2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題64 統(tǒng)計初步

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1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題64 統(tǒng)計初步 縱觀近幾年的高考試題，統(tǒng)計是高考熱點之一，往往以實際問題為背景，考查統(tǒng)計相關(guān)概念的計算，考查識圖用圖能力、數(shù)據(jù)處理能力以及分析問題解決問題的能力.小題、大題均有獨立考查，大題也易于和概率一同考查.難度控制在中等以下． 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明. （一）隨機抽樣： 1、抽簽法：把總體中的個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取次，就得到容量為的樣本 2、系統(tǒng)抽樣：也稱為等間隔抽樣，大致分為以下幾個步驟： （1）先將總體的個個體編號

2、（2）確定分段間隔，設(shè)樣本容量為，若為整數(shù)，則 （3）在第一段中用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號，則后面每段所確定的個體編號與前一段確定的個體編號差距為，例如：第2段所確定的個體編號為，第段所確定的個體編號為，直至完成樣本 注：（1）若不是整數(shù)，則先用簡單隨機抽樣剔除若干個個體，使得剩下的個體數(shù)能被整除，再進行系統(tǒng)抽樣.例如501名學生所抽取的樣本容量為10，則先隨機抽去1個，剩下的個個體參加系統(tǒng)抽樣 （2）利用系統(tǒng)抽樣所抽出的個體編號排成等差數(shù)列，其公差為 3、分層抽樣：也稱為按比例抽樣，是指在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層

3、取出的個體合在一起作為樣本. 分層抽樣后樣本中各層的比例與總體中各個層次的比例相等，這條結(jié)論會經(jīng)常用到 （二）頻率分布直方圖： 1、頻數(shù)與頻率 （1）頻數(shù)：指一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)重復出現(xiàn)的次數(shù)或一組數(shù)據(jù)在某個確定的范圍內(nèi)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)的個數(shù). （2）頻率：是頻數(shù)與數(shù)據(jù)組中所含數(shù)據(jù)的個數(shù)的比，即頻率=頻數(shù)/總數(shù) （3）各試驗結(jié)果的頻率之和等于1 2、頻率分布直方圖：若要統(tǒng)計每個小組數(shù)據(jù)在樣本容量所占比例大小，則可通過頻率分布表（表格形式）和頻率分布直方圖（圖像形式）直觀的列出 （1）極差：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 （2）組距：將一組數(shù)據(jù)平均分成若干組（通常5-12組），則組內(nèi)數(shù)據(jù)

4、的極差稱為組距，所以有組距=極差/組數(shù) （3）統(tǒng)計每組的頻數(shù)，計算出每組的頻率，便可根據(jù)頻率作出頻率分布直方圖 （4）在頻率分布直方圖中：橫軸按組距分段，縱軸為“頻率/組距” （5）頻率分布直方圖的特點： ① 頻率=，即分布圖中每個小矩形的面積 ② 因為各試驗結(jié)果的頻率之和等于1，所以可得在頻率分布直方圖中，各個矩形的面積和為1 （三）莖葉圖：通?？捎糜诮y(tǒng)計和比較兩組數(shù)據(jù)，其中莖是指中間的一列數(shù)，通常體現(xiàn)數(shù)據(jù)中除了末位數(shù)前面的其他數(shù)位，葉通常代表每個數(shù)據(jù)的末位數(shù).并按末位數(shù)之前的數(shù)位進行分類排列，相同的數(shù)據(jù)需在莖葉圖中體現(xiàn)多次 （四）統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的數(shù)字特征： 1、眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)

5、中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，叫做眾數(shù) 2、中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間位置的數(shù)稱為中位數(shù)，其中若數(shù)據(jù)的總數(shù)為奇數(shù)個，則為中間的數(shù)；若數(shù)據(jù)的總數(shù)為偶數(shù)個，則為中間兩個數(shù)的平均值. 3、平均數(shù)：代表一組數(shù)據(jù)的平均水平，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，則有： 4、方差：代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，記為，設(shè)一組數(shù)據(jù)為：，其平均數(shù)為，則有：，其中越小，說明數(shù)據(jù)越集中 5、標準差：也代表數(shù)據(jù)分布的分散程度，為方差的算術(shù)平方根 【經(jīng)典例題】 例1.【2018年理新課標I卷】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍．實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)

