2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.3 待定系數(shù)法(講)理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專題3.3 待定系數(shù)法(講)理 一、待定系數(shù)法: 待定系數(shù)法是根據(jù)已知條件,建立起給定的算式和所求的結(jié)果之間的恒等式,得到以需要待定的系數(shù)為未知數(shù)的方程或方程組,解方程或方程組得到待定的系數(shù)的一種數(shù)學(xué)方法. 待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知,正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法,就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題,通過(guò)引入一些待定的系數(shù),轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決,要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解,主要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式,如果具有,就可以用待定系數(shù)法求解.例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、

2、解析幾何中求曲線方程等,這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式,所以都可以用待定系數(shù)法求解. 二、待定系數(shù)法解題的基本步驟: 使用待定系數(shù)法,它解題的基本步驟是: 第一步,確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)的解析式; 第二步,根據(jù)恒等的條件,列出一組含待定系數(shù)的方程; 第三步,解方程組或者消去待定系數(shù),從而使問(wèn)題得到解決. 本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,從以下四個(gè)方面總結(jié)高考中的待定系數(shù)法. 1.用待定系數(shù)法求曲線方程 確定曲線方程常用的方法有定義法、直接法、待定系數(shù)法等,當(dāng)已知曲線類型及曲線的幾何性質(zhì)時(shí),往往利用待定系數(shù)法,通過(guò)設(shè)出方程形式,布列方程

3、(組),使問(wèn)題得到解決. 例1.【xx屆江蘇省鎮(zhèn)江市高三上學(xué)期期末】已知圓與圓相切于原點(diǎn),且過(guò)點(diǎn),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________. 【答案】 【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其圓心為,半徑為 ∵可化簡(jiǎn)為 ∴其圓心為,半徑為 ∵兩圓相切于原點(diǎn),且圓過(guò)點(diǎn) ∴ 解得 ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故答案為 例2.【xx屆山西省孝義市高三下學(xué)期名校最新高考模擬卷(一)】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)到橢圓上任意一點(diǎn)的最大距離為3,橢圓的離心率為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)是否存在斜率為的直線與以線段為直徑的圓相交于、兩點(diǎn),與橢圓相交于、,且?若存在,求出直線的方程;若不存在,

4、說(shuō)明理由. 【答案】(1);(2). 解析:(1)設(shè), 的坐標(biāo)分別為, ,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,解得, ,則,故橢圓的方程為. (2)假設(shè)存在斜率為的直線,那么可設(shè)為,則由(1)知, 的坐標(biāo)分別為, ,可得以線段為直徑的圓為,圓心到直線的距離,得, , 聯(lián)立得,設(shè), , 則, 得, , , 解得,得.即存在符合條件的直線. 2.用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式 利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,在教材中有系統(tǒng)的介紹,通過(guò)練習(xí)應(yīng)學(xué)會(huì)“遷移”,靈活應(yīng)用于同類問(wèn)題解答之中. 例3.【xx屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三】已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn),且點(diǎn)是其對(duì)稱中心,將函數(shù)的圖象

5、向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)的解析式為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)(,2),(﹣,0)得: 解得: ∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+), ∴g(x)=2sin2x, 故答案為:A. 例4.【xx屆天津市耀華中學(xué)高三上學(xué)期第三次月考】若冪函數(shù)在上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)的值為_________. 【答案】2 例5.設(shè)是二次函數(shù),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,且. (Ⅰ)的表達(dá)式; (Ⅱ)若直線把的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積二等分,求的值. 【答案】(I);(II).

6、 【解析】試題分析:(1)由已知設(shè),由,求出 的值,由有兩個(gè)相等實(shí)根有,求出的值,得出的表達(dá)式;(2)由題意有,解方程求出 的值。 試題解析:(1)設(shè),則. 由已知,得, . . 又方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根, ,即.故; (2)依題意,得, , 整理,得,即, . 例6.某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5

7、 -5 0 (1)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式. (2)將y=f(x)圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ(θ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,求θ的最小值. 【答案】(Ⅰ). (Ⅱ)當(dāng)時(shí),取得最小值. 【解析】(Ⅰ)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表: 0 0 5 0 0 且函數(shù)表達(dá)式為. 3.用待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)式 等差數(shù)列、等比數(shù)列是高中階段重點(diǎn)研究的兩類數(shù)列,在高考題

8、中,除設(shè)計(jì)直接考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的題目外,還常常命制通過(guò)轉(zhuǎn)化而成為我們熟悉數(shù)列的問(wèn)題,而利用待定系數(shù)法往往可以實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化.利用待定系數(shù)法求數(shù)列的解析式,首先把某些已知條件轉(zhuǎn)化成我們熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)列的形式,比如等差數(shù)列、等比數(shù)列等,用字母表示,然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì),解出未知數(shù),即可得結(jié)果. 例7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由題意,得,解得,所以,所以…+=,故選C. 例8.在等比數(shù)列中,. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)

9、,且為遞增數(shù)列,若,求證:. 【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析. 【解析】 (1)∵, ∴, ∴. (2)由題意知, ∴, ∴. 4.用待定系數(shù)法求解的其它類型 例9. 若向量,是不共線的兩向量,且,(),則A,B,C三點(diǎn)共線的條件是( ). A. B. C. D. 【答案】D 例10.【xx高考新課標(biāo)2】設(shè)向量,不平行,向量與平行,則實(shí)數(shù)_________. 【答案】. 【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行,所以,則所以. 【反思提升】綜上所述,待定系數(shù)法實(shí)際就是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)建立數(shù)量關(guān)系,從而列出方程或方程組,解方程或方程組即可得待定的未知數(shù).之后就只需根據(jù)題目給出的條件,解題即可.用待定系數(shù)法解題,思路較為清晰,操作比較方便,在諸如函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量等題目中都可以應(yīng)用.但是在解題過(guò)程中,待定系數(shù)法并不是最為簡(jiǎn)單,最為合適的方法.解題時(shí)要根據(jù)具體的題目,選擇簡(jiǎn)單又適合的方法.

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