（江蘇專(zhuān)版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專(zhuān)題突破 專(zhuān)題10 平面解析幾何學(xué)案

《（江蘇專(zhuān)版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專(zhuān)題突破 專(zhuān)題10 平面解析幾何學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專(zhuān)版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識(shí)專(zhuān)題突破 專(zhuān)題10 平面解析幾何學(xué)案（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專(zhuān)題十　平面解析幾何 ———————命題觀察·高考定位——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第44頁(yè)) 1．(2016·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)－＝1的焦距是________． 2　[∵a2＝7，b2＝3，∴c2＝a2＋b2＝7＋3＝10， ∴c＝，∴2c＝2.] 2．(2016·江蘇高考)如圖10－1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓＋＝1(a＞b＞0) 的右焦點(diǎn)，直線(xiàn)y＝ 與橢圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________． 圖10－1 　[由題意得B，C，∴＝，＝，∵·＝0，因此c2－2＋2＝0?3c2＝2a2?e＝.] 3

2、．(2015·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線(xiàn)mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________． (x－1)2＋y2＝2　[直線(xiàn)mx－y－2m－1＝0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2，－1)． 當(dāng)圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)(2，－1)時(shí)，圓的半徑最大，此時(shí)半徑r滿(mǎn)足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.] 4．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線(xiàn)－y2＝1的右準(zhǔn)線(xiàn)與它的兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)P，Q，其焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，則四邊形F1PF2Q的面積是________． 2　[如圖所示，雙曲線(xiàn)－y2＝1的焦點(diǎn)為F1(－2,0)，F(xiàn)

3、2(2,0)， 所以|F1F2|＝4. 雙曲線(xiàn)－y2＝1的右準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝＝， 漸近線(xiàn)方程為y＝±x. 由得P. 同理可得Q. ∴|PQ|＝， ∴S四邊形F1PF2Q＝·|F1F2|·|PQ|＝×4×＝2.] 5．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394068】 [－5，1]　[法一：因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上， 所以設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，±)(－5≤x≤5)． 因?yàn)锳(－12,0)，B(0,6)， 所以＝(－

4、12－x，－)或＝(－12－x，)， ＝(－x,6－)或＝(－x,6＋)． 因?yàn)椤ぁ?0，先取P(x，)進(jìn)行計(jì)算， 所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20， 即2x＋5≤. 當(dāng)2x＋5≤0，即x≤－時(shí)，上式恒成立； 當(dāng)2x＋5≥0，即x≥－時(shí)，(2x＋5)2≤50－x2， 解得－≤x≤1，故x≤1. 同理可得P(x，－)時(shí)，x≤－5. 又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1. 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]． 法二：設(shè)P(x，y)，則＝(－12－x，－y)，＝(－x,6－y)． ∵·≤20， ∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，

5、 即2x－y＋5≤0. 如圖，作圓O：x2＋y2＝50， 直線(xiàn)2x－y＋5＝0與⊙O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)， ∵P在圓O上且滿(mǎn)足2x－y＋5≤0， ∴點(diǎn)P在上． 由得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1， 又D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－5， ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為[－5，1]．] 6．(2016·江蘇高考) 如圖10－2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2,4)． 圖10－2 (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線(xiàn)x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線(xiàn)l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線(xiàn)l的方程；

6、 (3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿(mǎn)足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394069】 [解]　圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－7)2＝25， 所以圓心M(6,7)，半徑為5. (1)由圓心N在直線(xiàn)x＝6上，可設(shè)N(6，y0)． 因?yàn)閳AN與x軸相切，與圓M外切， 所以0

7、BC＝OA＝＝2， 而MC2＝d2＋2， 所以25＝＋5， 解得m＝5或m＝－15. 故直線(xiàn)l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. (3)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 因?yàn)锳(2,4)，T(t,0)，＋＝， 所以① 因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.② 將①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25. 于是點(diǎn)P(x1，y1)既在圓M上，又在圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上， 從而圓(x－6)2＋(y－7)2＝25與圓[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共點(diǎn)， 所以5－5≤≤5＋5， 解得2－2≤

8、t≤2＋2. 因此，實(shí)數(shù)t的取值范圍是[2－2，2＋2]． [命題規(guī)律] (1)題量穩(wěn)定：解析幾何在高考試卷中試題大約出現(xiàn)3個(gè)題目左右，其中填空題占兩道，解答題占一道；其所占平均分值為22分左右，所占平均分值比例約為14%. (2)整體平衡，重點(diǎn)突出：重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)考，直線(xiàn)與圓的方程，圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考命題的重點(diǎn)． 主要集中在如下幾個(gè)類(lèi)型： ①求曲線(xiàn)方程(類(lèi)型確定，甚至給出曲線(xiàn)方程)； ②直線(xiàn)、圓和圓錐曲線(xiàn)間的交點(diǎn)問(wèn)題(含切線(xiàn)問(wèn)題)； ③與圓錐曲線(xiàn)定義有關(guān)的問(wèn)題(涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形和準(zhǔn)線(xiàn)，利用余弦定理等)； ④與曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題(含三角形和

