2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：第二章 圓錐曲線中的定點定值問題

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1、2022年高中數(shù)學(xué)選修2-1教案：第二章 圓錐曲線中的定點定值問題 一、學(xué)情分析 分析近年來的全國高考數(shù)學(xué)試題，發(fā)現(xiàn)解析幾何在高考試題中沒有中檔題，而且只分布在客觀題和壓軸題中(對客觀題的解答在此暫不討論)。從學(xué)生解答壓軸題(綜合題)的情況看，相當(dāng)多的毛病出在運算上，究其原因，往往由于方法選擇不當(dāng)或者運算不合理(解題策略意識差)，造成中途擱淺或結(jié)果出錯。許多老師在教學(xué)中也有這樣的感覺，學(xué)生解題時很少講究解題策略，拿到題目就瞎撞亂碰，而運算時也常常毫無目標(biāo)意識(常常聯(lián)立方程，卻不知需要用到哪些量)，不講究運算是否合理，盲目性較大。因此，研究如何增強解析幾何的解題策略意識，提高運算的速度和準(zhǔn)確

2、度，就顯得很有必要和非常迫切。 (一)解析幾何學(xué)習(xí)障礙分析 1、難在公式繁多；2、難在方法多樣；3、難在運算復(fù)雜。 (二)原因分析 1、 缺乏對向量語言的翻譯能力和應(yīng)用能力 解幾在高考中成為一個重要熱點，常見的命題形式有兩種： ①解析幾何題題設(shè)條件通過向量語言來描述，(在某種程度上將傳統(tǒng)題中的坐標(biāo)關(guān)系、線段關(guān)系用向量表示，解題目標(biāo)往往就是將幾何問題坐標(biāo)化、符號化、數(shù)量化，從而將推理轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)運算)，體現(xiàn)出向量知識在解析幾何中的滲透，在知識教會點處命題； ②向量作為一種工具，可以用向量方法來解決解析幾何問題。 從歷年高考統(tǒng)計結(jié)果來看，解析幾何壓軸題得分率還不到20%，從答卷

3、來看，一部分學(xué)生不能從眾多的數(shù)學(xué)符號和式子中理出頭緒，無力解答問題。還有一部分學(xué)生過早地把向量符號坐標(biāo)化，由于設(shè)“元”太多，而陷入復(fù)雜運算，從而迷失了方向。 如果解析幾何題的敘述方向以向量語言為主，這就要求解答者首先要把向量語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，再對幾何圖形做出整體分析，然后通過坐標(biāo)思想求解。 2、沒有掌握基本的運算方法，沒有形成基本的運算能力 由于解析幾何題綜合性強、運算繁雜，學(xué)生極易產(chǎn)生畏懼心理，考試時采取放棄的策略，從而平時也不重視解析幾何的復(fù)習(xí)，導(dǎo)致放棄了一些能力范圍內(nèi)的題，實在可惜。許多學(xué)生做不下去的關(guān)鍵原因是沒有抓住要領(lǐng)，死記公式，不能靈活應(yīng)用知識解決實際問題。運算繁瑣也是因為

4、不知道每個公式適用的場所，亂用公式人為導(dǎo)致運算復(fù)雜，最終不得不放棄。 其實解析幾何中的公式并不多，只是必須要記住該記住的。主要公式如：兩點之間的距離公式，弦長公式等等。 3、不會選擇合理的運算途徑，走不出運算量大的魔圈 ①平幾滲透，數(shù)形結(jié)合。解析幾何首先是考慮幾何問題，一味強調(diào)解析幾何中的代數(shù)運算，有時候會導(dǎo)致繁瑣的運算過程，必要時綜合考慮幾何因素，即在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時，充分利用好圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，常?？梢缘玫胶喗荻鴥?yōu)美的解法。 ②注意轉(zhuǎn)化條件，優(yōu)化解題方法。解析幾何中有一些基本問題，如兩直線垂直的證明、求弦的中點、弦長的計算等等，這些問題的處理方法是熟知的。

