2019屆高考數(shù)學二輪復習 第三部分 回顧教材 以點帶面 7 回顧7 概率與統(tǒng)計學案

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1、回顧7　概率與統(tǒng)計 [必記知識] 分類加法計數(shù)原理 完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理)． 分步乘法計數(shù)原理 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)． 排列數(shù)、組合數(shù)公式及其相關(guān)性質(zhì) (1)排列數(shù)公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*)，A＝n?。絥(n－1)(n

2、－2)…·2·1(n∈N*)． [提醒])?。?）在這個公式中m，n∈N*，且m≤n，并且規(guī)定0！＝1，當m＝n時，A＝n！. （2）A＝主要有兩個作用：①利用此公式計算排列數(shù)；②對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形時常使用此公式. (2)組合數(shù)公式 C＝＝＝(m≤n，n，m∈N*)． [提醒])　（1）公式C＝主要有兩個作用：①利用此公式計算組合數(shù)；②對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和證明時，常用此公式. （2）組合數(shù)的性質(zhì),C＝C（m≤n，n，m∈N*），C＝C＋C（m≤n，n，m∈N*）. （3）排列數(shù)與組合數(shù)的聯(lián)系 A＝CA. 二項式定理 (a＋b)n＝Can＋Ca

3、n－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數(shù)C(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù)．式中的Can－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即通項為展開式的第k＋1項：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)． 二項展開式形式上的特點 (1)項數(shù)為n＋1. (2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n. (3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n. (4)二項式的系數(shù)從C，C，一

4、直到C，C. [提醒])　對于二項式定理應(yīng)用時要注意,（1）區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細.項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正. （2）運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系. （3）賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1. （4）在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b. 概率的計算公式 (1)古典概型的概率公式 P(A)＝； (2)互斥事件的概率計算公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； (3)

5、對立事件的概率計算公式 P(A)＝1－P(A)； (4)幾何概型的概率計算公式 P(A)＝. 統(tǒng)計中四個數(shù)據(jù)特征 (1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)； (2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù)．如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)； (3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)， 即＝(x1＋x2＋…＋xn)； (4)方差與標準差 方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． 標準差： s＝. 二項分布 (1)相互獨立事件的概率運算 ①事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)P(B)． ②若事件

6、A1，A2，…，An相互獨立，則這些事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． ③事件A，B相互獨立，則和，A與，與B也相互獨立． (2)條件概率P(B|A)＝的性質(zhì) ①0≤P(B|A)≤1. ②若B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． ③若A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)． (3)二項分布 如果在每次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到隨機變量ξ的概率分布列如下

7、： ξ 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數(shù)，并稱p為成功概率． [提醒])　在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P（X＝k）＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，此時稱隨機變量X服從超幾何分布. 正態(tài)分布 (1)正態(tài)分布的定義及表示 如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx(即直

8、線x＝a，直線x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (2)正態(tài)曲線的特點 ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交． ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱． ③曲線在x＝μ處達到峰值 . ④曲線與x軸之間的面積為1. ⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移． ⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． [提醒])　P（X≤a）＝1－P（X＞a）；P（X≤μ－a）＝P（X≥μ＋a）；P（a

9、＜X＜b）＝P（X＜b）－P（X≤a）. [必會結(jié)論] 求解排列問題常用的方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列產(chǎn)生的空中 先整體， 后局部 “小集團”排列問題中，先整體，后局部 除法 對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法 二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：

10、在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即C＝C. (2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當k＜時，二項式系數(shù)逐漸增大；當k＞時，二項式系數(shù)逐漸減小．當n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大． (3)各二項式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即C＋C＋…＋C＝2n. (4)奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1. 均值與方差的性質(zhì)結(jié)論 (1)均值的性質(zhì)結(jié)論 ①E(k)＝k(k為常數(shù))． ②E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ③E(X1＋X2)＝E(X1)＋

11、E(X2)． ④若X1，X2相互獨立，則E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)． (2)方差的相關(guān)性質(zhì)結(jié)論 ①D(k)＝0(k為常數(shù))． ②D(aX＋b)＝a2D(X)． ③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. ④若X1，X2，…，Xn兩兩獨立，則D(X1＋X2＋…＋Xn)＝D(X1)＋D(X2)＋…＋D(Xn)． (3)兩點分布與二項分布的均值與方差 ①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．　 ②若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． [必練習題] 1．200輛汽車通過某一段公路時的時速

12、的頻率分布直方圖如圖所示，則時速的眾數(shù)、中位數(shù)的估計值為(　　) A．62，62.5　　　　　　　　 B．65，62 C．65，63.5 D．65，65 解析：選D.由圖易知最高的矩形為第三個矩形，所以時速的眾數(shù)為65.前兩個矩形的面積為(0.01＋0.02)×10＝0.3，由于0.5－0.3＝0.2，則×10＝5，所以中位數(shù)為60＋5＝65.故選D. 2．在的展開式中，x的冪指數(shù)是非整數(shù)的項共有(　　) A．18項 B．19項 C．20項 D．21項 解析：選C.展開式的通項公式為Tr＋1＝C(x)24－r·(x)r＝Cxr(0≤r≤24，r∈N)，若x的冪指數(shù)是整數(shù)，則1