9、四邊形面積)； ⑤與曲線(xiàn)有關(guān)的幾何證明(圓線(xiàn)相切、四點(diǎn)共圓、對(duì)稱(chēng)性或求對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)、平行、垂直等)； ⑥探求曲線(xiàn)方程中幾何量及參數(shù)間的數(shù)量特征(很少)． ———————主干整合·歸納拓展——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第45頁(yè)) [第1步▕ 核心知識(shí)再整合] 1．直線(xiàn)的方程 點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1); 截距式：y＝kx＋b；兩點(diǎn)式：＝； 截距式：＋＝1；一般式：Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0. 2．兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系 (1)兩直線(xiàn)平行?兩直線(xiàn)的斜率相等或兩直線(xiàn)斜率都不存在； (2)兩直線(xiàn)垂直?兩直線(xiàn)的斜率之積為－1或一直線(xiàn)斜率不存在，另一直線(xiàn)斜率為零； (

10、3)與已知直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)平行的直線(xiàn)系方程為Ax＋By＋m＝0(C≠m)； (4)若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論： l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. (5)兩平行直線(xiàn)間距離公式： Ax＋By＋C1＝0(A≠0，B≠0)與Ax＋By＋C2＝0(A≠0，B≠0，C1≠C2)的距離d＝. 3．圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx

11、＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝. 4．直線(xiàn)與圓相關(guān)問(wèn)題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)三個(gè)定理：切線(xiàn)的性質(zhì)定理，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，垂徑定理． (2)兩個(gè)公式：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式d＝，弦長(zhǎng)公式|AB|＝2(弦心距d)． 5．圓錐曲線(xiàn)的定義 (1)橢圓：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)雙曲線(xiàn)：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)拋物線(xiàn)：|MF|＝d(d為M點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離)． 6．圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)橢圓：＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或＋＝1(a＞b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)； (2)雙曲線(xiàn)：－＝1(a＞

12、0，b＞0)(焦點(diǎn)在x軸上)或－＝1(a＞0，b＞0)(焦點(diǎn)在y軸上)； (3)拋物線(xiàn)：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0)． 7．圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) (1)橢圓：e＝＝. (2)雙曲線(xiàn)：①e＝＝； ②漸近線(xiàn)方程：y＝±x或y＝±x； (3)拋物線(xiàn)：設(shè)y2＝2px(p＞0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)為拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)． ①焦半徑|CF|＝x1＋； ②過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)|CD|＝x1＋x2＋p； ③若直線(xiàn)CD過(guò)焦點(diǎn)，則x1x2＝，y1y2＝－p2. 8．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 (1)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的判定方法： 將直線(xiàn)方程

13、與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程．若Δ＞0，則直線(xiàn)與橢圓相交；若Δ＝0，則直線(xiàn)與橢圓相切；若Δ＜0，則直線(xiàn)與橢圓相離． (2)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判定方法： 將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離 . ②若a＝0時(shí)，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行，與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)． (3)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判定方法： 將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋

14、by＋c＝0)． ①當(dāng)a≠0時(shí)，用Δ判定，方法同上． ②當(dāng)a＝0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，只有一個(gè)交點(diǎn)． 9．有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題 有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題，應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系，“設(shè)而不求”；有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題，要重視圓錐曲線(xiàn)定義的運(yùn)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算． (1)斜率為k的直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長(zhǎng)|P1P2|＝|x2－x1|或|P1P2|＝|y2－y1|，其中求|x2－x1|與|y2－y1|時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系，即作如下變形： |x2－x1|＝， |y2－y1|＝. (2)當(dāng)斜率k不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式

15、)． 10．弦的中點(diǎn)問(wèn)題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，“設(shè)而不求法”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算． [第2步▕ 高頻考點(diǎn)細(xì)突破] 直線(xiàn)方程 【例1】　已知直線(xiàn)3x＋4y－3＝0與直線(xiàn)6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． [解析]　由題意＝，m＝8，所以直線(xiàn)方程為6x＋8y＋14＝0，即3x＋4y＋7＝0，d＝＝2. [答案]　2 [規(guī)律方法]　(1)若給定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則有下列結(jié)論：l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 給定兩條

16、直線(xiàn)l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，則有下列結(jié)論：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2?k1k2＝－1； (2)求直線(xiàn)方程就是求出確定直線(xiàn)的幾何要素，即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)和直線(xiàn)的傾斜角，當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，只需求出直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)即可．對(duì)于直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程和兩點(diǎn)式方程，前者是直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)確定直線(xiàn)，后者是兩點(diǎn)確定直線(xiàn)． [舉一反三] 已知直線(xiàn)l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值是________． 0或－3　[由題意得：a＋a(a＋2)＝0?a＝0或a＝－3.] 圓的方程及應(yīng)用 【例2】　(

17、江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研) 如圖10－3所示，已知圓A的圓心在直線(xiàn)y＝－2x上，且該圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＋y－1＝0對(duì)稱(chēng)，又圓A與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切，過(guò)點(diǎn)B(－2,0)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，直線(xiàn)l與l1相交于點(diǎn)P. 圖10－3 (1)求圓A的方程； (2)當(dāng)|MN|＝2時(shí)，求直線(xiàn)l的方程； (3)(＋)·是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394070】 [解]　(1)由圓存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)x＋y－1＝0對(duì)稱(chēng)知圓心A在直線(xiàn)x＋y－1＝0上， 由得A(－1,2)， 設(shè)圓A的半

18、徑為R，因?yàn)閳AA與直線(xiàn)l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以R＝＝2， 所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－2符合題意， 當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＝0，連接AQ(圖略)，則AQ⊥MN， ∵|MN|＝2， ∴|AQ|＝＝1， 由|AQ|＝＝1，得k＝， ∴直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋6＝0， ∴所求直線(xiàn)l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. (3)∵AQ⊥BP， ∴·＝0， ∴(＋)·＝2·＝2(＋)·＝2(·＋·)＝2·， 當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，得P，則＝，又＝(1

