（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理（重點生含解析）

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1、（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十一 直線與圓講義 理（重點生，含解析） 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 ___________ ____________ 直線方程、圓的方程、點到直線的距離·T6 2017 圓的性質(zhì)、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)·T15 圓的弦長問題、雙曲線的幾何性質(zhì)·T9 平面向量基本定理、直線與圓位置關(guān)系·T12 直線與圓的方程、直線與拋物線位置關(guān)系·T20 2016 拋物線、圓的標準方程·T10 圓的方程、點到直線的距離·T4 點到直線的距離、弦長問題·T16 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年2考，涉及圓的性質(zhì)、點到直線

2、的距離、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)．預計2019年會以選擇題的形式考查圓方程的求法及應用 卷Ⅱ3年2考，涉及圓的方程、點到直線的距離、雙曲線的幾何性質(zhì)，題型為選擇題，難度適中．預計2019年會以選擇題的形式考查直線與圓的綜合問題 卷Ⅲ3年4考，涉及直線方程、圓的方程、點到直線的距離、弦長問題、直線與拋物線的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)等，既有選擇、填空題，也有解答題，難度適中．預計2019年會以選擇題或填空題的形式考查直線與圓的位置關(guān)系，同時要注意圓與橢圓、雙曲線、拋物線的綜合問題 橫向把握重點 1.圓的方程近幾年成為高考全國卷命題的熱點，需重點關(guān)注．此類試題難度中等偏下，多以選擇題或填空題

3、形式考查． 2.直線與圓的方程偶爾單獨命題，單獨命題時有一定的深度，有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大，對直線與圓的方程(特別是直線)的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問題上. 直線的方程 2．已知直線x＋y－1＝0與直線2x＋my＋3＝0平行，則它們之間的距離是(　　) A．1 B. C．3 D．4 解析：選B　由題意可知＝≠，解得m＝2，所以兩平行線之間的距離d＝＝. 3．已知點M是直線x＋y＝2上的一個動點，且點P(，－1)，則|PM|的最小值為(　　) A. B．1 C．2 D．3 解析：選B　|PM|的最小值即點P(，－1)到直線x＋y＝2的距離

4、，又＝1.故|PM|的最小值為1. 4．設A，B是x軸上的兩點，點M的橫坐標為3，且|MA|＝|MB|，若直線MA的方程為x－y＋1＝0，則直線MB的方程是(　　) A．x＋y－7＝0 B．x－y＋7＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0 解析：選A　法一：由|MA|＝|MB|知，點M在A，B的垂直平分線上．由點M的橫坐標為3，且直線MA的方程為x－y＋1＝0，得M(3,4)．由題意知，直線MA，MB關(guān)于直線x＝3對稱，故直線MA上的點(0,1)關(guān)于直線x＝3的對稱點(6,1)在直線MB上，∴直線MB的方程為x＋y－7＝0. 法二：由點M的橫坐標為3，且直線MA的方

5、程為x－y＋1＝0，得M(3,4)，代入四個選項可知只有A項滿足題意，選A. 5.如圖所示，射線OA，OB與x軸正半軸的夾角分別為45°和30°，過點P(1,0)作直線分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線x－2y＝0上時，直線AB的方程為____________． 解析：由題意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan 150°＝－，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x，設A(m，m)，B(－n，n)(m≠0，n≠0)，則AB的中點C，當m＝1時，n＝－，A(1,1)，B，C，故點C不在直線x－2y＝0上，不滿足題意，當m≠1時，n≠－，由點C在直線x－2y＝0

6、上，且A，P，B三點共線得解得m＝，所以A(，)，又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)，即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 答案：(3＋)x－2y－3－＝0 [系統(tǒng)方法] 解決直線方程問題的2個注意點 (1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性． (2)要注意幾種直線方程的局限性．點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線. 圓的方程 [題組全練] 1．圓心在直線2x－y－

7、7＝0上的圓C與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)兩點，則圓C的標準方程為(　　) A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5 解析：選D　法一：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 故解得 半徑r＝＝， 故圓C的標準方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 法二：利用圓心在直線2x－y－7＝0上來檢驗，只有D符合，即(x－2)2＋(y＋3)2＝5的圓心為(2，－3)，2×2＋3－7＝0，其他三個圓心(－2，－3)，(2,3)，(－2,3)均不符合題意，故選D.