13、2－r為整數(shù)，所以r＝0，6，12，18，24，共可取5個值，因為的展開式中有25項，所以x的冪指數(shù)是非整數(shù)的項共有25－5＝20項，故選C. 3．如果的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是(　　) A．7 B．－7 C．21 D．－21 解析：選C.因為的展開式中各項系數(shù)之和為128，所以令x＝1，則2n＝128，解得n＝7，所以的展開式中第r＋1項為Tr＋1＝C(3x)7－r＝ (－1)rC37－rx，令7－r＝－3，解得r＝6，所以的系數(shù)為(－1)6C×3＝21.故選C. 4．(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40

14、 C．40 D．80 解析：選C.由二項式定理可得，展開式中含x3y3的項為x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，則x3y3的系數(shù)為40. 5．從6個盒子中選出3個來裝東西，且甲、乙兩個盒子至少有一個被選中的情況有(　　) A．16種 B．18種 C．22種 D．37種 解析：選A.可分為兩類，第一類：甲、乙兩個盒子恰有一個被選中，有CC＝12種；第二類：甲、乙兩個盒子都被選中，有CC＝4種，所以共有12＋4＝16種不同的情況，故選A. 6．學校組織學生參加社會調(diào)查，某小組共有5名男同學，4名女同學．現(xiàn)從該小組中選出3名同學分別到A，B，C三地進行

15、社會調(diào)查，若選出的同學中男女均有，則不同的安排方法有(　　) A．70種 B．140種 C．840種 D．420種 解析：選D.從9名同學中任選3名分別到A，B，C三地進行社會調(diào)查有CA種方法，3名同學全是男生或全是女生有(C＋C)A種方法，故選出的同學中男女均有的不同安排方法有CA－(C＋C)A＝420種． 7．某彩票公司每天開獎一次，從1，2，3，4四個號碼中隨機開出一個作為中獎號碼，開獎時如果開出的號碼與前一天的相同，就要重開，直到開出與前一天不同的號碼為止．如果第一天開出的號碼是4，那么第五天開出的號碼也同樣是4的所有可能的情況有(　　) A．14種 B．21種 C．24種

16、 D．35種 解析：選B.第一天開出4，第五天同樣開出4，則第二天開出的號碼有3種情況，如果第三天開出的號碼是4，則第四天開出的號碼有3種情況；如果第三天開出的號碼不是4，則第四天開出的號碼有2種情況，所以滿足條件的情況有3×1×3＋3×2×2＝21種． 8．五個人負責一個社團的周一至周五的值班工作，每人一天，則甲同學不值周一，乙同學不值周五，且甲、乙不相鄰的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由題意，總的基本事件數(shù)為五個人的全排列數(shù)A.設(shè)“甲不值周一，乙不值周五，且甲、乙不相鄰”為事件A，則事件A包含的基本事件數(shù)可按甲值班日期分類計算，當甲值周二時，有A種；當甲值周

17、三時，有A種；當甲值周四時，有2A種，當甲值周五時，有3A種．所以事件A包含的基本事件數(shù)n(A)＝A＋A＋2A＋3A＝7A，所以事件A發(fā)生的概率為P(A)＝＝，故選B. 9．編號為A，B，C，D，E的五個小球放在如圖所示的五個盒子里，要求每個盒子只能放一個小球，且A球不能放在4號，5號，B球必須放在與A球相鄰的盒子中，則不同的放法的種數(shù)為________． 解析：根據(jù)A球所在的位置可分三類：(1)若A球放在1號盒子內(nèi)，則B球只能放在2號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放C，D，E球，有3×2×1＝6種不同的放法．(2)若A球放在3號盒子內(nèi)，則B球只能放在2號盒子內(nèi)，余下的三個盒子放C，D，E球，

18、有3×2×1＝6種不同的放法．(3)若A球放在2號盒子內(nèi)，則B球可以放在1號，3號，4號中的任何一個盒子內(nèi)，余下的三個盒子放C，D，E球，有3×3×2×1＝18種不同的放法．綜上可得不同的放法共有6＋6＋18＝30種． 答案：30 10．隨機地向半圓0＜y＜(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，而原點與該點的連線與x軸的夾角小于的概率為________． 解析：由0＜y＜(a＞0)． 得(x－a)2＋y2＜a2. 因此半圓區(qū)域如圖所示． 設(shè)A表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于”，由幾何概型的概率計算公式得P(A)＝＝＝＋. 答案：＋ 8