19、,2)， ∴(＋)·＝2·＝2·＝－10. 當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋2)， 由解得P， ∴＝， ∴(＋)·＝2·＝2· ＝2＝－10， 綜上所述，(＋)·是定值，且為－10. [規(guī)律方法]　求圓的方程一般有兩類(lèi)方法： (1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線(xiàn)和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程； (2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．其一般步驟：①根據(jù)題意選擇方程的形式：標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②利用條件列出關(guān)于a，b，R，或D，E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，R，或D，E，F(xiàn)的值，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，此外，根據(jù)條件

20、要盡量減少參數(shù)設(shè)方程，這樣可減少運(yùn)算量． [舉一反三] (2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x－4)2＋(y－8)2＝1，圓C2：(x－6)2＋(y＋6)2＝9.若圓心在x軸上的圓C同時(shí)平分圓C1和圓C2的圓周，則圓C的方程是________． x2＋y2＝81　[由題意，圓C與圓C1和圓C2的公共弦分別為圓C1和圓C2的直徑， 設(shè)C(x,0)，則(x－4)2＋(0－8)2＋1＝(x－6)2＋(0＋6)2＋9，∴x＝0， ∴圓C的方程是x2＋y2＝81.] 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系 【例3】　(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)

21、直線(xiàn)y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|≥2，則k的取值范圍是________． [解析]　由圓的方程得：圓心(2,3)，半徑r＝2， ∵圓心到直線(xiàn)y＝kx＋3的距離d＝，|MN|≥2， ∴2＝2≥2， 變形得：4－≥3，即4k2＋4－4k2≥3k2＋3，解得：－≤k≤， 則k的取值范圍是. [答案]　 [規(guī)律方法]　直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系由圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑r的關(guān)系確定，d＝r相切；dr時(shí)相離．解有關(guān)直線(xiàn)與圓的相交問(wèn)題要靈活運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，特別是半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形，滿(mǎn)

22、足勾股定理．圓的切線(xiàn)問(wèn)題一般利用d＝r求解，但要注意切線(xiàn)斜率不存在的情形，與圓有關(guān)的最值，范圍問(wèn)題要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．直線(xiàn)與圓中常見(jiàn)的最值問(wèn)題：①圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值．②直線(xiàn)與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最值．③過(guò)圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)的最值．④直線(xiàn)與圓相離，過(guò)直線(xiàn)上一點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值問(wèn)題．⑤兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值． [舉一反三] (2017·江蘇省無(wú)錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)M(1,0)的直線(xiàn)l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)在第一象限，且＝2，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：563940

23、71】 x－y－1＝0　[由題意，設(shè)直線(xiàn)x＝my＋1與圓x2＋y2＝5聯(lián)立，可得(m2＋1)y2＋2my－4＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y2＝－2y1，y1＋y2＝－，y1y2＝－， 聯(lián)立解得m＝1，∴直線(xiàn)l的方程為x－y－1＝0.] 圓錐曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 【例4】　(江蘇省蘇州市2017屆高三暑假自主學(xué)習(xí)測(cè)試)如圖10－4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： 圖10－4 ＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(3,1)在橢圓上，△PF1F2的面積為2. (1)①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； ②若∠F1QF2＝，求QF1·QF2的值．

24、 (2)直線(xiàn)y＝x＋k與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的值． [解]　(1)①由條件 可知＋＝1，c＝2， 又a2＝b2＋c2， 所以a2＝12，b2＝4， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. ②當(dāng)θ＝時(shí)，有 所以QF1·QF2＝. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得4x2＋6kx＋3k2－12＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系及直線(xiàn)方程可知： x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝， 因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則·＝x1x2＋y1y2＝k2－6＝0， 解得k＝±，此時(shí)Δ＝120＞0，滿(mǎn)足條件， 因此k＝±. [規(guī)律方法]　

25、(1)對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求＋>，雙曲線(xiàn)的定義中要求<. (2)求圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法：(1)定義法；(2)待定系數(shù)法，①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸的拋物線(xiàn)，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay (a≠0)，避開(kāi)對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類(lèi)討論，此時(shí)a不具有p的幾何意義．②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為＋＝1(m>0，n>0)，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(mn>0)，這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算． [舉一反三] (江蘇省如東高級(jí)中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次學(xué)情調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn)，點(diǎn)N是MF的中點(diǎn)，O是橢圓的中

26、點(diǎn)，ON＝4，則點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為_(kāi)_______． 　[設(shè)點(diǎn)M到右焦點(diǎn)的距離為MF′，則MF′＝2×4＝8，由定義可知該點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離MF＝10－8＝2，由圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義可得點(diǎn)M到橢圓C的左準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d＝＝＝.] 圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) 【例5】　(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)已知拋物線(xiàn)y2＝16x的焦點(diǎn)恰好是雙曲線(xiàn)－＝1的右焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_______． [解析]　根據(jù)題意，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝16x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)， 則雙曲線(xiàn)－＝1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，則c＝4， 有12＋b2＝16，解可得b＝2， 則雙曲線(xiàn)的方程

27、為－＝1， 則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程y＝±x. [答案]　y＝±x [規(guī)律方法]　求橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值；在雙曲線(xiàn)中由于e2＝1＋2，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與離心率密切相關(guān)，求離心率的范圍問(wèn)題關(guān)鍵是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個(gè)不等式確定a，c的關(guān)系． [舉一反三] (蘇北四市(淮安、宿遷、連云港、徐州)2017屆高三上學(xué)期期中)如圖10－5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)．若