6、前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例．得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是 A. 新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B. 新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D. 新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 【答案】A 詳解：設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前的收入為M，而新農(nóng)村建設(shè)后的收入為2M，則新農(nóng)村建設(shè)前種植收入為0.6M，而新農(nóng)村建設(shè)后的種植收入為0.74M，所以種植收入增加了，所以A項不正確；新農(nóng)村建設(shè)前其他收入我0.04M，新農(nóng)村建設(shè)后其他收入為0.1M，故增加了一倍以上，所以B項正確；新農(nóng)村建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為0.3M，新農(nóng)村建設(shè)后為

7、0.6M，所以增加了一倍，所以C項正確；新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的綜合占經(jīng)濟收入的，所以超過了經(jīng)濟收入的一半，所以D正確；故選A. 例2.【2018年江蘇卷】已知5位裁判給某運動員打出的分數(shù)的莖葉圖如圖所示，那么這5位裁判打出的分數(shù)的平均數(shù)為________． 【答案】90 【解析】分析：先由莖葉圖得數(shù)據(jù)，再根據(jù)平均數(shù)公式求平均數(shù). 詳解：由莖葉圖可知，5位裁判打出的分數(shù)分別為，故平均數(shù)為. 點睛：的平均數(shù)為. 例3.【2018年全國卷Ⅲ文】某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨

8、機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是________． 【答案】分層抽樣 例4.【2017課標1，文2】為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標準差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) 【答案】B 【解析】 試題分析：刻畫評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標是標準差，故選B 例5.【2017山東，文8】如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5

9、名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等,且平均值也相等,則x和y的值分別為 A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7 【答案】A 【解析】 例6.【2017課標3，文3】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（ ） A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接

10、待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 【答案】A 例7.【2017江蘇，3】 某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品,產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 件. 【答案】18 例8. 某校從參加高三年級期末考試的學生中隨機抽取100名學生，將其數(shù)學成績分成五段：，，它的頻率分布直方圖如圖所示，則該批學生中成績不低于90分的人數(shù)是_____． 【答案】65 例9.【2017北京，文17】某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男

11、女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： （Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率； （Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)； （Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，表示分數(shù)大于等于70的概率，就求后兩

12、個矩形的面積；（Ⅱ）根據(jù)公式頻數(shù)等于頻率求解；（Ⅲ）首先計算分數(shù)大于等于70分的總?cè)藬?shù)，根據(jù)樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等再計算所有的男生人數(shù)，100-男生人數(shù)就是女生人數(shù). 試題解析：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為. 所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4. （Ⅱ）根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為. 所以總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為. 例10. 【2018年新課標I卷文】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50

13、天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下： 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 頻數(shù) 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用 水量 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 （1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： （2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率； （3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．） 【答案】

14、(1)直方圖見解析.(2) 0.48．(3). 結(jié)果. 詳解：（1） 該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為 ． 估計使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水． 點睛：該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計的問題，涉及到的知識點有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計算變量落在相應區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認真審題，細心運算，仔細求解，就可以得出正確結(jié)果. 【精選精練】 1．【2018屆河南省南陽市第一中學第二十次考】對于一組數(shù)據(jù)，如果將它們改變?yōu)?，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 平均數(shù)不變，方差變 B. 平均數(shù)與方差均發(fā)生變化 C. 平

15、均數(shù)與方差均不變 D. 平均數(shù)變，方差保持不變 【答案】D 【解析】分析：先根據(jù)平均數(shù)的公式變化前后的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式進行計算變化前后的方差，從而可得結(jié)果. 點睛：本題考查了平均數(shù)和方差的公式，平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，，方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù). 2．【2018屆湖北省黃岡中學5月三模】下圖是某企業(yè)產(chǎn)值在2008年~2017年的年增量（即當年產(chǎn)值比前一年產(chǎn)值增加的量）統(tǒng)計圖（單位：萬元），下列說法正確的是（ ） A. 2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值少 B. 從2011年到2015年，產(chǎn)值年增量逐年減少 C. 產(chǎn)

