（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項(xiàng)式定理教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項(xiàng)式定理教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項(xiàng)式定理教學(xué)案（13頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　二項(xiàng)式定理 1．二項(xiàng)式定理 (1)定理： (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (2)通項(xiàng)： 第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝Can－kbk． (3)二項(xiàng)式系數(shù)： 二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：C(k＝0，1，2，…，n)． 2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)(a＋b)n的展開式中的第r項(xiàng)是Can－rbr.(　　) (2)在二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng)．(　　) (3)在(a＋b)n的展開式中，每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．(　　) (4)

2、通項(xiàng)Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互換．(　　) (5)(a＋b)n展開式中某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-3P31例2(1)改編)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)為________． 解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，當(dāng)k＝2時(shí)，x2的系數(shù)為C·22＝40. 答案：40 2．(選修2-3P31例2(2)改編)若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為________． 解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，當(dāng)

3、6－2k＝0，即當(dāng)k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝C＝20. 答案：20 3．(選修2-3P41B組T5改編)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________． 解析：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8. 答案：8 [易錯(cuò)糾偏] (1)混淆“二項(xiàng)式系數(shù)”與“系數(shù)”致誤； (2)配湊不當(dāng)致誤． 1．在二項(xiàng)式的展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和是32，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為________． 解析：由題意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)

4、的和為(1－2)5＝－1. 答案：－1 2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝________． 解析：因?yàn)?1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180. 答案：180 　　　　　　二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)(高頻考點(diǎn)) 二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題．主要命題角度有： (1)求展開式中的某一項(xiàng)； (2)求展開式中的項(xiàng)的系數(shù)或

5、二項(xiàng)式系數(shù)； (3)由已知條件求n的值或參數(shù)的值． 角度一　求展開式中的某一項(xiàng) (2019·高考浙江卷)在二項(xiàng)式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________． 【解析】　該二項(xiàng)展開式的第k＋1項(xiàng)為Tk＋1＝C()9－kxk，當(dāng)k＝0時(shí)，第1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為＝16；當(dāng)k＝1，3，5，7，9時(shí)，展開式的項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為5. 【答案】　16　5 角度二　求展開式中的項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) (1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) A．15　　　　　　　　　　 B．20 C．30 D．35 【解

6、析】　(1＋x)6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30，故選C. 【答案】　C 角度三　由已知條件求n的值或參數(shù)的值 (2020·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)若二項(xiàng)式(ax－)6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若A＝4B，則a＝________． 【解析】　Tr＋1＝(－1)rC(ax)6－r()r ＝(－1)ra6－rCx6－r. 令6－r＝3得r＝2，則 A＝a4C＝15a4； 令6－r＝0得r＝4，則B＝(－1)4a2C＝15a2， 又由A＝4B得15a4＝4×15a2，則a＝2. 【答案】　2 與二項(xiàng)

7、展開式有關(guān)問題的解題策略 (1)求展開式中的第n項(xiàng)，可依據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)直接求出第n項(xiàng)． (2)求展開式中的特定項(xiàng)，可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可． (3)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)，可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù)．　 1．若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C.Tr＋1＝C(x6)n－r＝Cx6n－r，當(dāng)Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)時(shí)，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故n的最小值為5，故選C. 2．(2020·金華十校期末調(diào)研)在(－)n

8、的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n＝________；展開式中常數(shù)項(xiàng)是________． 解析：在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝8. 所以Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－2r. 由8－2r＝0，得r＝4. 所以展開式中常數(shù)項(xiàng)是(－1)4C＝. 答案：8　 　　　　　　二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)或各項(xiàng)系數(shù)和 (1)在二項(xiàng)式的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為第________項(xiàng)． (2)(2020·寧波十校聯(lián)考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m的

9、值為________． 【解析】　(1)依題意可知Tr＋1＝C(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二項(xiàng)式系數(shù)最大的是C與C.當(dāng)r＝6時(shí)，T7＝Cx4，故系數(shù)最大的項(xiàng)是第七項(xiàng)． (2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3. 【答案】　(1)七　(2)1或－3 (變條件)本例(2)變?yōu)椋喝?x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實(shí)數(shù)m

10、的值為________． 解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5. 答案：－1或－5 賦值法的應(yīng)用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1

11、)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.　 1．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．15 B．20 C．30 D．120 解析：選A.因?yàn)槎?xiàng)展開式中中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，又二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)只有第4項(xiàng)， 所以展開式中共有7項(xiàng)， 所以n＝6， 展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r， 令12－3r＝0，則r＝4， 故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5＝C＝15. 2．已知多項(xiàng)式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝______

