2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積 三視圖是高考重點考查的內(nèi)容，近幾年多與面積或體積計算結合在一起加以考查，考查內(nèi)容有三視圖的識別；三視圖與直觀圖的聯(lián)系與轉化；求與三視圖對應的幾何體的表面積與體積．命題形式為用客觀題考查識讀圖形和面積體積計算，解答題往往以常見幾何體為載體考查空間想象能力和推理運算能力，期間需要靈活應用幾何體的結構特征．本專題通過例題說明三視圖及幾何體的面積與體積問題求解方法. （一）常見幾何體的表面積計算： 1、常見幾何體的表面積計算公式： （1）三角形面積：設的底為，高為，則 （2）圓形面積：設圓的半徑為，則

2、（3）圓柱的側面積：設圓柱底面半徑為，高為，則側面積為 （4）圓錐的側面積：設圓錐底面半徑為 ，母線長為，則側面積為 （5）圓臺的側面積：設圓臺上下底面半徑分別為，母線長為，則側面積為 （6）棱柱（棱錐，棱臺）的側面積：只需求出每個側面的面積并加在一起 （7）球的面積：設球的半徑為，則球的表面積為 2、軸截面：對于旋轉體（圓柱，圓錐，圓臺），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關系與幾何體的一些要素向對應. （1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長對應圓柱的底面直徑，矩形的高對應橢圓的高 （2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對應圓錐的底面直

3、徑，高對應圓錐的高，腰對應圓錐的母線長 （3）圓臺：軸截面為等腰梯形，其中上底對應圓臺上底面直徑，下底對應下底面直徑，高對應圓臺的高，腰對應圓臺的母線 3、三視圖解面積的步驟： （1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺還是組合體） （2）確定所求幾何體由哪些面組成 （3）根據(jù)圍成的面的特點，尋找可求出面積的要素，進而求出面積 （4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積 4、求表面積要注意的幾點： （1）三視圖中側面的高通常與某個視圖的邊相對應. （2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點求出相關要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過軸截面可求出圓錐的母線長 （3）當幾何體被

4、切割時，要注意截面也算在表面積之列. （4）如果幾何體是由多個簡單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進而在求表面積時不予考慮. （二）常見幾何體的體積計算： 1、常見幾何體的體積公式：（底面積，高） （1）柱體： （2）錐體： （3）臺體：，其中為上底面面積，為下底面面積 （4）球： 2、求幾何體體積要注意的幾點 （1）對于多面體和旋轉體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地.對于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側視圖）確定高，即可求出體積. （2）對于組合體，

5、首先要判斷是由哪些簡單幾何體組成的，或是以哪個幾何體為基礎切掉了一部分.然后再尋找相關要素 （3）在三視圖中，每個圖各條線段的長度不會一一給出，但可通過三個圖之間的聯(lián)系進行推斷，推斷的口訣為“長對正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側視圖的上下間距相等， 側視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等. 【經(jīng)典例題】 例1.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為 （A）3 （B）2 （C）2 （D）2 【答案】B 【解析】 例2. 一

6、個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱， 底面半徑為1，高為2， 故該幾何體的表面積 故選D. 例3.【2018屆重慶市巴蜀中學月考九】已知某幾何體的三視圖如圖2所示（小正方形的邊長為），則該幾何體的外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，還原幾何體，得到該幾何體是由正方體切割而成的，找到該幾何體的頂點有三個是正方體的棱的中點，一個

7、就是正方體的頂點，之后將幾何體補體，從而得到該三棱 取棱中點H，再取正方體的頂點， 從而得到該三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球， 利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圓的半徑為， 棱柱的高為4，所以可以求得其外接球的半徑， 所以其表面積為，故選A. 點睛：該題考查的是有關利用三視圖還原幾何體，求其外接球的體積的問題，在解題的過程中，最關鍵的一步就是還原幾何體，再者就是將其補成一個直三棱柱，之后應用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的連線的中點處，利用公式求得結果. 例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測】一個幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示，若其正視圖和側視圖都是由三個邊長為

8、2的正三角形組成，則該幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 圓臺側面積為，下底面面積為， 圓錐的側面積為 . 所以該幾何體的表面積為.故選B. 點睛：（1）還原幾何體的基本要素是“長對齊，高平直，寬相等”. （2）對于簡單幾何體的組合體的三視圖，首先要確定正視、側視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應注意它們的交線的位置． 根據(jù)幾何體的三視圖確定直觀圖的方法： 三視圖為三個三角形，對應三棱錐； 三視圖為兩個三角形，一個四邊形，對應四棱錐； 三視圖為兩個三角形，一個帶圓心

9、的圓，對應圓錐； 三視圖為一個三角形，兩個四邊形，對應三棱錐； 三視圖為兩個四邊形，一個圓，對應圓柱. 例5.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校第二次聯(lián)考】已知菱形滿足：，，將菱形沿對角線折成一個直二面角，則三棱錐外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ， 外接球表面積為，故選A. 點睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）；②若面（），則（為外接圓半徑）；③可以轉化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接

10、找出球心和半徑. 例6.【2018屆廣東省湛江市二?！恳阎粋€三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：由題意首先將三視圖還原為三棱錐，然后補形為三棱柱，結合外接球半徑即可求得外接球的體積. 且：， 外接球的體積：. 本題選擇C選項. 點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；

11、球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 例7．【2017課標II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 點睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時，一般是以正視圖和

12、俯視圖為主，結合側視圖進行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解. 例8.【2017課標3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 點睛：(1)求解以空間幾何體的體積的關鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解. 例9.【2017浙江，3