5、但有不少題目，所給的條件無法直接使用，或者使用起來比較困難，此時可以考慮對條件適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，使解題過程納入熟悉的軌道。 ③巧設(shè)方程，方便計算。方程形式對運算也起著很重要的作用，如在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系時，過定點的直線可設(shè)為，這樣不僅可以回避對直線斜率是否存在的分類討論，而且可以簡化運算、優(yōu)化解題過程、提高解題速度。另外，當(dāng)遇到多條直線時，應(yīng)抓住具有的共同特征的直線，根據(jù)其共同特征設(shè)直線方程(常見的對偶式)，才能使運算簡單，問題得以解決。 ④客服思維定勢，提高解題能力。思維定勢在運算中有積極的一面，也有消極的影響。當(dāng)學(xué)生掌握了某一知識(方法)，往往習(xí)慣使用這種知識(方法)去思考問題，可以

6、使思維容易集中，使知識很快進(jìn)入到問題的關(guān)鍵，但是，思維定勢也會出現(xiàn)思維的惰性和失去靈活性，會影響運算的速度，使運算繁冗不堪，并且更容易進(jìn)入思維的死胡同。 (三)如何切實解決學(xué)習(xí)解析幾何的障礙？ 首先，狠抓審題能力的培養(yǎng)。在遇到新穎的題型或條件時，學(xué)生往往被表象所迷惑，感到無從下手或不能找到恰當(dāng)?shù)那腥朦c，導(dǎo)致思維短路、運算錯誤，而不能正確解答。在講解例題時教師不應(yīng)在例題出示后急于給學(xué)生提示或點撥，應(yīng)給出充分時間讓學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在充分思考、互動交流的基礎(chǔ)上自我發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)慕忸}思路。 其次，培養(yǎng)解析幾何運算的信心，養(yǎng)成良好的運算習(xí)慣。解析幾何的運算量大，有的學(xué)生對提高運算能力缺乏足夠的重視

7、，他們總是覺得懂就行，只要我考試時認(rèn)真算就行，也有老師只著重解題方法和思路引導(dǎo)，而忽視對運算過程的合理性、簡捷性的必要指導(dǎo)。這樣不僅影響學(xué)生思維能力的發(fā)展，也必然影響教學(xué)質(zhì)量的提高。所以教學(xué)時要狠抓運算功，確立以解題訓(xùn)練為中心的課堂教學(xué)模式。引導(dǎo)學(xué)生在確立解題思路后踏踏實實地按部就班的把步驟做出來。只有做出來才能發(fā)現(xiàn)自己的問題，也只有做出來才能樹立自己的解題信心。 二、教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo)： (1)定點的概念：含有可變參數(shù)的曲線系所經(jīng)過的點中不隨參數(shù)變化的某個點或某幾個點； (2)求解定點的方法：把曲線系方程按照參數(shù)進(jìn)行集項，使得方程對任意參數(shù)恒成立的方程組的解即為曲線系恒過的定點

8、； (3)定值的概念：不隨其他量的變化而發(fā)生數(shù)值變化的量； (4)求解定值的方法：建立這個量關(guān)于其他量的關(guān)系式，最后的結(jié)果與其他變化的量無關(guān)。 (二)能力目標(biāo)： (1)培養(yǎng)學(xué)生探究問題，并將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的能力； (2)培養(yǎng)學(xué)生特殊問題與一般問題的轉(zhuǎn)化能力 (3)加強學(xué)生的運算能力； (4)培養(yǎng)學(xué)生利用模塊知識，解決綜合問題的能力； (5)培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力。 (三)情感態(tài)度價值觀： (1)通過對特殊情況的分析，轉(zhuǎn)化至對一般情況的證明，使學(xué)生形成特殊到一般的數(shù)學(xué)思想； (2)在思維形成的過程中，使學(xué)生明白一般性的成立，必然伴隨著特殊問題的成立，以及特殊問題