8、2．已知圓x2＋y2－2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax＋by－2＝0對稱，則ab的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　將圓的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝4，若圓關(guān)于已知直線對稱，即圓心(1,2)在直線2ax＋by－2＝0上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤. 3．(2019屆高三·豫南十校聯(lián)考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點M(0，)在圓C上，且圓心到直線2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為____________． 解析：設C(a,0)(a＞0)，由題意知＝，解得a＝2，所以r＝＝3，故圓C的方程為(x－2)2＋y2＝9

9、. 答案：(x－2)2＋y2＝9 4．在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為____________． 解析：由題意得，半徑等于＝ ＝ ≤ ≤，當且僅當m＝1時取等號，所以半徑最大為，所求圓為(x－1)2＋y2＝2. 答案：(x－1)2＋y2＝2 [系統(tǒng)方法] 求圓的方程的2種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程． (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b

10、，r的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值． 直線(圓)與圓的位置關(guān)系 [多維例析] 角度一　直線(圓)與圓位置關(guān)系的判定及應用 　在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程． (2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． [解]　(1)因為圓心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上，所以解方程組得圓心C(3,2)，

11、又因為圓的半徑為1，所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1. 又因為點A(0,3)，顯然過點A，圓C的切線的斜率存在，設所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓C的圓心在直線l：y＝2x－4上，所以設圓心C(a,2a－4)，又因為圓C的半徑為1，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1， 設M(x，y)，又因為|MA|＝2|MO|， 則有＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，設為圓D，圓心D(0，－1)． 所以點M既在圓C上，

12、又在圓D上，即圓C與圓D有交點， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤. 故圓心C的橫坐標a的取值范圍是. 角度二　已知直線(圓)與圓的位置關(guān)系求參數(shù)值(范圍) 　(1)設直線x－y－a＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，O為坐標原點，若△AOB為等邊三角形，則實數(shù)a的值為(　　) A．± B．± C．±3 D．±9 (2)已知點M(－2,0)，N(2,0)，若圓x2＋y2－6x＋9－r2＝0(r＞0)上存在點P(不同于點M，N)，使得PM⊥PN，則實數(shù)r的取值范圍是(　　) A．(1,5) B．[1,5] C．(1,3] D．[1,3] [解析]　

13、(1)由題意知，圓心坐標為(0,0)，半徑為2，則△AOB的邊長為2，所以△AOB的高為，即圓心到直線x－y－a＝0的距離為，所以＝，解得a＝±. (2)將圓的方程化為標準方程得(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)，若要使圓上一點P滿足PM⊥PN，則需圓經(jīng)過M，N兩點之間，即r∈[1,5]．當r＝1時，(x－3)2＋y2＝1經(jīng)過點N(2,0)，圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點P，使得PM⊥PN；當r＝5時，(x－3)2＋y2＝25經(jīng)過點M(－2,0)，同理圓(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)上不存在點P，使得PM⊥PN.故選A. [答案]　(1)B　(2)A [系統(tǒng)方法]

14、 1．直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)求過圓外一定點的切線方程的基本思路： 首先將直線方程設為點斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率，最后若求得的斜率只有一個，則存在一條過切點與x軸垂直的切線． 2．弦長的求解方法 幾何法 根據(jù)半徑，弦心距，弦長構(gòu)成的直角三角形，構(gòu)成三者間的關(guān)系r2＝d2＋(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離) 公式法 根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所

15、得交點的橫坐標，k為直線的斜率) 距離法 求出交點坐標，用兩點間距離公式求解 [綜合訓練] 1．在圓(x－1)2＋(y－1)2＝9上總有四個點到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(－17,1) B．(－15,3) C．(－17,3) D．(－15,1) 解析：選C　由圓上總有四個點到直線l：3x＋4y＋t＝0的距離為1，得圓心(1,1)到直線l的距離d＝＜r－1＝2，解得－17＜t＜3，即實數(shù)t的取值范圍是(－17,3)． 2．已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0交于M，N兩點．若·

