（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專題突破 專題4 平面向量學(xué)案

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1、 專題四　平面向量 ———————命題觀察·高考定位——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁(yè)) 1．(2017·江蘇高考)如圖4－1，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1,1，，與的夾角為α，且tan α＝7，與的夾角為45°.若＝m＋n(m，n∈R)，則m＋n＝________. 圖4－1 3　[法一　因?yàn)閠an α＝7，所以cos α＝，sin α＝. 過(guò)點(diǎn)C作CD∥OB交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則＝＋，∠OCD＝45°. 又因?yàn)椋絤＋n， 所以＝m，＝n， 所以||＝m，||＝n. 在△COD中，由正弦定理得＝＝， 因?yàn)閟in ∠ODC＝sin (180

2、°－α－∠OCD) ＝sin (α＋∠OCD)＝， 即＝＝， 所以n＝，m＝，所以m＋n＝3. 法二　由tan α＝7可得cos α＝，sin α＝， 則＝＝， 由cos∠BOC＝可得＝＝， cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45° ＝×－×＝－， 則·＝－，則m－n＝，－m＋n＝1， 則m＋n＝，則m＋n＝3.] 2．(2016·江蘇高考)如圖4－2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，·＝4，·＝－1，則·的值是________． 圖4－2 　[由題意，得·＝(＋)·(＋) ＝(＋)

3、·(－＋)＝2－2 ＝||2－||2＝－1，① ·＝(＋)·(＋) ＝(＋3)·(－＋3) ＝92－2 ＝9||2－||2＝4.② 由①②得||2＝，||2＝. ∴·＝(＋)·(＋) ＝(＋2)·(－＋2)＝42－2 ＝4||2－||2＝4×－＝.] 3．(2015·江蘇高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為______． －3　[∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3.] 4．(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝

4、BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 　[由題意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.] 5．(2014·江蘇高考) 如圖4－3，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394021】 圖4－3 22　[由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因?yàn)椤ぃ?，所以· ＝2，即2－·－2＝2.又因?yàn)椋?5，＝64，所以·＝22.] [命題規(guī)律] 平面向量的命題以客觀題為主，主要考查平面向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的平行與垂直、向量的數(shù)量

5、積，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在解答題中常與三角函數(shù)相結(jié)合，或作為解題工具應(yīng)用到解析幾何問(wèn)題中． ———————主干整合·歸納拓展——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第12頁(yè)) [第1步▕ 核心知識(shí)再整合] 1．平面向量的兩個(gè)重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 2．平面向量的兩個(gè)充要條件 若兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則

6、 (1)a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的三個(gè)性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝. (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ||＝. (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角， 則cos θ＝＝. [第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破] 平面向量的線性運(yùn)算 【例1】　(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝，則AB的長(zhǎng)為________． [解析]　根據(jù)條件：·＝(＋)·(

7、＋) ＝(＋)· ＝－2＋·＋2 ＝－||2＋||＋1 ＝. ∴16||2－8||＋1＝0，解得||＝.故答案為. [答案]　 [規(guī)律方法]　向量加法：“尾首相接，首尾相連”，向量減法：“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量”． [舉一反三] (江蘇省南通中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)如圖4－4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么＝________.(用和表示) 圖4－4 －　[＝＋＋＋＝＋＋＋＝－－＋＋＝－.] 向量共線的充要條件 【例2】　(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋

8、3b，若a∥c，則實(shí)數(shù)x的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394022】 [解析]　由題意得(1，－4)∥(－2，－4＋3x)?8＝－4＋3x?x＝4. [答案]　4 [規(guī)律方法]　向量a，b(a≠0)共線的充要條件是b＝λa，λ∈R，用坐標(biāo)表示就是a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0. [舉一反三] (2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)如圖4－5，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－14，則·＝________. 圖4－5 －2　[·＝(＋)·(＋)＝·＋(－－)· ＝·＋(＋＋)·＝·＋·，

9、∴·－6×2＝－14?·＝－2.] 平面向量的數(shù)量積 【例3】　(南京市2017屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝，若·＝3，則AC的長(zhǎng)是________． [解析]?。?||＝1，||＝2；·＝3?cos θ＝， 所以2－2＝22－2?||＝. [答案]　 [規(guī)律方法]　向量a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. [舉一反三] (江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)設(shè)平面向量a＝(x,4)，b＝(y，－2)，c＝(2,1)(其中x＞0，y＞0)，若(a－

