shù)函數(shù)．所以不要僅從表面上觀察，要抓住事物的本質(zhì)． [師]:上面我們分析了指數(shù)函數(shù)的定義，那么下面我們就根據(jù)解析式來研究它的圖象和性質(zhì)． 根據(jù)解析式我們要作出函數(shù)圖象一般有哪幾個步驟？ [生]:（共同回答）列表，描點，連線． [師]：好，下面我請兩個同學(xué)到黑板上分別作出，和，的函數(shù)圖象．（等學(xué)生作好圖并點評完以后，再把這四個圖用幾何畫板在屏幕上展示出來） [師]:那么我們下面就作出函數(shù)：，， ，的圖象

8、 -３ ０ １ ２ ３ １ ２ ４ ８ ８ ４ ２ １ １ ３ ９ ９ ３ １ [師]:通過這四個指數(shù)函數(shù)的圖象，你能觀察出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質(zhì)？（先把表格在屏幕上打出來，中間要填的地方先空起來，根據(jù)學(xué)生的分析一步步展示出來） [生１]:函數(shù)的定義域都是一切實數(shù)，而且函數(shù)的圖象都位于軸上方． [師]:函數(shù)的圖象都位于軸上方與有沒有交點？隨著自變量的取值函數(shù)值的圖象與軸是什么關(guān)系？ [生１]:沒有．隨著自變量的取值函數(shù)的圖象與軸無限靠近． [師]:即函

9、數(shù)的值域是：．那么還有沒有別的性質(zhì)？ [生２]:函數(shù)、是減函數(shù)，函數(shù)、是減函數(shù)． [師]:同學(xué)們覺的他這種說法有沒有問題啊？（有）函數(shù)的單調(diào)性是在某個區(qū)間上的，因此有說明是在哪個范圍內(nèi)．又，那么上述的結(jié)論可以歸納為： [生２]:當(dāng)時，函數(shù)在上是減函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)． [師]:很好，請做！（提問［生３］）你觀察我們在作圖時的取值，能發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)？ [生３]:當(dāng)自變量取值為０時，所對的函數(shù)值為１．一般地指數(shù)函數(shù)當(dāng)自變量?。皶r，函數(shù)值恒等于１． [師]:也就是說指數(shù)函數(shù)恒過點，和底的取值沒有關(guān)系．那么你能否結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性觀察函數(shù)值和自變量之間有什么關(guān)系？ [生3]:由圖象可

10、以發(fā)現(xiàn)： 當(dāng)時，若，則；若，則. 當(dāng)時，若，則；若，則. [師]:剛才是我們通過每個函數(shù)的圖象得到共同的性質(zhì),那么同學(xué)們在觀察函數(shù)圖象之間有沒有什么聯(lián)系? [生4]: 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱,函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱,所以是偶函數(shù).(? ? ? ?) [師]:前面的結(jié)論是正確的,同學(xué)們說后面那句話對嗎? [生]:(共同回答)不對,因為函數(shù)的奇偶性是對一個函數(shù)的,所以沒有這個性質(zhì). [師]:由此我們得到一般的結(jié)論, 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱. [師]:很好,那么我們把同學(xué)們剛才歸納的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)綜合起來,放到一張表格內(nèi). 圖 象 性

11、質(zhì) 定義域 值域 定點 單調(diào)性 在上是減函數(shù) 在上是增函數(shù) 取值 情況 若，則 若，則 若，則 若，則 對稱性 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱 鞏固與練習(xí) １根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用不等號填空．（在屏幕上給出練習(xí)，讓學(xué)生口答） ⑴　　　，⑵　　　，⑶　　　，⑷　　　， ⑸　　　，⑹　　　，⑺　　　，⑻　　　． 注：這部分知識主要考察了指數(shù)函數(shù)的值域和對性質(zhì)：當(dāng)時，①若 ，則②若，則；當(dāng)時①若，則 ②若，則的應(yīng)用．這個知識點是比較重要的部分在后面的比較大小中常常用到，所以在這個地方給出這樣的一個鞏固練習(xí)還是很有必要的．

12、 四.數(shù)學(xué)運用 例1.比較大小 ⑴ ⑵ ⑶ 分析：［師］：前面我們講了指數(shù)函數(shù)，好象和這個比大小沒有關(guān)系．這幾個也不是函數(shù)那怎么比較大小呢？先不考慮這個上面講的性質(zhì)哪個可以和大小聯(lián)系起來呢？ ［生］：單調(diào)性和大小有關(guān)，我們可以借助于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性老考慮，要比較大小的兩個數(shù)可以看成指數(shù)函數(shù)當(dāng)取時對應(yīng)的函數(shù)值，再根據(jù)在是單調(diào)增的就可以比較大小了．即： 解: ⑴考慮指數(shù)函數(shù).因為 所以在上是增函數(shù).因為 所以 ［師］：很好，充分運用了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．下面的兩個小題請兩個同學(xué)上來板書．也是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)． ⑵考慮指數(shù)函數(shù).因為

13、 所以在上是減函數(shù).因為 所以 ⑶由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，而 所以 ［師］：第⑵小題和⑴一樣直接借助單調(diào)性即可解題，第⑶小題在考慮是就發(fā)現(xiàn)單調(diào)性不能直接應(yīng)用，兩個底不一樣．但是借助一個中間變量１就可以把問題解決了． 例2．⑴已知，求實數(shù)的取值范圍； 　　?、埔阎?，求實數(shù)的取值范圍． 解：⑴因為， 所以指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)． 由，可得，即的取值范圍為 ⑵因為 所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，因為 所以 由此可得，即的取值范圍為． 五.回顧小結(jié) 1.（），）．要能根據(jù)概念判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)． ２．指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、定點、單調(diào)性）． ３．利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種直觀而形象的方法，因此記憶指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時可以聯(lián)想它的圖象． 六．作業(yè) P54 1-4 7