16、＝12，其中O為坐標原點，則|MN|＝(　　) A．2 B．4 C. D．2 解析：選A　設M(x1，y1)，N(x2，y2)，圓C的方程可化為(x－2)2＋(y－3)2＝1，其圓心為(2,3)，將y＝kx＋1代入方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，所以Δ＝16(k2＋2k＋1)－28(1＋k2)＝－12k2＋32k－12＞0，x1＋x2＝，x1x2＝.·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8，由題設可得＋8＝12，得k＝1，滿足Δ>0，所以直線l的方程為y＝x＋1.故圓心(2,3)恰在直線l上，所

17、以|MN|＝2. 3．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直線l過點A(4,0)，且被圓C1截得的弦長為2，則直線l的方程為______________________． 解析：由于直線x＝4與圓C1不相交，所以直線l的斜率存在．設直線l的方程為y＝k(x－4)，圓C1的圓心(－3,1)到直線l的距離為d，因為圓C1被直線l截得的弦長為2，所以d＝＝1.由點到直線的距離公式得d＝，化簡得k(24k＋7)＝0， 即k＝0或k＝－， 所以直線l的方程為y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0. 答案：y＝0或7x＋24y－28＝0

18、 重難增分 點、直線與圓的綜合問題 [考法全析] 一、曾經(jīng)這樣考 1．[與圓有關(guān)的范圍問題](2014·全國卷Ⅱ)設點M(x0,1)，若在圓 O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1]　　　　　　　 B. C．[－，] D. 解析：選A　法一：常規(guī)思路穩(wěn)解題 由題意可知M在直線y＝1上運動，設直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當x0＝0即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在

19、∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 法二：特殊思路妙解題 如圖，過O作OP⊥MN于點P， 則|OP|＝|OM|sin 45°≤1， ∴|OM|≤，即≤， ∴x≤1，即－1≤x0≤1. [啟思維]　本題考查直線與圓的位置關(guān)系(圓的切線問題)、存在性問題，數(shù)形結(jié)合法是解決此類題目的最有效方法． 二、還可能這樣考 2．[與圓有關(guān)的最值問題]已知從圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一點P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標原點，且有|PM|＝|PO|，則當|PM

20、|取最小值時點P的坐標為____________． 解析：如圖所示，連接CM，CP.由題意知圓心C(－1,2)，半徑r＝.因為|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可．當PO垂直于直線2x－4y＋3＝0時，即PO所在直線的方程為2x＋y＝0時，|PM|的值最小，此時點P為兩直線的交點，由解得故當|PM|取最小值時點P的坐標為. 答案： [啟思維]　本題考查圓的切線長問題，解決此類問題一般放在由該點與切點的連線、半徑及該點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形中求解

21、． 3．[與圓有關(guān)的定點問題]已知圓O：x2＋y2＝1，點P為直線＋＝1上一動點，過點P向圓O引兩條切線PA，PB，A，B為切點，則直線AB經(jīng)過定點(　　) A. B. C. D. 解析：選B　因為點P是直線＋＝1上的一動點，所以設P(4－2m，m)． 因為PA，PB是圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以點A，B在以OP為直徑的圓C上，即弦AB是圓O和圓C的公共弦． 所以圓C的方程為x(x－4＋2m)＋y(y－m)＝0，　① 又x2＋y2＝1，?、? 所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直線方程為(2x－

22、y)m＋(－4x＋1)＝0， 令得 所以直線AB過定點. [啟思維]　本題考查圓的切線問題、兩圓公共弦所在直線的求法以及直線過定點問題．解決直線過定點問題時，應先將含參的直線方程化為以參數(shù)為主元的形式，再令參數(shù)主元的系數(shù)為0即可求得定點坐標． 4．[與向量等知識的綜合問題]在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2＋y2＝5交于A，B兩點，其中點A在第一象限，且＝2，則直線l的方程為____________． 解析：法一：由題意，設直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，與x2＋y2＝5聯(lián)立， 消去x并整理得(m2＋1)y2＋2my－4＝0. 設A(x1，y1)，B