10、c)⊥(b－c)，則|a＋b|的最小值為________． 2　[∵a＝(x,4)，b＝(y，－2)，c＝(2,1)， ∴a－c＝(x－2,3)，b－c＝(y－2，－3)， 由(a－c)⊥(b－c)，得(x－2)(y－2)－9＝0， 即xy－2(x＋y)－5＝0. 又x＞0，y＞0，∴2(x＋y)＋5＝xy≤，解得x＋y≤－2(舍)，或x＋y≥10. |a＋b|＝≥＝2.] 求兩向量的夾角 【例4】　(2017屆高三七校聯(lián)考期中考試)如圖4－6，在2×4的方格紙中，若a和b是起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量，則向量2a＋b與a－b的夾角余弦值是________． 圖4－6

11、[解析]　a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以2a＋b＝(7,0)，a－b＝(－1，－3)，因此向量2a＋b與a－b的夾角余弦值是＝－. [答案]　－ [規(guī)律方法]　cos〈a，b〉＝，a2＝|a|2. [舉一反三] (泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中考試)在△ABC中，(－3)·＝0，則角A的最大值為________． 　[由題設(shè)可得accos B＋3abcos C＝0，即ccos B＝－3bcos C，也即sin Ccos B＝－3sin Bcos C，故tan C＝－3tan B，由于tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，因此3tan Atan2

12、B－2tan B＋tan A＝0，故4－12tan2A≥0，所以－≤tan A≤，所以Amax＝.] 平面向量和平面幾何的綜合問(wèn)題 【例5】　(江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)高中2017屆高三下學(xué)期期中)已知點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B(6，－3)，點(diǎn)P在直線3x－4y＋3＝0上，若滿足等式·＋2λ＝0的點(diǎn)P有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394023】 [解析]　由點(diǎn)P在直線3x－4y＋3＝0上，設(shè)P， 則＝，＝， ∴·＝(x－2)(x－6)＋2－9＝(25x2－110x＋57)， 又·＋2λ＝0， ∴(25x2－110x＋57)＋2λ＝0， 化簡(jiǎn)得25x2－

13、110x＋57＋32λ＝0， 根據(jù)題意Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)＞0， 解得λ＜2， ∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(－∞，2)． [答案] 　(－∞，2) [規(guī)律方法]　平面向量本身就具有代數(shù)和幾何的雙重特征，與平面幾何的綜合問(wèn)題是最自然最常見的問(wèn)題，在解題過(guò)程中要抓住圖形的幾何特征，充分利用幾何元素的幾何性質(zhì)解決問(wèn)題． [舉一反三] (泰州中學(xué)2016－2017年度第一學(xué)期第一 次質(zhì)量檢測(cè)文科)已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且＋2＋3＝0，則△AOB，△AOC，△BOC的面積之比等于________． 3∶2∶1　[＋2＋3＝0?＝＝＋，所以C′為AB三等分點(diǎn)(靠近B

14、)，如圖，所以S△AOC＝S△AOC′；S△BOC＝S△BOC′；S△AOC＝2S△BOC′；S△AOB＝S△AOC′＋S△BOC′，即△AOB，△AOC，△BOC的面積之比等于3S△BOC′∶2S△BOC′∶S△BOC′＝3∶2∶1.] [第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析] 1．誤把兩向量數(shù)量積大于(小于)0當(dāng)作兩向量夾角為銳角(鈍角)的充要條件 已知|a|＝，|b|＝3，a，b的夾角為45°，當(dāng)向量a＋λb與a＋b的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． [錯(cuò)解]　a·b＝|a||b|cos 45°＝3，因?yàn)橄蛄縜＋λb與a＋b的夾角為銳角，所以(a＋λb)·(a＋b)＞0，由(a＋λ