28、B2F⊥AB1，則橢圓C的離心率是________． 圖10－5 　[由題意得－×＝－1?b2＝ac?a2－c2＝ac?1－e2＝e,0＜e＜1?e＝.] 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 【例6】　(江蘇省揚(yáng)州市2017屆高三上學(xué)期期末)如圖10－6，橢圓C： 圖10－6 ＋＝1(a＞b＞0)，圓O：x2＋y2＝b2，過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線(xiàn)l：y＝kx＋b分別交圓O、橢圓C于不同的兩點(diǎn)P、Q，設(shè)＝λ. (1)若點(diǎn)P(－3,0)，點(diǎn)Q(－4，－1)，求橢圓C的方程； (2)若λ＝3，求橢圓C的離心率e的取值范圍． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394072】 [解]　(1)由P(－

29、3,0)在圓O：x2＋y2＝b2上，可得b＝3. 又點(diǎn)Q在橢圓C上，得＋＝1，解得a2＝18. ∴橢圓C的方程為＋＝1； (2)聯(lián)立得x＝0或xP＝－， 聯(lián)立得x＝0或xQ＝－. ∵＝λ，λ＝3，∴＝， ∴·＝，即k2＝＝4e2－1. ∵k2＞0，∴4e2＞1，得e＞或e＜－. 又0＜e＜1，∴＜e＜1. [規(guī)律方法]　(1)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的判定方法 將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程．若Δ>0，則直線(xiàn)與橢圓相交；若Δ＝0，則直線(xiàn)與橢圓相切；若Δ<0，則直線(xiàn)與橢圓相離． (2)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系的判定方法 將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立

30、，消去y或x，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相切；當(dāng)Δ<0時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離；若a＝0，直線(xiàn)與漸近線(xiàn)平行，與雙曲線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)． (3)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的判定方法 將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，消去y或x，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0，或ay2＋by＋c＝0，當(dāng)a≠0時(shí)，用Δ判定，方法同上；當(dāng)a＝0時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行，與拋物線(xiàn)有一個(gè)交點(diǎn)． 拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x

31、1＋x2＋p.同樣可得拋物線(xiàn)y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py類(lèi)似的性質(zhì)． (4)解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題方法是：設(shè)而不求，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行整體代入．即當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)時(shí)，|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|，而|x1－x2|＝. [舉一反三] (2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)如圖10－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1. 圖10－7 (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若P為橢圓上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OP的垂線(xiàn)交直線(xiàn)y＝于點(diǎn)Q，求＋的值． [解]

32、　(1)由題意得，＝，－c＝1， 解得a＝，c＝1，b＝1. 所以橢圓的方程為＋y2＝1. (2)由題意知OP的斜率存在． 當(dāng)OP的斜率為0時(shí)，OP＝，OQ＝，所以＋＝1. 當(dāng)OP的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)OP方程為y＝kx. 由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，所以y2＝， 所以O(shè)P2＝. 因?yàn)镺P⊥OQ，所以直線(xiàn)OQ的方程為y＝－x. 由得x＝－k，所以O(shè)Q2＝2k2＋2. 所以＋＝＋＝1. 綜上，可知＋＝1. 圓錐曲線(xiàn)中的范圍問(wèn)題 【例7】　(江蘇省南京市2017屆高三上學(xué)期學(xué)情調(diào)研)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分

33、別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連接PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)＝λ. (1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，且△PQF2的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程； (2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． [解]　(1) 因?yàn)镕1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，Q為橢圓上的點(diǎn)， 所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長(zhǎng)為4a. 由題意，得4a＝8，解得a＝2. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以＋＝1， 解得b2＝3. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)法一：因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0. 設(shè)Q(x1，y1

34、)． 因?yàn)镻在橢圓上，所以＋＝1，解得y0＝，即P. 因?yàn)镕1(－c,0)，所以＝，＝(x1＋c，y1)． 由＝λ，得－2c＝λ(x1＋c)，－＝λy1， 解得x1＝－c，y1＝－，所以Q. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以2e2＋＝1， 即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1， 因?yàn)棣耍?≠0， 所以(λ＋3)e2＝λ－1，從而λ＝＝－3. 因?yàn)閑∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5. 所以λ的取值范圍為. 法二　因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0. 因?yàn)镻在橢圓上，所以＋＝1，解得y0＝，即P. 因?yàn)镕1(－c,0)，故

35、直線(xiàn)PF1的方程為y＝(x＋c)． 由得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0. 因?yàn)橹本€(xiàn)PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為P.設(shè)Q(x1，y1)， 則x1＋c＝－，即－c－x1＝. 因?yàn)椋溅耍? 所以λ＝＝＝＝＝＝－3. 因?yàn)閑∈，所以≤e2≤，即≤λ≤5. 所以λ的取值范圍為. [規(guī)律方法]　(1)求范圍問(wèn)題的關(guān)鍵是建立求解關(guān)于某個(gè)變量的目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)求這個(gè)函數(shù)的值域確定目標(biāo)的范圍．在建立函數(shù)的過(guò)程中要根據(jù)題目的其他已知條件，把需要的量都用我們選用的變量表示，有時(shí)為了運(yùn)算的方便，在建立關(guān)系的過(guò)程中也可以采用多個(gè)變量，只要在最后結(jié)果中把多變量歸結(jié)為單變量即可，同時(shí)要特