23、(x2，y2)， 則＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)， y1＋y2＝－，① y1y2＝－.② 因為＝2，所以－y2＝2y1，③ 聯(lián)立①②③，可得m2＝1， 又點A在第一象限，所以y1＞0，則m＝1，所以直線l的方程為x－y－1＝0. 法二：由題意，設直線l的方程為x＝my＋1(m≠0)，即x－my－1＝0，所以圓心O到直線l的距離d＝. 又＝2，且|OM|＝1，圓x2＋y2＝5的半徑r＝， 所以＋＝2(－)，即3＝， 所以9＝5－，解得m2＝1， 又點A在第一象限，所以m＝1， 故直線l的方程為x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0 [啟思維]　本題將直

24、線與圓的位置關(guān)系、共線向量問題相綜合，考查直線方程的求法．直線與圓的綜合問題常利用解析幾何的基本思想方法(即幾何問題代數(shù)化)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)的計算，使問題得到解決． [增分集訓] 1．(2018·全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2

25、， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|·dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|·dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 2．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點P在圓O：x2＋y2＝50上．若·≤20，則點P的橫坐標的取值范圍是________． 解析：設P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以點P在直線2x－y＋5＝0的

26、上方(包括直線上)． 又點P在圓x2＋y2＝50上， 由 解得x＝－5或x＝1， 結(jié)合圖象，可得－5≤x≤1， 故點P的橫坐標的取值范圍是[－5，1]． 答案：[－5，1] 3．已知直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，傾斜角為2α的直線l2與圓M：x2＋y2＋2x－2y＋F＝0交于A，C兩點，其中A(－1,0)，B，D在圓M上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積的最大值是________． 解析：因為直線l1：x－2y＝0的傾斜角為α，所以tan α＝，所以直線l2的斜率k＝tan 2α＝＝＝，所以直線l2的方程為y－0＝(x＋1)，即4x－3y＋4＝0. 又A

27、(－1,0)在圓M上，所以(－1)2－2＋F＝0，解得F＝1，所以圓M的方程為x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，化為標準方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝1，所以圓心M(－1,1)，半徑r＝1. 所以圓心M到直線l2的距離d＝＝，所以|AC|＝ ＝， 即|AC|＝2×＝. 因為B，D兩點在圓上，且位于直線l2的兩側(cè)，則四邊形ABCD的面積可以看成是△ABC和△ACD的面積之和，如圖所示，當BD垂直平分AC(即BD為直徑)時，兩三角形的面積之和最大，即四邊形ABCD的面積最大，此時AC，BD相交于點E，則四邊形ABCD的最大面積S＝×|AC|×|BE|＋×|AC|×|DE|＝×|AC|×|B

28、D|＝××2＝. 答案： [專題跟蹤檢測](對應配套卷P191) 一、全練保分考法——保大分 1．過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為(　　) A．2x＋y－5＝0　　　　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0 解析：選B　∵過點(3,1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條， ∴點(3,1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上， ∵圓心與切點連線的斜率k＝＝， ∴切線的斜率為－2， 則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 2．圓心在直線x＋2y＝0上

29、的圓C與y軸的負半軸相切，圓C截x軸所得的弦長為2，則圓C的標準方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋)2＝8 B．(x－)2＋(y＋2)2＝8 C．(x－2)2＋(y＋)2＝8 D．(x－)2＋(y＋2)2＝8 解析：選A　法一：設圓心為(r>0)，半徑為r.由勾股定理()2＋2＝r2，解得r＝2，∴圓心為(2，－)，∴圓C的標準方程為(x－2)2＋(y＋)2＝8. 法二：四個圓的圓心分別為(2，－)，(，－2)，(2，－)，(，－2)，將它們逐一代入x＋2y＝0，只有A選項滿足． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2.則圓M與圓N

30、：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是(　　) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　由題意知圓M的圓心為(0，a)，半徑R＝a，因為圓M截直線x＋y＝0所得線段的長度為2，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝＝(a>0)，解得a＝2，即圓M的圓心為(0,2)，又知圓N的圓心為(1,1)，半徑r＝1，所以|MN|＝，則R－r<

