3、方法，而且注重考查邏輯思維能力、運算能力以及分析問題和解決問題的能力. 在題型上，填空題主要考查不等式的性質(zhì)、解簡單不等式、簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用、絕對值不等式、簡單轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍、比較大小等；解答題主要考查基本不等式的應(yīng)用、含參不等式的解法、求恒成立中的參數(shù)范圍、證明不等式、最值型綜合題以及實際應(yīng)用題等. 試題常常是寓不等式的證明、解不等式、求參數(shù)范圍于函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、三角、解析幾何、立體幾何、實際應(yīng)用等問題之中， 知識覆蓋面廣、綜合性強、思維力度大、能力要求高， 是高考數(shù)學思想、數(shù)學方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地. 從近幾年數(shù)學試題得到啟示：涉及不等式解法的題目，往往較為容易；對簡單線性規(guī)劃的
4、應(yīng)用的考查，不但具有連續(xù)性，而且其題型規(guī)律易于把握；對基本不等式的考查，較多的寓于綜合題目之中．
通過第二輪的專題復習，應(yīng)注意在鞏固基礎(chǔ)知識、基本方法的基礎(chǔ)上，強化記憶，熟化常見題型的解法，提升綜合應(yīng)用不等式解題的能力．
———————主干整合·歸納拓展———————
(對應(yīng)學生用書第28頁)
[第1步▕ 核心知識再整合]
1．在證明不等式的各種方法中，作差比較法是一種最基本、最重要的方法，它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負數(shù)來證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，一定要熟練掌握．
2．解不等式的過程，實質(zhì)上是不等式等價轉(zhuǎn)化的過程．因此在學習中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)遵循的基本原則．
5、轉(zhuǎn)化的方法是： 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式．其中準確熟練求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基礎(chǔ)，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．
3．對于公式a＋b≥2，ab≤2，要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和a＋b的轉(zhuǎn)化關(guān)系．
4．在應(yīng)用均值定理求最值時，要把握定理成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”．若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．
5．平面區(qū)域的確定方法是“直線定界，特殊點定域”，二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的半平面的交集．確定平面區(qū)域中單個變量的范圍、
6、整點個數(shù)等，只需把區(qū)域畫出來，結(jié)合圖形通過計算解決．
線性目標函數(shù)z＝ax＋by中的z不是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，把目標函數(shù)化為y＝－x＋可知是直線ax＋by＝z在y軸上的截距，要根據(jù)b的符號確定目標函數(shù)在什么情況下取得最大值、什么情況下取得最小值．
6．含有絕對值的不等式常用的方法是：(1)由定義分段討論；(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)；(3)平方；(4)利用絕對值的幾何意義．
[第2步▕ 高頻考點細突破]
簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用
【例1】 (江蘇省泰州中學2017屆高三摸底考試)已知實數(shù)x，y滿足 若不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立，則實數(shù)a的最小值是_____
7、___．
[解析] 可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部(圖略)，其中A(2,4)，B(1,4)，C，因此∈[kOA，kOB]＝[2,4]，因為＋在[2,4]上單調(diào)遞增，所以＋∈，不等式a(x2＋y2)≥(x＋y)2恒成立等價于a≥max＝max＝?amin＝.
[答案]
[規(guī)律方法] 這是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用的基本題型．基本思路是：畫、移、解、代．技巧是：往往在“角點”處取得最值，直接代入點的坐標即可，關(guān)鍵點是理解目標函數(shù)的幾何意義．
[舉一反三]
(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學一模)若實數(shù)x，y滿足則z＝3x＋2y的最大值為________．
7 [作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖
8、：(陰影部分)．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋z，
平移直線y＝－x＋z，
由圖象可知當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－x＋z的截距最大，
此時z最大．
由
解得A(1,2)，
代入目標函數(shù)z＝3x＋2y得z＝3×1＋2×2＝7.
即目標函數(shù)z＝3x＋2y的最大值為7.]
簡單線性規(guī)劃“逆向”問題，確定參數(shù)的取值(范圍)
【例2】 (無錫市普通高中2017屆高三上學期期中基礎(chǔ)性檢測)已知x，y滿足 ，若z＝3x＋y的最大值為M，最小值為m，且M＋m＝0，則實數(shù)a的值為________．
[解析] 畫出不等式組表示的區(qū)域如圖，結(jié)合圖形可以看出當動直線y＝－
9、3x＋z經(jīng)過點A(a，a)和B(1,1)時，z＝3x＋y分別取最小值m＝4a和最大值m＝4，由題設(shè)可得4a＋4＝0，所以a＝－1.
[答案]?。?