36、別注意變量的取值范圍． (2)求解特定字母取值范圍問(wèn)題的常用方法：①構(gòu)造不等式法：根據(jù)題設(shè)條件以及曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)(如：曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍．②構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍．③數(shù)形結(jié)合法：研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解． [舉一反三] (2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知橢圓C：＋＝1(a

37、＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－1,0)，左準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)已知直線(xiàn)l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)． ①若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)P，且滿(mǎn)足＝λ，＝μ，求證：λ＋μ為常數(shù)； ②若OA⊥OB(O為原點(diǎn))，求△AOB的面積的取值范圍． [解]　(1) ∵橢圓C：＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－1,0)， 左準(zhǔn)線(xiàn)為x＝－2， ∴由題設(shè)知c＝1，＝2，a2＝2c， ∴a2＝2，b2＝a2－c2＝1， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)①由題設(shè)知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝k(x＋1)，則P(0，k)，設(shè)A(x1

38、，y1)，B(x2，y2)，直線(xiàn)l代入橢圓得x2＋2k2(x＋1)2＝2， 整理，得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 由＝λ，＝μ，知λ＝，μ＝， ∴λ＋μ＝－ ＝－ ＝－＝－4(定值)． ∴λ＋μ為常數(shù)－4. ②當(dāng)直線(xiàn)OA，OB分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，△AOB的面積S△AOB＝，當(dāng)直線(xiàn)OA，OB的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)OA：y＝kx，OB：y＝－x，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝kx代入橢圓C，得到x2＋2k2x2＝2， ∴x＝，y＝， 同理，x＝，y＝， △AOB的面積S△AOB＝＝， 令t＝k2＋1∈[1，＋

39、∞)，則S△AOB＝＝， 令μ＝∈(0,1]，則S△AOB＝＝∈. 綜上所述，△AOB的面積的取值范圍是. 圓錐曲線(xiàn)中的存在性問(wèn)題 【例8】　(淮安市2014－2015學(xué)年度第二學(xué)期高二調(diào)查測(cè)試)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)F1(－1,0)、C(－2,0)分別是橢圓M的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線(xiàn)l(不與x軸重合)交M于A，B兩點(diǎn)． (1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若A(0，)，求△AOB的面積； (3)是否存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)B在以線(xiàn)段F1C為直徑的圓上，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由． [解]　(1)由F1(－1,0)、C(－2,0)得：a＝2，

40、b＝， 所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1； (2)因?yàn)锳(0，)，F(xiàn)1(－1,0)，所以過(guò)A，F(xiàn)1的直線(xiàn)l的方程為：＋＝1， 即x－y＋＝0， 解方程組得y1＝，y2＝－， S△ABC＝×1×|y1－y2|＝； (3)設(shè)B(x0，y0)(－2＜x0＜2)，則＋＝1.因?yàn)镃(－2,0)，F(xiàn)1(－1,0)， 所以·＝(－1－x0，－y0)·(－2－x0，－y0)＝2＋3x0＋x＋y ＝x＋3x0＋5＝0， 解得：x0＝－2或－10， 又因?yàn)椋?＜x0＜2，所以點(diǎn)B不在以F1C為直徑的圓上， 即不存在直線(xiàn)l，使得點(diǎn)B在以F1C為直徑的圓上． [規(guī)律方法]　(1)求解存在性問(wèn)題時(shí)，

41、通常的方法是首先假設(shè)滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛盾，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說(shuō)明滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說(shuō)明滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程． (2)解決存在性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，要思維開(kāi)放，采取另外的途徑． (3)解決存在性問(wèn)題的解題步驟：第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變

42、量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無(wú)解則不存在；第三步：得出結(jié)論． [舉一反三] (江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(－1,1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且△POA的三邊所在直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足kOP＋kOA＝kPA. 圖10－8 (1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程； (2)若Q是軌跡C上異于點(diǎn)P的一個(gè)點(diǎn)，且＝λ，直線(xiàn)OP與QA交于點(diǎn)M. 問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得△PQA和△PAM的面積滿(mǎn)足SPQA＝2S△PAM？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394073】 [解]　(

43、1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)．∵kOP＋kOA＝kPA，∴＋(－1)＝，化為y＝x2(x≠0且x≠－1)． 即為點(diǎn)P的軌跡方程． (2)假設(shè)存在點(diǎn)P(x1，x)，Q(x2，x)，使得△PQA和△PAM的面積滿(mǎn)足S△PQA＝2S△PAM， ①如圖所示，點(diǎn)M為線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)． ∵＝λ，∴PQ∥OA，得kPQ＝kAO＝－1. ∴ 解得 此時(shí)P(－1,1)，Q(0,0)分別與A，O重合，因此不符合題意． 故假設(shè)不成立，此時(shí)不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P. ②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M在QA的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，由S△PQA＝2S△PAM，可得＝2， ∵＝λ，∴＝2，PQ∥OA. 由PQ∥OA，可得kPQ＝kA

44、O＝－1. 設(shè)M(m，n)． 由＝2，＝2， 可得：－1－x2＝2(m＋1)，－x1＝2m， 化為x1－x2＝3. 聯(lián)立 解得 此時(shí)，P(1,1)滿(mǎn)足條件． 綜上可知：P(1,1)滿(mǎn)足條件. 圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題 【例9】　(2017·江蘇省無(wú)錫市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的焦距為2，離心率為，橢圓的右頂點(diǎn)為A. 圖10－9 (1)求該橢圓的方程； (2)過(guò)點(diǎn)D(，－)作直線(xiàn)PQ交橢圓于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，求證：直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為定值． [解]　(1)由題意可知：橢圓＋＝1(a＞b＞0)，焦點(diǎn)在x軸上，2c＝1

