2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題60 特殊值法解決二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題60 特殊值法解決二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題 縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容考題比較靈活，熱點(diǎn)是通項(xiàng)公式的應(yīng)用，利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或特定的項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n，求參數(shù)的值等，難度控制在中等或中等以下． 對于二項(xiàng)式系數(shù)問題，往往利用“賦值法”.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. 1、含變量的恒等式：是指無論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立.所以通?？蓪ψ兞抠x予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì) 2、二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式 3、常用賦

2、值舉例： （1）設(shè)， ①令，可得： ②令，可得： ，即： （假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合①可得： （2）設(shè) ① 令，則有：，即展開式系數(shù)和 ② 令，則有：，即常數(shù)項(xiàng) ③ 令，設(shè)為偶數(shù)，則有： ，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差 由①③即可求出和的值. 【經(jīng)典例題】 例1.【山東省2018年普通高校招生（春季）考試】在的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和等于（ ） A. 32 B. -32 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】分析：令x=y=1，則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和. 詳解：令

3、x=y=1，則得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為， 選D. 點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法， 只需令即可；對形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可. 例2.【2018年【衡水金卷】（四）】在二項(xiàng)式的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和記為，第項(xiàng)的系數(shù)記為，若，則的值為（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 2或 【答案】D 例3.已知，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【

4、解析】：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過對賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點(diǎn)可令，得到，只需再求出即可.令可得，所以 答案：B 例4.設(shè)，則的值為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】思路：所求，在恒等式中令可得：，令時(shí)，所以 答案：A 例5. 【2018屆河南省鄭州市一模】在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之比為3：2，則的系數(shù)為（ ） A. 50 B. 70 C. 90 D. 120 【答案】C 令得． 所以的系數(shù)為．

5、選C． 例6.在的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于1024，則中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（ ） A. 462 B. 330 C. 682 D. 792 【答案】A 【解析】的展開式中，所有奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于，則中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是. 故選A 例7.【2018屆百校聯(lián)盟TOP20四月聯(lián)考】已知的展開式中所有偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為496，則展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)為_______. 【答案】270 【解析】分析：利用賦值法得到兩式相減即 故答案為：270 例8.【2018屆浙江省諸暨市高三上期末】已知，則______；則__________． 【答案】 1

6、 60 【解析】令 得：1= 因?yàn)?， 所以 例9.【2018屆衡水金卷全國大聯(lián)考】已知的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和、系數(shù)之和分別為，，則的最小值為__________． 【答案】16 【解析】顯然.令，得. 所以. 當(dāng)且僅當(dāng).即時(shí)，取等號，此時(shí)的最小值為16. 例10.若，則的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 令可得： 而在中，令可得： 答案：D 【精選精練】 1．【2018屆福建省莆田市第二次檢測】若（）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為32，

7、則其展開式的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：首先根據(jù)二項(xiàng)式定理中所涉及的二項(xiàng)式系數(shù)和為，結(jié)合題中條件，求得，將代入二項(xiàng)式，將其展開式的通項(xiàng)寫出，令冪指數(shù)為零，求得，再回代，求得結(jié)果，得到正確選項(xiàng). 詳解：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)，可知，解得，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以其展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選B. 2．【2018屆安徽省合肥市三模】已知展開式中的系數(shù)為，則展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 A. 64 B. 32 C. D. 【答案】B ，解得， 二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故選B. 點(diǎn)睛：

8、本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題. 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用. 3．【2018屆四川省雅安市三診】已知展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和為，則的展開式中的系數(shù)（ ） A. B. C. D. 【答案】A 故選A. 4．【2018屆河北衡水金卷模擬一】的展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)后的各項(xiàng)系數(shù)和為（ ） A. B. C.

9、 D. 【答案】A 【解析】令，得，而常數(shù)項(xiàng)為，所以展開式中剔除常數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)和為，故選A. 5．在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是__________． 【答案】1. 【解析】分析：令，即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和． 詳解：由題意，令，即可得到二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為． 點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)的和求解，其中正確合理賦值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力． 6．【2018屆貴州省凱里市第一中學(xué)四模】二項(xiàng)式的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，則展開式中的第4項(xiàng)為__________． 【答案】 【解析】分析：先由

10、奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32確定n值，然后根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式求出第4項(xiàng)即可. 詳解：∵二項(xiàng)式的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32， ∴，即 展開式中的第項(xiàng)為 故答案為： 7．【2018屆安徽省安慶市二模】如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是______. 【答案】-189 8．若的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)的絕對值之和為64，則__________；該展開式中的常數(shù)項(xiàng)是__________． 【答案】 3 -27 【解析】（1）因?yàn)橄禂?shù)的絕對值之和為64，則當(dāng)時(shí)，有，所以； （2）， 所以，常數(shù)項(xiàng)為. 9.【2018屆北京市海淀區(qū)高三上期末】已

11、知展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為，則__________． 【答案】6 【解析】令二項(xiàng)式中的x=1得到展開式中的各項(xiàng)系數(shù)的和4n 又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n 據(jù)題意得 解得n=6 故答案為：6 10．【2018屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)5月模擬】設(shè)，則__________，__________． 【答案】 . 80. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查二項(xiàng)式定理求值，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握能力和觀察分析能力.(2)本題解題的關(guān)鍵是 . . 11．【騰遠(yuǎn)2018年浙江紅卷】已知的展開式中的系數(shù)為，則__________，此多項(xiàng)式的展開式中含的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為__________． 【答案】 -2 -32 【解析】分析：由題意的，展開式中含的系數(shù)為，解得， 令，分別令和，則兩式相減，即可求解. 詳解：由題意的，展開式中含的系數(shù)為，解得， 令， 令，則；令，則， 兩式相減，則展開式中含奇次冪的系數(shù)之和為. 12．【2018年天津市河西區(qū)三模】設(shè)，則 __________． 【答案】211