9、的成立與一般性成立的必要不充分的關(guān)系 (3)培養(yǎng)學(xué)生堅忍不拔的學(xué)習(xí)態(tài)度，與遇困難肯鉆研的學(xué)習(xí)情操。 三、教學(xué)過程 （一）探求“特殊”位置 例1、已知直線過點且與拋物線交、兩點。 求證：·與·均為定值，并求這個定值． 解：①特殊位置的探討： 如圖1，當(dāng)過點的直線與垂直時，·＝，·＝； ②一般性的證明： 如圖2，當(dāng)過點的直線與垂直時，設(shè)過點的直線方程為：． 由·＝·＝． 小結(jié)： ① 定點、定值、定形問題的求解，先“特殊”探求，再證明一般的情況； ②“特殊”是指：特殊點、特殊位置、特殊直線、極端位置(空間圖形的平面軌跡)、極限位置、特殊值、特殊圖形(如：三棱錐→

10、正四面體)、初始值(如數(shù)列問題，首先用、、求出滿足條件的參數(shù)，再證明一般的情況)； ③華羅庚教授反復(fù)強調(diào)：“退，退，退到原始狀態(tài)，退到最簡單的位置”，即“特殊”探路； ④直線與軸垂直，是很“容易遺忘”的失分參數(shù)．有了“特殊”探路的解題意識，相反能提高警惕，提高得分能力； ⑤相關(guān)結(jié)論：當(dāng)直線過焦點時，·＝，·＝；當(dāng)直線過點時，·＝，·＝； (二)探求“對稱”位置 例2、已知拋物線：，點、點是拋物線上兩點，且，求證：直線過定點。 解：探究對稱性：直線與曲線的兩個交點對曲線而言具有對稱性，即兩交點具有相同地位和性質(zhì)

11、，從而使圖形造成“對稱”。由對稱性質(zhì)可立即判定此定點必在軸上(因為點和點相對于拋物線對稱軸地位等同)，并進(jìn)一步斷定其定點正好是在垂直于軸是，即，與軸均成45°(關(guān)于軸對稱)，故立即知定點必為。因此，以下只需要證明過點的動直線與曲線的兩交點與頂點的連線互相垂直(為定角90°)即可，而這是非常容易的。 設(shè)直線為交拋物線于、，將直線方程代入拋物線方程：得。 因為，與參數(shù)無關(guān)， 所以，從而證明了上述結(jié)論。這樣證明與常規(guī)方法證明相比較其優(yōu)越性顯而易見。 例3、(三明一中高三理.周末綜合測試卷5 19)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點，從原點向圓作兩條切線，分別交橢

12、圓于點。 (1)若點在第一象限，且直線互相垂直，求圓的方程； (2)若直線斜率均存在，并記為，求的值； (3)試問是否為定值?若是，求出該值；若不是，說明理由。 解：觀察圖形，由于直線與 圓相切，則。 且 (1)當(dāng)時，顯然為邊 長為的正方形，故。由在橢圓上，可聯(lián)立方程組，經(jīng)加減消元， 得。 故此時圓的方程為： 。 經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)此時圓與坐標(biāo)軸相切，且、分別為橢圓的右頂點

13、與上頂點。 (2)探究特殊位置：當(dāng)為右頂點時，顯然滿足題設(shè)，此時，且，故，故只需驗證 由圓與直線相切，圓心到直線距離等于半徑，可證得該結(jié)論； 或由對偶式進(jìn)行證明(詳細(xì)證明過程，略)。 （3）由(1)可知，若存在定值， 則定值為。 (詳細(xì)證明過程，略) 練習(xí)1、(三明一中高三理.周末測試卷4 20)已知橢圓，設(shè)點為橢圓上第一象限內(nèi)一動點，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸相交于點，直線與軸相交于點，求證：四邊形的面積為定值。 四、小結(jié) 1、考慮定值問題，特值為先； 2、注意問題轉(zhuǎn)化，優(yōu)化問題； 3、加強圖形直觀，數(shù)形結(jié)合； 4、狠抓計算能力，準(zhǔn)確解題。 五、作業(yè)： 步步高牛皮本配套練習(xí)