31、為圓心(0,0)到直線x－y＋6＝0的距離d＝＝3，所以|AB|＝2＝2，過C作CE⊥BD于E，因為直線l的傾斜角為30°， 所以|CD|＝＝＝＝4. 法二：由x－y＋6＝0與x2＋y2＝12聯(lián)立解得A(－3，)，B(0,2)，∴AC的方程為y－＝－(x＋3)，BD的方程為y－2＝－x，可得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4. 5．已知A(0,3)，B，P為圓C：x2＋y2＝2x上的任意一點，則△ABP面積的最大值為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A　圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1， 因為A(0，3)，B， 所以|AB|＝＝3，直線AB的

32、方程為x＋y＝3， 所以圓心(1,0)到直線AB的距離d＝＝.又圓C的半徑為1，所以圓C上的點到直線AB的最大距離為＋1，故△ABP面積的最大值為Smax＝×(＋1)×3＝. 6．已知等邊三角形OAB的三個頂點都在拋物線y2＝2x上，其中O為坐標原點，設圓C是△OAB的外接圓(點C為圓心)，則圓C的方程為(　　) A．(x－4)2＋y2＝16 B．(x＋4)2＋y2＝16 C．x2＋(y－4)2＝16 D．x2＋(y＋4)2＝16 解析：選A　法一：設A，B兩點的坐標分別為，，由題設知＝＝ ， 解得y＝y(tǒng)＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)

33、． 設圓心C的坐標為(r,0)(r>0)，則r＝×6＝4， 所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 法二：設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)(x1>0，x2>0)，由題設知x＋y＝x＋y. 又y＝2x1，y＝2x2，故x＋2x1＝x＋2x2， 即(x1－x2)·(x1＋x2＋2)＝0， 由x1>0，x2>0，可知x1＝x2，故A，B兩點關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上． 設點C的坐標為(r,0)(r>0)，則點A的坐標為，于是2＝2×r，解得r＝4，所以圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16. 7．設M，N分別為圓O1：x2＋y2－12y＋34＝0和圓O2

34、：(x－2)2＋y2＝4上的動點，則M，N兩點間的距離的取值范圍是________． 解析：圓O1的方程可化為x2＋(y－6)2＝2，其圓心為O1(0,6)，半徑r1＝.圓O2的圓心O2(2,0)，半徑r2＝2，則|O1O2|＝＝2，則|MN|max＝2＋2＋，|MN|min＝2－2－，故M，N兩點間的距離的取值范圍是[2－2－，2＋2＋]． 答案：[2－2－，2＋2＋] 8．過點P(－3,1)，Q(a,0)的光線經(jīng)x軸反射后與圓x2＋y2＝1相切，則a的值為________． 解析：點P(－3,1)關(guān)于x軸對稱的點為P′(－3，－1)， 所以直線P′Q的方程為x－(a＋3)y－a＝

35、0， 由題意得直線P′Q與圓x2＋y2＝1相切， 所以＝1， 解得a＝－. 答案：－ 9．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________． 解析：由題意，設所求的直線方程為x＋y＋m＝0，圓心坐標為(a,0)(a>0)， 則由題意知2＋2＝(a－1)2， 解得a＝3或－1(舍去)， 故圓心坐標為(3,0)， 因為圓心(3,0)在所求的直線上， 所以3＋0＋m＝0， 解得m＝－3， 故所求的直線方程為x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 10．(2018

36、·全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8， 解得k＝1或k＝－1(舍去)． 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)， 所以

37、AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)， 即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)， 則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 11．(2018·成都模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)與x軸交于不同的兩點A，B，曲線Г與y軸交于點C. (1)是否存在以AB為直徑的圓過點C？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由． (2)求證：過A，B，C三點的圓過定點． 解：由曲線Г：y＝x2－mx＋2m(m∈R)， 令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.設A(x1,0)，B