[規(guī)律方法] 嘗試畫出“可行域”，通過平移直線確認“最優(yōu)解”，建立參數(shù)的方程．
[舉一反三]
實數(shù)x，y滿足 如果目標函數(shù)z＝x－y的最小值為－2，則實數(shù)m的值為________.
【導學號：56394046】
8 [如圖，約束條件表示的可行域應(yīng)該是△ABC內(nèi)部(含邊界)(否則可行域不存在)，作直線l：x－y＝0，當把直線l向上平移時，z減小，因此其最小值點是直線y＝2x－1與直線x＋y＝m的交點，由得B(3,5)，代入x＋y＝m
10、得m＝8.]
基本不等式的應(yīng)用
【例3】 (2016－2017學年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試)若函數(shù)y＝tan θ＋，則函數(shù)y的最小值為________．
[解析] ∵θ∈，∴tan θ>0.
y＝tan θ＋＝tan θ＋＝tan θ＋≥2＝2，當且僅當tan θ＝1時取等號．因此y的最小值為2.
[答案] 2
[規(guī)律方法] 應(yīng)用基本不等式，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．靈活的通過“拆、湊、代(換)”，創(chuàng)造應(yīng)用不等式的條件，是解答此類問題的技巧；忽視等號成立的條件，是常見錯誤之一．
[舉一反三]
(蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學期期
11、中)已知正數(shù)a，b滿足＋＝－5，則ab的最小值為________．
36 [＋＝－5?－5≥2?()2－5－6≥0?≥6?ab≥36，當且僅當b＝9a時取等號，因此ab的最小值為36.]
不等式的綜合應(yīng)用
【例4】 (泰州中學2016－2017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測)已知二次函數(shù)f (x)＝mx2－2x－3，關(guān)于實數(shù)x的不等式f (x)≤0的解集為.
(1)當a>0時，解關(guān)于x的不等式：ax2＋n＋1>(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在實數(shù)a∈(0,1)，使得關(guān)于x的函數(shù)y＝f (ax)－3ax＋1(x∈[1,2])的最小值為－5？若存在，求實數(shù)a的值；若不存在，說明理由
12、．
[解] (1)由不等式mx2－2x－3≤0的解集為知，關(guān)于x的方程mx2－2x－3＝0的兩根為－1和n，且m>0，
由根與系數(shù)關(guān)系，得
∴
所以原不等式化為(x－2)(ax－2)>0，
①當00，且2<，解得x>或x<2；
②當a＝1時，原不等式化為(x－2)2>0，解得x∈R且x≠2；
③當a>1時，原不等式化為(x－2)>0，且2>，解得x<或x>2；
綜上所述：
當01時，原不等式的解集為.
(2)假設(shè)存在滿足條件的實數(shù)a，
由
13、(1)得：m＝1，f (x)＝x2－2x－3，
y＝f (ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3.
令ax＝t(a2≤t≤a)，則y＝t2－(3a＋2)t－3(a2≤t≤a)，
對稱軸t＝，
因為a∈(0,1)，所以a2
14、
[舉一反三]
(泰州中學2016－2017年度第一學期第一次質(zhì)量檢測文科)已知函數(shù)f (x)＝|x－1|，g(x)＝－x2＋6x－5(x∈R)．
(1)若g(x)≥f (x)，求x的取值范圍；
(2)求g(x)－f (x)的最大值.
【導學號：56394047】
[解] (1)當x≥1時，f (x)＝x－1，
由g(x)≥f (x)，得－x2＋6x－5≥x－1，
整理得(x－1)(x－4)≤0，所以x∈[1,4]；
當x<1時，f (x)＝1－x，
由g(x)≥f (x)，得－x2＋6x－5≥1－x，
整理得(x－1)(x－6)≤0，所以x∈[1,6]，由 ，得x∈?
15、，
綜上x的取值范圍是[1,4]．
(2)由(1)知，g(x)－f (x)的最大值必在[1,4]上取到，
所以g(x)－f (x)＝－x2＋6x－5－(x－1)＝－2＋≤，
所以當x＝時，g(x)－f (x)取到最大值為.
[第3步▕ 高考易錯明辨析]
1．簡單線性規(guī)劃問題，擴大(縮小)可行域的范圍
已知1≤x－y≤2且2≤x＋y≤4求4x－2y的范圍．
[錯解] 由于1≤x－y≤2，①
2≤x＋y≤4；②
①＋②得3≤2x≤6，③
①×(－1)＋③得0≤2y≤3，④
③×2＋④×(－1)得3≤4x－2y≤12.