12、__，a5＝________． 解析：由題意知a4為含x的項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)二項(xiàng)式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常數(shù)項(xiàng)，所以a5＝C×13×C×22＝4. 答案：16　4 　　　　　　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 設(shè)a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因?yàn)?2能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a

13、＋1能被13整除，所以a＝12. 【答案】　D (1)利用二項(xiàng)式定理解決整除問題時(shí)，關(guān)鍵是進(jìn)行合理地變形構(gòu)造二項(xiàng)式，應(yīng)注意：要證明一個(gè)式子能被另一個(gè)式子整除，只要證明這個(gè)式子按二項(xiàng)式定理展開后的各項(xiàng)均能被另一個(gè)式子整除即可． (2)求余數(shù)問題時(shí)，應(yīng)明確被除式f(x)與除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)與余式的關(guān)系及余式的范圍．　 1．(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)二項(xiàng)式(n∈N*)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為an，bn，則＝(　　) A．2n－1＋3　　 　　　　 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1 解析：選C.二項(xiàng)式(n∈N*)展開式的二

14、項(xiàng)式系數(shù)和為2n，各項(xiàng)系數(shù)和為＝，所以an＝2n，bn＝，所以＝＝＝2n＋1，故選C. 2．求證：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． 證明：因?yàn)閚∈N*，且n>2， 所以3n＝(2＋1)n展開后至少有4項(xiàng)． (2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1， 故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． [基礎(chǔ)題組練] 1．(2020·金華十校期末調(diào)研)在(x2－4)5的展開式中，含x6的項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．20　　　　　 　　　　　 B．40 C．80 D．160 解析：選

15、D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r， 令10－2r＝6，解得r＝2， 所以含x6的項(xiàng)的系數(shù)為(－4)2C＝160. 2．(2020·臺州高三期末考試)已知在(－)n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選D.因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6，可得n－6＝0，解得n＝6.故選D. 3．(2020·溫州市普通高中?？?在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(　　) A．15 B．45 C．135 D．405 解析：選C.由題意

16、＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135. 4．(2020·湖州市高三期末考試)若(x＋)(2x－)5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．－40 B．－20 C．40 D．20 解析：選C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1. 所以(2x－)5的通項(xiàng)公式 Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r， 令5－2r＝－1，5－2r＝1. 解得r＝3或2. 所以該展開式中常數(shù)項(xiàng)＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40. 5．(x2－x＋1)10的展開式中x3

17、項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 解析：選A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10， 所以含x3項(xiàng)的系數(shù)為：－CC＋C(－C)＝－210. 6．(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：選C.(x2＋x＋y)5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展開式的通項(xiàng)為C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5

18、，則k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C. 7．已知(ax＋b)6的展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)與x5項(xiàng)的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 解析：選D.由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可知x4項(xiàng)的系數(shù)為Ca4b2，x5項(xiàng)的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，選D. 8．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(

19、　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：選C.因?yàn)閒(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 9．(2020·義烏調(diào)研測試)若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D.因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cx10－r·＝Cx10－2r，所以(x2－a)的展開式中含x6的項(xiàng)為x2·Cx4－aCx6＝(C－aC)x6，則C－aC＝30，解得a＝2，故選D. 10．(2020·臺州模擬)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是(　

20、　) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 解析：選C.設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大， 則有 即 即解得 又因?yàn)閞∈Z，所以r＝5.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故選C. 11．(2020·金華市東陽二中高三調(diào)研)在二項(xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是________． 解析：因?yàn)樵诙?xiàng)式的展開式中恰好第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝8， 展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·(－1)r·x8－2r， 令8－2r＝2，則r＝3，所以展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是－C＝－56. 答案

21、：－56 12．(2020·溫州中學(xué)高三?？?已知(1＋x＋x2)(n∈N*)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且2≤n≤8，則n＝________． 解析：因?yàn)榈耐?xiàng)公式為Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r，故當(dāng)n－4r＝0，－1，－2時(shí)存在常數(shù)項(xiàng)，即n＝4r，4r－1，4r－2，故n＝2，3，4，6，7，8時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，所以當(dāng)n＝5時(shí)沒有常數(shù)項(xiàng)符合題設(shè)． 答案：5 13．若直線x＋ay－1＝0與2x－y＋5＝0垂直，則二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為________． 解析：由兩條直線垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二項(xiàng)式為，其通項(xiàng)公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－