15、b)·(a＋b)＝a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0，得λ＞－，所以λ的取值范圍是. [正解]　a·b＝|a||b|cos 45°＝3，因?yàn)橄蛄縜＋λb與a＋b的夾角為銳角，所以(a＋λb)·(a＋b)＞0，由(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0，得λ＞－，當(dāng)向量a＋λb與a＋b方向相同時(shí)，λ＝1，即當(dāng)λ＝1時(shí)，雖然(a＋λb)·(a＋b)＞0，但向量a＋λb與a＋b夾角為0°，所以λ的取值范圍是∪(1，＋∞)． 2．忽視兩向量夾角的概念導(dǎo)致錯(cuò)誤 在△ABC中，＝(1，)，＝(3,0)，則角B的大小為________． [錯(cuò)解]　因?yàn)閏o

16、s B＝＝＝，且B∈(0，π)，所以B＝. [正解]　根據(jù)向量的夾角的定義，向量與的夾角應(yīng)是角B補(bǔ)角，所以cos(π－B)＝＝＝，又π－B∈(0，π)，所以π－B＝，從而B＝. 3．忽視變量取值范圍導(dǎo)致錯(cuò)誤 如圖4－7，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝2，D為BC邊上一點(diǎn)，＝λ，則·的取值范圍為________． 圖4－7 [錯(cuò)解]　·＝||||cos∠BAC＝－1，＝－， ＝＋＝＋＝＋， ·＝2－2＋·＝＝－2，因?yàn)椋溅?，所? λ∈[0,1]，當(dāng)λ＝0時(shí)，－2取最大值5，當(dāng)λ＝1時(shí)，－2，所以·的取值范圍為. [正解]　·＝||||cos∠BAC＝

17、－1，＝－， ＝＋＝＋＝＋， ·＝2－2＋·＝＝－2，因?yàn)椋溅耍驭恕蔥0，＋∞)，當(dāng)λ＝0時(shí)，－2取最大值5，當(dāng)λ→＋∞時(shí)，－2→－2取最小值，所以·的取值范圍為(－2,5]． ———————專家預(yù)測(cè)·鞏固提升——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第14頁(yè)) 1．(改編題)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若＝(＋)，則與的夾角為________． 90°　[由＝(＋)，故O，A，C三點(diǎn)共線，且O是線段AC中點(diǎn)，故AC是圓O的直徑，從而∠ABC＝90°，因此與的夾角為90°.] 2．(改編題)△ABC中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC＝，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線AC上，且

18、＝3，直線CM與BN相交于點(diǎn)P，則線段AP的長(zhǎng)為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394024】 　[法一　如圖， ＝＋ ＝＋λ ＝＋λ(＋) ＝＋λ ＝(1－λ)＋， ＝＋ ＝＋μ ＝＋μ(＋) ＝＋μ ＝(1－μ)＋， 于是 解得即＝＋， ∴||2＝(4×||2＋2×2·＋||2) ＝ ＝37，故||＝. 法二　因?yàn)锽、P、N三點(diǎn)共線，有＝x＋(1－x)＝x＋， 同理，因?yàn)镃、P、M三點(diǎn)共線，有＝y(tǒng)＋(1－y)＝＋(1－y)， 根據(jù)向量相等的充要條件，有 解得：x＝，y＝，于是，＝＋. (下同法一) 法三　以A 為原點(diǎn)，AC所在直線為

19、x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系： 由已知可得：C(15,0)，N(5,0)，B(5,5)，M， 于是BN所在直線方程為x＝5， CM所在直線方程為y＝－ (x－15)， 解得P(5,2)， 故|AP|＝＝.] 3．(新穎題)已知曲線C：x＝－，直線l：x＝6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得＋＝0，則m的取值范圍為________． [2,3]　[由＋＝0知A是PQ的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，則Q(2m－x，－y)，由題意－2≤x≤0， 2m－x＝6，解得2≤m≤3.] 4．(原創(chuàng)題)△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC 上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，則·的取值范圍是________． [－5,2]　[∵D是邊BC上的一點(diǎn)(包括端點(diǎn))， ∴可設(shè)＝λ＋(1－λ)，(0≤λ≤1)． ∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1， ∴·＝2×1×cos 120°＝－1. ∴·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝(2λ－1)·－λ2＋(1－λ)2＝－(2λ－1)－4λ－λ＋1＝－7λ＋2. ∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]． ∴·的取值范圍是[－5,2]．] 13