[錯解分析] 可行域范圍擴大了．
[正解] 線性
16、約束條件是：
令z＝4x－2y，
畫出可行域如圖所示，
由 得A點坐標(1.5,0.5)，此時z＝4×1.5－2×0.5＝5.
由 得B點坐標(3,1)，此時z＝4×3－2×1＝10.
∴5≤4x－2y≤10.
2．簡單線性規(guī)劃問題，理解題意錯誤
已知求x2＋y2的最值．
[錯解] 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示△ABC的內(nèi)部(包括邊界)，
令z＝x2＋y2，
由得A點坐標(4,1)，
此時z＝ x2＋y2＝42＋12＝17，
由得B點坐標(－1，－6)，
此時z＝ x2＋y2＝(－1)2＋(－6)2＝37，
由得C點坐標(－3,2)，
此時z＝ x2＋y
17、2＝(－3)2＋22＝13，
∴當時，x2＋y2取得最大值37，當時，x2＋y2取得最小值13.
[錯解分析] 誤將求可行域內(nèi)的點到原點的距離的平方的最值誤認為是求三點A，B，C到原點的距離的平方的最值．
[正解] 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示△ABC的內(nèi)部(包括邊界)，
令z＝x2＋y2，則z即為點(x，y)到原點的距離的平方．
由得A點坐標(4,1)，
此時z＝x2＋y2＝42＋12＝17，
由得B點坐標(－1，－6)，
此時z＝x2＋y2＝(－1)2＋(－6)2＝37，
由得C點坐標(－3,2)，
此時z＝x2＋y2＝(－3)2＋22＝13，
而在原點處，
18、此時z＝x2＋y2＝02＋02＝0，
∴當時，x2＋y2取得最大值37，當時，x2＋y2取得最小值0.
3．應(yīng)用基本不等式，忽視等號成立的條件
已知：a>0，b>0，a＋b＝1，求2＋2的最小值．
[錯解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4≥2ab＋＋4≥4＋4＝8，所以，2＋2的最小值是8.
[錯解分析] 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2＋b2≥2ab，第一次等號成立的條件是a＝b＝，第二次等號成立的條件是ab＝，顯然，這兩個條件是不能同時成立的．因此，8不是最小值．
[正解] 2＋2＝a2＋b2＋＋＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋4＝(1－2ab)＋4，由ab≤2＝， 得1－
19、2ab≥1－＝， 且≥16, 1＋≥17，∴原式≥×17＋4＝ (當且僅當a＝b＝時，等號成立)，
所以，2＋2的最小值是.
———————專家預(yù)測·鞏固提升———————
(對應(yīng)學生用書第31頁)
1．已知正實數(shù)x，y滿足x＋＋3y＋＝10，則xy的取值范圍為________．
[設(shè)xy＝t，則y＝，所以10＝x＋＋3y＋＝x＋＋＋＝x＋≥2.
即3t2－11t＋8≤0，解之得1≤t≤.]
2．已知函數(shù)的定義域是[－2，＋∞)且f (4)＝f (－2)＝1, f ′(x)為f (x)的導函數(shù)，且f ′(x)的圖象如圖7－1所示，則不等式組 所圍成的平面區(qū)域的面積是______
20、__.
【導學號：56394048】
圖7－1
4 [由導函數(shù)的圖象得到f (x)在[－2,0]遞減；
在[0，＋∞)遞增，∵f (4)＝f (－2)＝1，
∴f (2x＋y)≤1，－2≤2x＋y≤4，
∴? 表示的平面區(qū)域如下：
所以平面區(qū)域的面積為×2×4＝4.]
3．已知函數(shù)f (x)的定義域是[－3，＋∞)且f (6)＝2，f ′(x)為f (x)的導函數(shù)，f ′(x)的圖象如圖7－2所示，若正數(shù)a，b滿足f (2a＋b)<2，則的取值范圍是________．
圖7－2
∪ [如圖所示：f ′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
∴函數(shù)f (x)在[－3,0)是減函數(shù)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，
又∵f (2a＋b)＜2＝f (6)，
∴
畫出平面區(qū)域
令t＝表示過定點(2，－3)的直線的斜率，
如圖所示：t∈∪.]
4．已知x，y滿足約束條件則x2＋4y2的最小值是________．
[設(shè)x2＋4y2＝z(z>0)?＋＝1，這個橢圓與可行域有公共點，只需它與線段x＋y＝1(0≤x≤1)有公共點，把y＝1－x代入橢圓方程得5x2－8x＋4－z＝0，由判別式Δ＝64－4×5(4－z)≥0得z≥，且x＝∈[0,1]時，z＝.]
11
（江蘇專版）2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 知識專題突破 專題7 不等式學案