16、值年增量的增量最大的是2017年 D. 2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低 【答案】D 【解析】分析：讀懂題意，理解“年增量”量的含義，逐一分析選項中的說法，即可的結(jié)果. 詳解：對，2009年產(chǎn)值比2008年產(chǎn)值多萬元，故錯誤； 對，從2011年到2015年，產(chǎn)值年增量逐年增加，故錯誤； 對，產(chǎn)值年增量的增量最大的不是2017年，故錯誤； 對，因為增長率等于增長量除以上一年產(chǎn)值,由于上一年產(chǎn)值不確定，所以2016年的產(chǎn)值年增長率可能比2012年的產(chǎn)值年增長率低，對，故選D. 3．某校高二（16）班共有50人，如圖是該班在四校聯(lián)考中數(shù)學成績的頻率分布直方圖

17、，則成績在內(nèi)的學生人數(shù)為( ) A. 36 B. 25 C. 22 D. 11 【答案】B 點睛：本題主要考查了用樣本估計總體，獨立性檢驗的應用，其中對于用樣本估計總體主要注意以下兩個方面：1、用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計總體則是用樣本的頻率分布去估計總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準確，直方圖比較直觀；2、頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1. 4．【2018屆山東省肥城市適應性訓

18、練】某學校高一學生有720人，現(xiàn)從高一、高二、高三這三個年級學生中采用分層抽樣方法，抽取180人進行英語水平測試，已知抽取高一學生人數(shù)是抽取高二學生人數(shù)和高三學生人數(shù)的等差中項，且高二年級抽取65人，則該校高三年級學生人數(shù)是__________． 【答案】660 【解析】分析：求出高三年級抽取的人數(shù)，再根據(jù)比例關(guān)系求出高三學生人數(shù)． 詳解：根據(jù)題意，設(shè)高三年級抽取x人，則高一抽取（180-x-65）人， 2（180-x-65）=x+65， x=55；高一學生有720人，則高三學生有720× 故答案為：660． 5．【2018屆江蘇省蘇州市測試（三）】從某小區(qū)抽取 100 戶居民進

19、行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在 50 度到 350 度之間，頻率分布直方圖如圖所示．則在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為__________. 【答案】22 點睛：明確頻率分布直方圖的意義，即圖中的每一個小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1. 6．某中學采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高二年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查．現(xiàn)將800名學生從1到800進行編號．已知從這16個數(shù)中取的數(shù)是35，則在第1小組中隨機抽到的數(shù)是________． 【答案】 【解析】分析：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義進行求解即可． 詳解：由題意，樣本間隔為， 因為在這16個

20、數(shù)字中取到的數(shù)字為， 設(shè)從第一小組中隨機抽取的數(shù)字為，則，解得． 7．已知總體的各個體的值從小到大為：，且總體的中位數(shù)為4.若要使該總體的方差最小，則___________． 【答案】 所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 所以數(shù)據(jù)的方差為 ， 當時，最小，此時， 所以． 點睛：本題主要考查了統(tǒng)計知識的綜合應用，其中解答中熟記統(tǒng)計數(shù)據(jù)中的中位數(shù)、平均數(shù)、方差的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力． 8．【2018屆江蘇省南京師大附中高考考前模擬】某公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號的轎車，產(chǎn)量分別為1400輛、5600輛、2000輛．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所

21、有的產(chǎn)品中抽取45輛進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取______件． 【答案】10 【解析】分析：根據(jù)題意求出抽樣比例，再計算應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取的樣本數(shù)據(jù)． 詳解：抽樣比例是，故應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取 故答案為：10． 9．【廣東省東莞市2018年全國卷考前沖刺】已知樣本方差，則樣本的方差為_______. 【答案】8 10．【2018屆四川省梓潼中學校高考模擬（二）】“日行一萬步，健康你一生”的養(yǎng)生觀念已經(jīng)深入人心，由于研究性學習的需要，某大學生收集了手機“微信運動”團隊中特定甲、乙兩個班級名成員一天行走的步數(shù)，然后采用分層抽樣的方法按照，，，分層抽取了名成員的