45、，c＝1， 橢圓的離心率e＝＝，則a＝，b2＝a2－c2＝1， 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1； (2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)， 由題意PQ的方程：y＝k(x－)－， 則整理得：(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系可知：x1＋x2＝，x1x2＝， 則y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2 ＝， 則kAP＋kAQ＝＋ ＝， 由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－， kAP＋kAQ＝ ＝＝1， ∴直線(xiàn)AP，AQ的斜率之和為定值

46、1. [規(guī)律方法]　(1)解析幾何中的定值問(wèn)題是指某些幾何量線(xiàn)段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線(xiàn)的斜率等的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值． (2)求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值． (3)定點(diǎn)、定值問(wèn)題必然是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就可以用變化的量表示問(wèn)題的直線(xiàn)方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線(xiàn)方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線(xiàn)

47、方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量． [舉一反三] (江蘇省南京市2017屆高考三模)如圖10－10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，B，M是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且·＝－b2. 圖10－10 (1)求橢圓的離心率； (2)若a＝2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥CD，記直線(xiàn)AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值． [解]　(1)A(a,0)，B(0，b)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M. ＝(－a，b)，＝. ∵·＝－b2. ∴－＋b2＝－b2，化為：a＝2b. ∴橢圓的離心率e＝＝

48、＝. (2)證明：由a＝2，可得b＝1， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1，A(2,0)，B(0,1)． 設(shè)直線(xiàn)BC的方程為y＝k2x＋1，聯(lián)立化為：(1＋4k)x2＋8k2x＝0， 解得xC＝，∴yC＝.即C. 直線(xiàn)AD的方程為y＝k1(x－2)，聯(lián)立化為(1＋4k)x2－16kx＋16k－4＝0， ∴2xD＝，解得xD＝，yD＝，可得D， ∴kCD＝＝－，化為：1－16kk＋2k1－2k2＋8k1k－8k2k＝0. ∴(4k1k2＋4k1－4k2＋1)＝0， ∴k1k2＝. 圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題 【例10】　如圖10－11，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1

49、(a＞b＞0)的左，右頂點(diǎn)分別為A1(－，0)，A2(，0)，若直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0上有且僅有一個(gè)點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°. 圖10－11 (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)圓T的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過(guò)橢圓C兩焦點(diǎn)．點(diǎn)P，Q分別為橢圓C和圓T上的一動(dòng)點(diǎn)．若·＝0時(shí)，PQ取得最大值為，求實(shí)數(shù)t的值． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394074】 [解]　(1)因?yàn)闄E圓C：＋＝1(a＞b＞0)左，右頂點(diǎn)分別為A1(－，0)，A2(，0)，所以a2＝2. 又因?yàn)橹本€(xiàn)3x＋4y＋5＝0上恰存在一個(gè)點(diǎn)M，使得∠F1MF2＝90°， 即以原點(diǎn)O為圓心，半徑為r＝OF1＝c作圓

50、O，使得圓O與直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0相切即可(圖略)． 又圓心O到直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0的距離d＝＝1， 所以c＝1，b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1； (2)設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以有＋y＝1，因?yàn)閳AT的圓心T(0，t)在x軸上方，且圓T經(jīng)過(guò)橢圓C兩焦點(diǎn)，所以圓T的方程為x2＋(y－t)2＝t2＋1(t＞0)，由·＝0得PQ2＝PT2－QT2＝x＋(y0－t)2－(t2＋1)，又＋y＝1，所以PQ2＝－(y0＋t)2＋t2＋1， ①當(dāng)－t≤－1即t≥1時(shí)，當(dāng)y0＝－1時(shí)，PQ取得最大值，因?yàn)镻Q的最大值為，所以＝，解得t＝，又t≥1，故舍去．

51、 ②當(dāng)－t＞－1即0＜t＜1時(shí)，當(dāng)y0＝－t時(shí)，PQ取最大值， 所以＝，解得t2＝，又0＜t＜1，所以t＝. 綜上，當(dāng)t＝時(shí)，PQ的最大值為. [規(guī)律方法]　(1)圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題類(lèi)型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何方法，即通過(guò)利用曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)方法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解． (2)常見(jiàn)的幾何方法有：①直線(xiàn)外一定點(diǎn)P到直線(xiàn)上各點(diǎn)距離的最小值為該點(diǎn)P到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度；②圓C外一定點(diǎn)P到圓上各點(diǎn)距離的最大值為|PC|＋

52、R，最小值為|PC|－R(R為圓C半徑)；③過(guò)圓C內(nèi)一定點(diǎn)P的圓的最長(zhǎng)的弦即為經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的直徑，最短的弦為過(guò)P點(diǎn)且與經(jīng)過(guò)P點(diǎn)直徑垂直的弦；④圓錐曲線(xiàn)上本身存在最值問(wèn)題，如a.橢圓上兩點(diǎn)間最大距離為2a(長(zhǎng)軸長(zhǎng))；b.雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng))；c.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[a－c，a＋c]，a－c與a＋c分別表示橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最小與最大距離；d.拋物線(xiàn)中頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)距離最近． (3)常用的代數(shù)方法有：a.利用二次函數(shù)求最值；b.通過(guò)三角換元，利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值；c.利用基本不等式求最值；d.利用導(dǎo)數(shù)法求最值；e.利用函數(shù)單調(diào)性求最值． [舉一反三