22、1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二項(xiàng)式的展開式中x4的系數(shù)為23C＝80. 答案：80 14．已知(1＋x)5的展開式中xr(r∈Z且－1≤r≤5)的系數(shù)為0，則r＝________. 解析：依題意，(1＋x)5的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Cxr，故展開式為(x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1)，故可知展開式中x2的系數(shù)為0，故r＝2. 答案：2 15．(2020·杭州市高考模擬)若(2x－)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，則n＝________；展開式中的常數(shù)項(xiàng)是________． 解析：因?yàn)?2x－)n的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2

23、n＝64，則n＝6；根據(jù)(2x－)n＝(2x－)6的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r， 令6－3r＝0，求得r＝2，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C·24＝240. 答案：6　240 16．(2020·浙江東陽中學(xué)高三檢測)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a0＝________；(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________． 解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 觀察：可令x＝0得：(1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，

24、a0＝1. (a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]， 則可令x＝1得： (1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 再可令x＝－1得： (1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187， 可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1?。? 187 17．設(shè)f(x)是(x2＋)6展開式中的中間項(xiàng)，若f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：(x

25、2＋)6的展開式中的中間項(xiàng)為第四項(xiàng)，即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因?yàn)閒(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是 [5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) [綜合題組練] 1．C＋C＋…＋C＋…＋C(n∈N*)的值為(　　) A．2n B．22n－1 C．2n－1 D．22n－1－1 解析：選D.(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n. 令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n； 再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0. 兩式相加，可得C＋C＋…＋C＝

26、－1＝22n－1－1. 2．(2020·杭州七校聯(lián)考)若(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) 解析：選D.二項(xiàng)式(x＋y)9的展開式的通項(xiàng)是 Tr＋1＝C·x9－r·yr. 依題意，有 由此得 解得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)． 3．若的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為A，B，C，且滿足4A＝9(C－B)，則展開式為x2的系數(shù)為________． 解析：易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在中，因?yàn)橥?xiàng)Tr

27、＋1＝Cx8－r＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展開式中x2的系數(shù)為. 答案： 4．已知(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則tan θ＝________． 解析：的通項(xiàng)為Tr＋1＝C·x4－r·，令4－r＝3，則r＝1，所以的展開式中x3的系數(shù)是C·＝5，(xtan θ＋1)5的通項(xiàng)為TR＋1＝C·(xtan θ)5－R，令5－R＝2，得R＝3，所以(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)是C·tan2θ＝5，所以tan2θ＝，所以tan θ＝±. 答案：± 5．(2020·臺州市書生中學(xué)高三期中)設(shè)m，n∈N，f(x)＝(1＋x)

28、m＋(1＋x)n. (1)當(dāng)m＝n＝5時(shí)，若f(x)＝a5(1－x)5＋a4(1－x)4＋…＋a1(1－x)＋a0，求a0＋a2＋a4的值； (2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9，當(dāng)m，n變化時(shí)，求x2系數(shù)的最小值． 解：(1)當(dāng)m＝n＝5時(shí)，f(x)＝2(1＋x)5， 令x＝0，則f(0)＝a5＋a4＋…＋a1＋a0＝2， 令x＝2，則f(2)＝－a5＋a4－…－a1＋a0＝2×35， 所以a0＋a2＋a4＝＝35＋1＝244. (2)由題意得f(x)展開式中x的系數(shù)是 C＋C＝m＋n＝9， x2系數(shù)為C＋C＝＋＝＝， 又＝＝， 因?yàn)閙，n∈N，所以當(dāng)m＝4或m＝5時(shí)最小

29、，最小值為16. 6．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知. (1)若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)； (2)若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 解：(1)通項(xiàng)Tr＋1＝C·(2x)r＝22r－nCxr， 由題意知C，C，C成等差數(shù)列， 所以2C＝C＋C，所以n＝14或7. 當(dāng)n＝14時(shí)，第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，該項(xiàng)的系數(shù)為22×7－14C＝3 432； 當(dāng)n＝7時(shí)，第4、5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大， 其系數(shù)分別為22×3－7C＝，22×4－7C＝70. (2)由題意知C＋C＋C＝79， 所以n＝12或n＝－13(舍)． 所以Tr＋1＝22r－12Cxr. 由得所以r＝10. 所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11＝22×10－12·Cx10＝(2x)10. 13