22、步數(shù)，并繪制了如下尚不完整的莖葉圖（單位：千步）；已知甲、乙兩班行走步數(shù)的平均值都是千步. （1）求，的值； （2）若估計該團隊中一天行走步數(shù)少于千步的人數(shù)比處于千步的人數(shù)少人，求的值. 【答案】(1); . (2). 【解析】分析：（1）由甲班的平均值為和乙班的平均值為，利用數(shù)據(jù)平均數(shù)的計算公式，即可求解相應的的值. （2）由該團隊中一天行走步數(shù)少于千步的人數(shù)比處于千步的人數(shù)少人，里程方程即可求解. 詳解：（1）因為甲班的平均值為，同理，因為乙班的平均值為， 所以，解得. 點睛：本題主要考查了統(tǒng)計知識的綜合應用，其中解答中涉及到莖葉圖數(shù)據(jù)的讀取，平均數(shù)的計算公式等知

23、識點的運用，著重考查了分析問題和解答問題的能力. 11．【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中考前訓練】某班級體育課舉行了一次“投籃比賽”活動，為了了解本次投籃比賽學生總體情況，從中抽取了甲乙兩個小組樣本分數(shù)的莖葉圖如圖所示． 5 6 5 8 6 0 1 3 6 2 4 6 9 7 1 2 7 1 3 8 0 1 8 1 甲 乙 （1）分別求甲乙兩個小組成績的平均數(shù)與方差； （2）分析比較甲乙兩個小組的成績；

24、 （3）從甲組高于70分的同學中，任意抽取2名同學，求恰好有一名同學的得分在[80,90）的概率． 【答案】（1）,; , . （2）甲乙兩個小組成績相當; 乙組成績比甲組成績更穩(wěn)定． （3）. ． ． 記甲乙成績的的方差分別為，，則 ． ． （2）因為，所以甲乙兩個小組成績相當；因為，所以乙組成績比甲組成績更穩(wěn)定． （3）由莖葉圖知，甲組高于70分的同學共4名，有2名在[70,80），記為，，有2名在[80,90）記為，． 任取兩名同學的基本事件有6個： （,），（,），（,），（,），（,），（,）． 恰好有一名

25、同學的得分在[80,90）的基本事件數(shù)共4個： （,），（,），（,），（,）． 所以恰好有一名同學的得分在[80,90）的概率為． 12．某校600名文科學生參加了4月25日的三調(diào)考試，學校為了了解高三文科學生的數(shù)學、外語情況，利用隨機數(shù)表法從抽取100名學生的成績進行統(tǒng)計分析，將學生編號為000，001，002，…599 12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76 55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09

26、90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 （1）若從第6行第7列的數(shù)開始右讀，請你一次寫出最先抽出的5個人的編號（上面是摘自隨機數(shù)表的第4行到第7行）； （2）抽出的100名學生的數(shù)學、外語成績?nèi)缦卤恚? 外語 優(yōu) 良 及格 數(shù)學 優(yōu)

27、 8 m 9 良 9 n 11 及格 8 9 11 若數(shù)學成績優(yōu)秀率為35%，求m，n的值； （3）在外語成績?yōu)榱嫉膶W生中，已知m≥12，n≥10，求數(shù)學成績優(yōu)比良的人數(shù)少的概率． 【答案】(1) 最先抽出的5人的編號依次為：544,354,378,520,384． (2) . (3) . 【解析】分析：（1）根據(jù)簡單的隨機抽樣的定義，即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)數(shù)學成績優(yōu)秀率是，構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程可得值，進而根據(jù)抽取樣本容量為，可 (3)由題意m+n=35，且m≥12，n≥10，∴滿足條件的（m，n）有：（12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），（18，17），（19，16），（20，15），（21，14），（22，13），（23，12），（24，11），（25，10），共14種，且每種出現(xiàn)都是等可能的， 記“數(shù)學成績優(yōu)比良的人數(shù)少”為事件M，則事件M包含的基本事件有： （12，23），（13，22），（14，21），（15，20），（16，19），（17，18），共6種， ．