53、] 已知圓M：x2＋(y－4)2＝4，點(diǎn)P是直線(xiàn)l：x－2y＝0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)為A、B. (1)當(dāng)切線(xiàn)PA的長(zhǎng)度為2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)若△PAM的外接圓為圓N，試問(wèn)：當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓N是否過(guò)定點(diǎn)？若存在，求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由； (3)求線(xiàn)段AB長(zhǎng)度的最小值． [解]　(1)由題可知，圓M的半徑r＝2，設(shè)P(2b，b)， 因?yàn)镻A是圓M的一條切線(xiàn)，所以∠MAP＝90°， 所以MP＝＝＝4，解得b＝0或b＝， 所以P(0,0)或P. (2)設(shè)P(2b，b)，因?yàn)椤螹AP＝90°，所以經(jīng)過(guò)A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑，

54、 其方程為：(x－b)2＋2＝， 即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0， 由 解得或 所以圓過(guò)定點(diǎn)(0,4)，. (3)因?yàn)閳AN方程為(x－b)2＋2＝， 即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0. 圓M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0. ②－①得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線(xiàn)方程為 2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0， 點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離d＝. 相交弦長(zhǎng)即：AB＝2＝4＝4，b＝時(shí)，AB有最小值. [第3步▕ 高考易錯(cuò)明辨析] 1．忽視直線(xiàn)斜率不存在的情況 已知圓C的方程為x2＋y2＝4，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與圓

55、C交于A、B兩點(diǎn)．若|AB|＝2，求直線(xiàn)l的方程． [錯(cuò)解]　方程可設(shè)為y－2＝k(x－1)，又設(shè)圓心到直線(xiàn)l的距離為d. 由d2＝r2－2，得k＝， 代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)， 即3x－4y＋5＝0.所以直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋5＝0. [錯(cuò)解分析]　在利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式與斜截式解題時(shí)，要防止由于“無(wú)斜率”而漏解，本題就是忽略斜率不存在導(dǎo)致圓的切線(xiàn)方程只有一條． [正解]　(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，畫(huà)出圖象可知，直線(xiàn)x＝1也符合題意． (2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率k存在時(shí)，其方程可設(shè)為y－2＝k(x－1)，又設(shè)圓心到直線(xiàn)l的距離為d. 由d2＝r2－2，得k

56、＝，代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)， 即3x－4y＋5＝0.所以直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋5＝0和x＝1. 2．忽略對(duì)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷的情況 已知雙曲線(xiàn)x2－＝1，問(wèn)過(guò)點(diǎn)A(1,1)能否作直線(xiàn)l，使l與雙曲線(xiàn)交于P、Q兩點(diǎn)，并且A為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，說(shuō)明理由． [錯(cuò)解]　設(shè)符合題意的直線(xiàn)l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)， 則 ①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③ 因?yàn)锳(1,1)為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，所以 將④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)，若x1≠x2，則直線(xiàn)l的斜

57、率k＝＝2， 所以符合題設(shè)條件的直線(xiàn)l存在，其方程為2x－y－1＝0. [錯(cuò)解分析]　由于點(diǎn)A(1,1)在雙曲線(xiàn)外，過(guò)點(diǎn)A(1,1)的直線(xiàn)，不一定都與雙曲線(xiàn)相交，故應(yīng)對(duì)所求直線(xiàn)進(jìn)行檢驗(yàn)，上述錯(cuò)解沒(méi)有做到這一點(diǎn)，故是錯(cuò)誤的． [正解]　設(shè)符合題意的直線(xiàn)l存在，并設(shè)P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則 ①－②得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，③ 因?yàn)锳(1,1)為線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)，所以 將④⑤代入③得x1－x2＝(y1－y2)， 若x1≠x2，則直線(xiàn)l的斜率k＝＝2， 再由得2x2－4x＋3＝0， 根據(jù)Δ＝－8＜0，說(shuō)明所求直線(xiàn)不存在． 3．忽略對(duì)定

58、義的理解的情況 已知圓O1：x2＋y2＝1，圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0都內(nèi)切于動(dòng)圓，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程． [錯(cuò)解]　圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即為(x－5)2＋y2＝16， 所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r2＝4，而圓O1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0,0)，半徑r1＝1， 設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，則r＝|O1M|＋1且r＝|O2M|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3， 即－＝3，化簡(jiǎn)得16x2－80x－9y2＋64＝0， 即－＝1為所求動(dòng)圓圓心的軌跡方程． [錯(cuò)解分析]　上述解法將|O1M|－|O2M|＝3看成||O1M|

59、－|O2M||＝3，誤認(rèn)為動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線(xiàn)，這是雙曲線(xiàn)的概念不清所致． [正解]　圓O2：x2＋y2－10x＋9＝0，即為(x－5)2＋y2＝16， 所以圓O2的圓心為O2(5,0)，半徑r2＝4，而圓O1：x2＋y2＝1的圓心為O1(0,0)，半徑r1＝1， 設(shè)所求動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，則r＝|O1M|＋1且r＝|O2M|＋4，所以|O1M|－|O2M|＝3，即－＝3，化簡(jiǎn)得16x2－80x－9y2＋64＝0，又因?yàn)閨O1M|－|O2M|＝3，表示動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)O1及O2的距離差為常數(shù)3. 且|O1O2|＝5＞3，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線(xiàn)右支，方程為－＝1(x≥4)．