13、】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬．由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整． 例10.【2017

14、課標1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______. 【答案】 【解析】 點睛：對于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數(shù)的思想進行解決，本題解決的關鍵是設好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當體積中的變量最高次是2次時可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行解決，當變

15、量是高次時需要用到求導得方式進行解決. 【精選精練】 1．【2018屆重慶市三診】一個正三棱柱的三視圖如圖所示，若該三棱柱的外接球的表面積為，則側視圖中的的值為 （ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】分析：首先通過觀察幾何體的三視圖，還原幾何體，得知其為一個正三棱柱，結合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心連線的中點處，利用外接球的表面積，得到底面邊長所滿足的關系式，求得其邊長，再根據(jù)側視圖中對應的邊長與底面邊長的關系，求得結果. 則有，從而解得， 因為側視圖中對應的邊為底面三角形的邊的中線， 求得，故選C. 點

16、睛：該題考查的是有關利用三視圖還原幾何體，以及與外接球相關的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有球的表面積公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半徑與棱柱的高以及底面三角形的外接圓的半徑的關系，將其整合，得到x所滿足的等量關系式，求得結果. 2.【2018屆山東省煙臺市高考適應性練習（二）】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 右側為一個值三棱柱，其底面如俯視圖所示，高為的直三棱柱， 其體積為， 所以該幾何體的體積為，故選B． 3．【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學等盟校第二次聯(lián)考】如

17、圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線描繪的是某幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖相同如上方，俯視圖在其下方，該幾何體體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 所以組合體體積為： ，故選C. 點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，

18、根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀. 4．【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測】已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.【2018屆福建省三明市5月測試】已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：由題意首先確定空間幾何體的結構特征，然后結合幾何體的性質(zhì)求解外接球半徑，最后求解其表面積即可. 設該幾何體的外接球半徑為，由幾何關系可得：

19、 ， 外接球的表面積為：. 本題選擇A選項. 點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑. 6．【2018屆山東省煙臺市高考適應性練習（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 7．【2018屆江西省贛州市5月統(tǒng)考】如圖，網(wǎng)格紙

20、上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 而挖去的八分之一球體的體積為， 所以該幾何體的體積為，故選A. 8.【2018屆福建省漳州市5月測試】如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是，在其上用粗實線和粗虛線畫出了某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧，則這個幾何體的體積可能是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體，它由兩部分組成，左邊是底面半徑與高都是的四分之一圓柱，右邊是底面是棱長為

21、的正方形，高為的四棱錐，從而可得結果. 詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個組合體， 它由兩部分組成，左邊是四分之一圓柱， 圓柱底面半徑為，高為， 9．【2018屆福建省南平市5月檢測】已知頂點在同一球面上的某三棱錐三視圖中的正視圖，俯視圖如圖所示．若球的體積為，則圖中的的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：首先由三視圖的正視圖和俯視圖可以還原三棱錐，做出圖像，建立空間直角坐標系，由外接球球心到各點的距離為半徑，列方程組求解即可. 詳解：由三視圖還原幾何體，如圖所示： 由正視圖和俯視圖得三棱錐為， 其外接球

22、的體積為，設半徑為，則，解得. 故選B. 點睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.求外接球半徑或圓心的常見方法有： ①若三條棱兩垂直則用（為三棱的長）； ②若面（），則（為外接圓半徑） ③可以轉化為長方體的外接球； ④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑； ⑤通過建立空間直角坐標系，利用代數(shù)法解方程組. 10.【2018屆山東省煙臺市高考適應性練習（二）】在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，若該三棱錐外接球的表面積為，且球心到平面的距離為，則三棱錐的體積的最大值為（ ） A. B. C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】分析

23、：由題意，畫出圖形，再由已知求出底面三角形的邊長，數(shù)形結合可知，當為等邊三角形時，三棱錐的體積取得最大值． 詳解：如圖所示， 取等邊三角形的中心，過作三角形的垂線，截去， 此時三棱錐的高為， 所以三棱錐的體積的最大值為． 點睛：本題考查了有關球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）如果設計幾何體有兩個面相交，可過兩個面的外心分別作兩個面的垂線，垂線的交點為幾何體的球心. 11.【2018屆天津市河東區(qū)二?！?/p>

24、麻團又叫煎堆，呈球形，華北地區(qū)稱麻團，是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食，寓意團圓。制作時以糯米粉團炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等餡料，有些沒有。一個長方體形狀的紙盒中恰好放入4個球形的麻團，它們彼此相切，同時與長方體紙盒上下底和側面均相切，其俯視圖如圖所示，若長方體紙盒的表面積為576 ，則一個麻團的體積為_______． 【答案】 詳解：根據(jù)麻團與長方體紙盒上下底和側面均相切，可知長方體紙盒的長寬相等. 設麻團球形半徑r，可得長方體長寬a=4r，高為h=2r， 長方體紙盒的表面積為576cm2，即32r2+32r2=576， 解得：r2=9，即r=3， 可得一個麻團的體積V==36π． 故答案為：36π 12．【2018屆河北省衡水中學第十六次模擬】已知直三棱柱中，，，,若棱在正視圖的投影面內(nèi)，且與投影面所成角為，設正視圖的面積為，側視圖的面積為，當變化時，的最大值是__________． 【答案】 【解析】分析：利用與投影面所成角，，，建立正視圖的面積為和側視圖的面積為的關系，利用，求解最大值. 詳解： 與投影面所成角時，平面如圖所示， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故得的最大值為，故答案為.