38、(x2,0)， 則可得Δ＝m2－8m>0， 解得m>8或m<0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)． (1)若存在以AB為直徑的圓過點C，則·＝0， 得x1x2＋4m2＝0， 即2m＋4m2＝0， 所以m＝0(舍去)或m＝－. 所以m＝－， 此時C(0，－1)，AB的中點M即圓心， 半徑r＝|CM|＝， 故所求圓的方程為2＋y2＝. (2)證明：設過A，B兩點的圓的方程為 x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 將點C(0,2m)代入可得E＝－1－2m， 所以過A，B，C三點的圓的方程為 x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝

39、0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令可得或 故過A，B，C三點的圓過定點(0,1)和. 12．(2019屆高三·廣州調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知圓C與y軸相切，且過點M(1，)，N(1，－)． (1)求圓C的方程； (2)已知直線l與圓C交于A，B兩點，且直線OA與直線OB的斜率之積為－2.求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標． 解：(1)因為圓C過點M(1，)，N(1，－)， 所以圓心C在線段MN的垂直平分線上，即在x軸上， 故設圓心為C(a,0)，易知a>0， 又圓C與y軸相切，所以圓C的半徑r＝a， 所以圓C的方程為(x－a)2＋y2＝

40、a2. 因為點M(1，)在圓C上， 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2. 所以圓C的方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)證明：記直線OA的斜率為k(k≠0)，則其方程為y＝kx. 聯(lián)立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0， 解得x1＝0，x2＝. 所以A. 由k·kOB＝－2，得kOB＝－， 直線OB的方程為y＝－x， 在點A的坐標中用－代換k，得B. 當直線l的斜率不存在時，＝，得k2＝2，此時直線l的方程為x＝. 當直線l的斜率存在時，≠，即k2≠2， 則直線l的斜率為 ＝＝＝. 故直線l的方程為y－＝， 即y＝， 所以直線l過定點. 綜上，直

41、線l恒過定點，定點坐標為. 二、強化壓軸考法——拉開分 1．已知圓C：x2＋y2＝1，點P(x0，y0)在直線l：3x＋2y－4＝0上，若在圓C上總存在兩個不同的點A，B，使＋＝，則x0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　如圖，∵＋＝， ∴OP與AB互相垂直平分， ∴圓心到直線AB的距離 <1， ∴x＋y<4.?、? 又3x0＋2y0－4＝0， ∴y0＝2－x0， 代入①得x＋2<4， 解得0

42、 A．±1 B．± C．± D．± 解析：選C　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(－x1，－y1)，＝(x2－x1，y2－y1)，由消去y，整理得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－

43、弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率為________． 解析：易知點A(1，)在圓(x－2)2＋y2＝4的內(nèi)部，圓心C的坐標為(2,0)，要使劣弧所對的圓心角最小，只能是直線l⊥CA，所以kl＝－＝－＝. 答案： 4．已知圓O：x2＋y2＝1與x軸負半軸的交點為A，P為直線3x＋4y－a＝0上一點，過P作圓O的切線，切點為T，若|PA|＝2|PT|，則實數(shù)a的最大值為________． 解析：由題意知A(－1,0)，設P(x，y)，由|PA|＝2|PT|可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)，化簡得2＋y2＝.由3x＋4y－a＝0與圓2＋y2＝有公共點P，所以圓心到直線3

44、x＋4y－a＝0的距離d＝≤，解得－≤a≤，所以實數(shù)a的最大值為. 答案： 5．已知圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，使得∠APB＝60°，則實數(shù)a的取值范圍為__________________． 解析：圓O的半徑為1，圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B， 使得∠APB＝60°，則∠APO＝30°. 在Rt△PAO中，|PO|＝2， 又圓M的半徑為1，圓心坐標為M(a，a－4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝， ∴ －1≤2≤ ＋1，

45、解得2－≤a≤2＋. ∴實數(shù)a的取值范圍為. 答案： 6．(2018·廣州高中綜合測試)已知定點M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點．設直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當k1k2＝3時，求k的取值范圍． 解：(1)設動點P的坐標為(x，y)， 因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝·. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝

46、kx＋ B. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1·k2＝·＝·＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為 [－，－1)∪∪∪(1， ]．