60、 4．忽略直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)平行只有一個(gè)交點(diǎn) 過(guò)點(diǎn)(0,3)作直線(xiàn)l，如果它與雙曲線(xiàn)－＝1只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的條數(shù)是________． [錯(cuò)解]　2 [錯(cuò)解分析]　在探討直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，可以考慮直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程的解的情況，但容易忽視直線(xiàn)與漸進(jìn)線(xiàn)平行的特殊情況，這時(shí)構(gòu)成的方程是一次的． 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系分為：相交、相離、相切三種．其判定方法有兩種：一是將直線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0. 若a≠0，Δ＞0，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；若a＝0，直線(xiàn)與漸進(jìn)線(xiàn)平行，有一個(gè)交點(diǎn)． 若a≠0，Δ＝0，直線(xiàn)與雙曲

61、線(xiàn)相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)． 若a≠0，Δ＜0，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相離，沒(méi)有公共點(diǎn)． 二是可以利用數(shù)形結(jié)合的思想． [正解]　用數(shù)形結(jié)合的方法：過(guò)點(diǎn)(0,3)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)分兩類(lèi)．一類(lèi)是平行于漸進(jìn)線(xiàn)的，有兩條；一類(lèi)是與雙曲線(xiàn)相切的有兩條．如圖所示： 故填4. ———————專(zhuān)家預(yù)測(cè)·鞏固提升——————— (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第53頁(yè)) 1．(改編題)已知拋物線(xiàn)y2＝4x與雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A，B是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，若(＋)·＝0，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______． ＋1　[因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y2＝4x與雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)

62、A，B是兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)，且(＋)·＝0，由二次曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性可得，AF⊥x軸，所以F(1,0)，AF＝2，A(1,2)，則 解得a＝－1，所以e＝＝＝＋1.] 2．(改編題)已知拋物線(xiàn)y2＝2px(p＞0)，過(guò)其焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6，則該拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為_(kāi)_______． x＝－2　[因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角為135°，故它的斜率為－1，又∵焦點(diǎn)為， ∴設(shè)直線(xiàn)為y＝－， ∵直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，∴∴消參得4x2－12px＋p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝3p， ∵線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6， ∴＝6，∴

63、p＝4， ∴拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－2.] 3．(改編題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0)，兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形． (1)求橢圓C的方程； (2)如圖10－12，動(dòng)直線(xiàn)l：y＝kx＋m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M，N是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，且F1M⊥l，F(xiàn)2N⊥l.求四邊形F1MNF2面積S的最大值． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394075】 圖10－12 [解]　(1)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0)，所以半焦距c＝1，又因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，所以＝，解得a＝2，b＝，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1； 4分

64、 (2)將直線(xiàn)l的方程y＝kx＋m代入橢圓C的方程3x2＋4y2＝12中，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由直線(xiàn)l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知， Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡(jiǎn)得：m2＝4k2＋3. 6分 設(shè)d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝， 法一：當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為θ，則|d1－d2|＝|MN|×|tan θ|， ∴|MN|＝，S＝(d1＋d2)＝＝＝＝， 8分 ∵m2＝4k2＋3，∴當(dāng)k≠0時(shí)，|m|＞，|m|＋＞＋＝，S＜2. 當(dāng)k＝0時(shí)，四邊形F1MNF2是矩形，S＝2. 所以四邊形F1MNF2面積S的最

65、大值為2. 12分 法二：∵d＋d＝2＋2＝＝， d1d2＝·＝＝＝3. ∴|MN|＝ ＝＝. 8分 四邊形F1MNF2的面積 S＝|MN|(d1＋d2)＝(d1＋d2)， S2＝(d＋d＋2d1d2)＝＝16－42≤12. 當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)，S2＝12，S＝2，故Smax＝2. 所以四邊形F1MNF2的面積S的最大值為2. 12分 4．(改編題)設(shè)定圓M：(x＋)2＋y2＝16，動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)F(，0)且與圓M相切，記動(dòng)圓N圓心N的軌跡為N.過(guò)曲線(xiàn)N上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且|QP|＝|PC|. (1)求動(dòng)圓N圓心N的軌跡N與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的

66、方程； (2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，直線(xiàn)AC(C點(diǎn)不同于A，B)與直線(xiàn)x＝2交于點(diǎn)R，D為線(xiàn)段RB的中點(diǎn)．試判斷直線(xiàn)CD與曲線(xiàn)E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論． [解]　(1)∵點(diǎn)F(，0)在圓M：(x＋)2＋y2＝16內(nèi)，∴圓N內(nèi)切于圓M， ∴|NM|＋|NF|＝4＞|FM|， ∴點(diǎn)N的軌跡N的方程為＋y2＝1. 設(shè)C(x，y)，P(x0，y0)，由題意得 即又＋y＝1， 代入得＋2＝1， 即x2＋y2＝4. 即動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為x2＋y2＝4.6分 (2)設(shè)C(m，n)，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，t)， ∵A，C，R三點(diǎn)共線(xiàn)，∴∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)，則4n＝t(m＋2)，∴t＝，8分 ∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為， ∴直線(xiàn)CD的斜率為k＝＝＝，而m2＋n2＝4， ∴m2－4＝－n2，∴k＝＝－，10分 ∴直線(xiàn)CD的方程為y－n＝－(x－m)，化簡(jiǎn)得mx＋ny－4＝0， ∴圓心O到直線(xiàn)CD的距離d＝＝＝2＝r，所以直線(xiàn)CD與圓O相切. 32